《2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第30講 平面向量的基本定理與坐標運算(Word版含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第30講 平面向量的基本定理與坐標運算(Word版含解析)(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第30講 平面向量的基本定理與坐標運算
一、選擇題(共14小題)
1. 設(shè) e1,e2 是平面內(nèi)所有向量的一組基底,則下列四組向量中,不能作為基底的是 ??
A. e1+e2 和 e1?e2 B. 3e1?4e2 和 6e1?8e2
C. e1+2e2 和 2e1+e2 D. e1 和 e1+e2
2. 已知平面向量 a=2,?1,b=1,1,c=?5,1,若 a+kb∥c,則實數(shù) k 的值為 ??
A. ?114 B. 12 C. 2 D. 114
3. 設(shè) a,b 是兩個不共線的非零向量,若 8a+kb 與 ka+2b 共線
2、,則實數(shù) k= ??
A. 4 B. ?4 C. ±4 D. 0
4. 如圖,OC=2OP,AB=2AC,OM=mOB,ON=nOA,若 m=38,那么 n= ??
A. 34 B. 23 C. 45 D. 58
5. 設(shè) A0,1,B1,3,C?1,5,D0,?1,則 AB+AC 等于 ??
A. ?2AD B. 2AD C. ?3AD D. 3AD
6. 已知 M3,?2,N?5,?1,且 MP=12MN,則 P 點的坐標為 ??
A. ?8,1 B. ?1,?32 C. 1,32 D. 8,?1
7. 已知向量 a=1,
3、1,b=?1,3,c=2,1,且 a?λb∥c,則 λ= ??
A. 3 B. ?3 C. 17 D. ?17
8. 已知向量 OA=3,?4,OB=6,?3,OC=2m,m+1.若 AB∥OC,則實數(shù) m 的值為 ??
A. 15 B. ?35 C. ?3 D. ?17
9. 已知向量 a=1,2,b=2,x,a+b 與 b 平行,則實數(shù) x 的值為 ??
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10. 一直線 l 與平行四邊形 ABCD 中的兩邊 AB,AD 分別交于點 E,F(xiàn),且交其對角線 AC 于點 M,若 AB=2AE,AD=3AF,AM=
4、λAB?μACλ,μ∈R,則 52μ?λ= ??
A. ?12 B. 1 C. 32 D. ?3
11. 已知 M3,?2,N?5,?1,且 MP=12MN,則 P 點的坐標為 ??
A. ?8,1 B. ?1,?32 C. 1,32 D. 8,?1
12. 設(shè)向量 OA=1,?2,OB=2m,?1,OC=?2n,0,m,n∈R,O 為坐標原點,若 A,B,C 三點共線,則 m+n 的最大值為 ??
A. ?3 B. ?2 C. 2 D. 3
13. 如圖,已知 OA=OB=1,OC=3,OC⊥OB,OA,OC=30°,若 OC=xOA+yOB,x+
5、y= ??
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14. 在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,動點 P 在以點 C 為圓心且與 BD 相切的圓上.若 AP=λAB+μAD,則 λ+μ 的最大值為 ??
A. 3 B. 22 C. 5 D. 2
二、填空題(共11小題)
15. 已知向量 a=1,2,b=2,?2,c=1,λ.若 c∥2a+b,則 λ= ?.
16. 已知 A1,?3 和 B8,?1,如果點 C2a?1,a+2 在直線 AB 上,則 a= ?.
17
6、. 在平行四邊形 ABCD 中,對角線 AC 與 BD 交于點 O,P 為 CO 的中點,AB+AD=λAP,則 λ= ?.
18. 如圖,在平行四邊形 ABCD 中,AC,BD 相交于點 O,E 為線段 AO 的中點.若 BE=λBA+μBDλ,μ∈R,則 λ+μ= ?.
19. 若三點 A1,?5,Ba,?2,C?2,?1 共線,則實數(shù) a 的值為 ?.
20. 已知向量 a=1,2,b=2,?2,c=1,λ.若 c∥2a+b,則 λ=
7、?.
21. 如圖,在 △ABC 中,BO 為邊 AC 上的中線,BG=2GO,設(shè) CD∥AG,若 AD=15AB+λACλ∈R,則 λ 的值為 ?.
22. 如圖,在 △ABC 中,點 O 是 BC 的中點,過點 O 的直線分別交直線 AB,AC 于不同的兩點 M,N,若 AB=mAM,AC=nANm,n>0,則 1m+4n 的最小值為 ?.
23. 向量 a,b,c 在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若 c=λa+μbλ,μ∈R,則 λμ= ?.
24
8、. 已知點 A4,0,B4,4,C2,6,則 AC 與 OB 的交點 P 的坐標為 ?.
25. 已知向量 OA=k,12,OB=4,5,OC=?k,10,且 A,B,C 三點共線,則 k= ?.
