《2018年高中數(shù)學 第二章 變化率與導數(shù) 2.2.1 導數(shù)的概念課件4 北師大版選修2-2.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高中數(shù)學 第二章 變化率與導數(shù) 2.2.1 導數(shù)的概念課件4 北師大版選修2-2.ppt（30頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、導數(shù)的概念,2.1 導數(shù)的概念,1.曲線的切線,如圖,曲線C是函數(shù)y= f(x) 的圖象,P(x0,y0)是曲線C上的 任意一點,Q(x0+Δx,y0+Δy) 為P鄰近一點,PQ為C的割線, PM//x軸,QM//y軸,β為PQ的 傾斜角.,,,,,,P,Q,,,,,,,,,割線,切線,T,,,請看當點Q沿著曲線逐漸向點P接近時,割線PQ繞著點P逐漸轉(zhuǎn)動的情況.,我們發(fā)現(xiàn),當點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.,設(shè)切線的傾斜角為α,那么當Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.,即:,這個概念:①提供了求曲

2、線上某點切線的斜率的一種方法;②切線斜率的本質(zhì)——函數(shù)平均變化率的極限.,注意,曲線在某點處的切線: (1)與該點的位置有關(guān)； (2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解切線。,因此,切線方程為y-2=2(x-1), 即y=2x.,求曲線在某點處的切 線方程的基本步驟 : 先利 用切線斜率的定義求出切 線的斜率,然后利用點斜式求切線方程.,練習:求曲線 上一點P(1,-1)處的切線方程.,答案:y=3x-4.,2.瞬時速度,已知物體作變速直線運動,其運動方程為s＝s(t)(ｓ表示位移,t表示時間),求物體在t0時刻的速度．,如圖設(shè)該物體在時刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在時刻t0

3、+Δt 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1,則從t0 到 t0 +Δt 這段時間內(nèi),物體的位移是:,在時間段( t0+Dt)－ t0 = Dt 內(nèi)，物體的平均速度為:,平均速度反映了物體運動時的快慢程度,但要精確地描述非勻速直線運動,就要知道物體在每一時刻運動的快慢程度,也既需要通過瞬時速度來反映.,如果物體的運動規(guī)律是 s=s(t)，那么物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到 t+Δt這段時間內(nèi)，當 Δt?0 時平均速度:,例2:物體作自由落體運動,運動方程為： 其中位 移單位是m,時間單位是s, g=10m/s2.求： (1) 物體在時間區(qū)間[2,2.1]上的平均速度； (2)

4、 物體在時間區(qū)間[2,2.01]上的平均速度； (3) 物體在t=2(s)時的瞬時速度.,解:,(1)將 Δt=0.1代入上式，得:,(2)將 Δt=0.01代入上式，得:,即物體在時刻t0=2(s)的瞬時速度等于20(m/s). 當時間間隔Δt 逐漸變小時,平均速度就越接近t0=2(s) 時的瞬時速度v=20(m/s).,練習:某質(zhì)點沿直線運動,運動規(guī)律是s=5t2+6,求: (1)2≤t≤2+Δt這段時間內(nèi)的平均速度,這里Δt取值 范圍為1; (2)t=2時刻的瞬時速度.,3.導數(shù)的概念,從上面兩個實例,一個是曲線的切線的斜率,一個是瞬時速度,具體意義不同,但通過比較可以看出它們

5、的數(shù) 學表達式結(jié)構(gòu)是一樣的,即計算極限 ,這就是我們要學習的導數(shù)的定義.,定義：設(shè)函數(shù)y=f (x)在點x0處及其附近有定義,當自變量x在點x0處有改變量Δx時函數(shù)有相應的改變量Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果當Δx?0 時,Δy/Δx的極限存在,這個極限就叫做函數(shù)f (x)在點x0處的導數(shù)(或變化率)記作 即:,如瞬時速度就是位移函數(shù)s (t)對時間t的導數(shù).,是函數(shù)f (x)在以x0與x0+Δx 為端點的區(qū)間[x0,x0+Δx](或[x0-Δx,x0])上的平均變化率,而導數(shù)則是函數(shù)f (x)在點x0 處的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量變化而變化的快慢程度．,如果

6、函數(shù)y=f (x)在點x=x0存在導數(shù),就說函數(shù)y= f (x)在點x0處可導,如果極限不存在,就說函數(shù) f (x)在點x0處不可導.,由導數(shù)的意義可知,求函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)的基本方法是:,例1:(1)