三、解答題(共2小題)
26. 已知 a=1,0,b=2,1.
(1)當(dāng) k 為何值時,ka?b 與 a+2b 共線?
(2)若 AB=2a+3b,BC=a+mb 且 A,B,C 三點共線,求 m 的值.
27. 如圖,已知平行四邊形 ABCD 的邊 BC,CD 的中點分別是 K,L,且 AK=e1,A
9、L=e2,試用 e1,e2 表示 BC,CD.
答案
1. B
【解析】選項B中,6e1?8e2=23e1?4e2,
所以 6e1?8e2 與 3e1?4e2 共線,
所以不能作為基底,選項A,C,D中兩向量均不共線,可以作為基底.故選B.
2. B
【解析】因為 a=2,?1,b=1,1,
所以 a+kb=2+k,?1+k,又 c=?5,1,
由 a+kb∥c,得 2+k×1=?5×k?1,解得 k=12.
3. C
【解析】由題意知 8a+kb 與 ka+2b 為非零向量且共線,
故存在實數(shù) λ,使得 8a+kb=λka+2b,
則 8=λk,
10、k=2λ,得 λ=±2,k=±4.
故選C.
4. A
【解析】法一
由 OC=2OP,AB=2AC,知 C 是 AB 的中點,P 是 OC 的中點,
所以 OC=12OA+OB,
則 OP=14OA+OB,
又 OM=38OB,ON=nOA,
從而 MN=ON?OM=nOA?38OB,MP=OP?OM=14OA+OB?38OB=14OA?18OB,
又點 M,P,N 共線,
所以存在實數(shù) λ,使 MN=λMP 成立,
即 nOA?38OB=λ14OA?18OB.
又因為 OA,OB 不共線,
所以有 n=14λ,?38=?18λ, 解得 n=34,故選A.
法二
11、
設(shè) MP=λMN,
因為 OM=38OB,ON=nOA,
所以
OP=OM+MP=38OB+λON?OM=38OB+λnOA?38OB=381?λOB+nλOA,
又知 OC=2OP,
所以 OP=12OC=14OA+14OB,
所以 381?λ=14,nλ=14, 解得 λ=13,n=34,故選A.
5. C
【解析】由題意得 AB=1,2,AC=?1,4,AD=0,?2,所以 AB+AC=0,6=?30,?2=?3AD.
6. B
【解析】設(shè) Px,y,則 MP=x?3,y+2,
而 12MN=12?8,1=?4,12,
所以 x?3=?4,y+2=1
12、2,
解得 x=?1,y=?32,
所以 P?1,?32.
7. C
【解析】由題意 a?λb=1+λ,1?3λ,
因為 a?λb∥c,
所以 21?3λ=1+λ,解得 λ=17.
8. C
【解析】因為 AB∥OC,所以 3,1∥2m,m+1,3×m+1=2m 所以 m=?3.選C.
9. D
【解析】由已知 a+b=3,2+x,
又 a+b∥b,
所以 3x=22+x,解得:a=4,
故選:D.
10. A
【解析】AM=λAB?μAC=λAB?μAB+AD=λ?μAB?μAD=2λ?μAE?3μAF.
因為 E,M,F(xiàn) 三點共線,所以 2λ?
13、μ+?3μ=1,
即 2λ?5μ=1,
所以 52μ?λ=?12.
11. B
【解析】設(shè) Px,y,則 MP=x?3,y+2,
而 12MN=12?8,1=?4,12,
所以 x?3=?4,y+2=12, 解得 x=?1,y=?32,
所以 P?1,?32.
12. A
【解析】由題意易知,AB∥AC,其中 AB=OB?OA=2m?1,1,AC=OC?OA=?2n?1,2,
所以 2m?1×2=1×?2n?1,得 2m+1+2n=1,2m+1+2n≥22m+n+1,
所以 2m+n+1≤2?2,即 m+n≤?3.
13. C
【解析】建立如圖所以坐標系,
14、
根據(jù)條件不妨設(shè) A1,0,B?12,32,C32,32,
則 OC=32,32=x1,0+y?12,32,
所以 x?12y=32,32y=32,
解得 x=2,y=1,
所以 x+y=3,
故選:C.
14. A
【解析】如圖所示,建立平面直角坐標系.
設(shè) A0,1,B0,0,C2,0,D2,1,Px,y,
易得圓的半徑 r=25,即圓 C 的方程是 x?22+y2=45,
AP=x,y?1,AB=0,?1,AD=2,0,
若滿足 AP=λAB+μAD,則 x=2μ,y?1=?λ,
μ=x2,λ=1?y,
所以 λ+μ=x2?y+1,
設(shè) z=x
15、2?y+1,即 x2?y+1?z=0,點 Px,y 在圓 x?22+y2=45 上,
所以圓心 2,0 到直線 x2?y+1?z=0 的距離 d≤r,即 ∣2?z∣14+1≤25,解得 1≤z≤3,
所以 z 的最大值是 3,即 λ+μ 的最大值是 3,故選A.
15. 12
【解析】由題可得 2a+b=4,2,
因為 c∥2a+b,c=1,λ,
所以 4λ?2=0,即 λ=12.
16. ?13
【解析】因為 AB=7,2,BC=2a?9,a+3,且 AB∥BC,
所以有 7×a+3=2×2a?9,解得 a=?13.
17. 43
【解析】因為 ABCD
16、為平行四邊形,
所以 AB+AD=AC=2AO,
又 AP=32AO,得 AB+AD=43AP 已知 AB+AD=λAP,故 λ=43.
18. 34
【解析】由題意可得 BE=12BA+12BO=12BA+14BD,由平面向量基本定理可得 λ=12,μ=14,所以 λ+μ=34.
19. ?54
【解析】AB=a?1,3,AC=?3,4,
根據(jù)題意 AB∥AC,
所以 4a?1?3×?3=0,即 4a=?5,
所以 a=?54.
20. 12
【解析】因為 2a+b=4,2,c∥2a+b,
所以 4λ=2,解得 λ=12.
21. 65
【解析】因為 BG
17、=2GO,BO 為 AC 邊上的中點,
所以 G 為 △ABC 的重心,
所以 AG=23×12AB+AC=13AB+13AC.
因為 CD∥AG,
所以設(shè) CD=mAG,從而 AD=AC+CD=AC+m3AB+m3AC=1+m3AC+m3AB.
因為 AD=15AB+λAC,
所以 m3=15,λ=1+m3=65.
22. 92
【解析】MO=AO?AM=AB+AC2?1mAB=12?1mAB+12AC.
同理 NO=12?1nAC+12AB,
又因為 M,O,N 三點共線,故存在實數(shù) λ,使得 12?1mAB+12AC=λ12?1nAC+12AB,
即 12?1m
18、?λ2AB+12?λ2+λnAC=0,
因 AB,AC 不共線,據(jù)基本定理得 12?1m?λ2=0 且 12?λ2+λn=0,
消掉 λ 得 m+n=2,
故 1m+4n=12m+n1m+4n=125+nm+4mn≥125+4=92.
23. 4
【解析】以向量 a 和 b 的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系(設(shè)每個小正方形的邊長為 1),
則 A1,?1,B6,2,C5,?1,
所以 a=AO=?1,1,b=OB=6,2,c=BC=?1,?3.
因為 c=λa+μb,
所以 ?1,?3=λ?1,1+μ6,2,即 ?λ+6μ=?1,λ+2μ=?3,
解得 λ=
19、?2,μ=?12,
所以 λμ=4.
24. 3,3
【解析】(方法 1)由 O,P,B 三點共線,可設(shè) OP=λOB=4λ,4λ,
則 AP=OP?OA=4λ?4,4λ.
又 AC=OC?OA=?2,6,
由 AP 與 AC 共線,得 4λ?4×6?4λ×?2=0,解得 λ=34,
所以 OP=34OB=3,3,
所以點 P 的坐標為 3,3.
(方法 2)設(shè)點 Px,y,則 OP=x,y,
因為 OB=4,4,且 OP 與 OB 共線,
所以 x4=y4,即 x=y.
又 AP=x?4,y,AC=?2,6,且 AP 與 AC 共線,
所以 x?4×6?y×?2=
20、0,解得 x=y=3,
所以點 P 的坐標為 3,3.
25. ?23
【解析】AB=OB?OA=4?k,?7,
AC=OC?OA=?2k,?2.
因為 A,B,C 三點共線,所以 AB,AC 共線,
所以 ?2×4?k=?7×?2k,解得 k=?23.
26. (1) ka?b=k1,0?2,1=k?2,?1,a+2b=1,0+22,1=5,2,
因為 ka?b 與 a+2b 共線,
所以 2k?2??1×5=0,即 2k?4+5=0,得 k=?12.
??????(2) AB=2a+3b=21,0+32,1=8,3,
BC=a+mb=1,0+m2,1=2m+1,m,
因為 A,B,C 三點共線,
所以 AB∥BC,
所以 8m?32m+1=0,即 2m?3=0,
所以 m=32.
27. 設(shè) BC=x,CD=y,則 BK=12x,DL=?12y.
由 AB+BK=AK,AD+DL=AL,
得 ?y+12x=e1,???①x?12y=e2,???②
① + ② ×?2,得 12x?2x=e1?2e2,
即 x=?23e1?2e2=?23e1+43e2,
所以 BC=?23e1+43e2.
同理可得 y=?43e1+23e2,即 CD=?43e1+23e2.
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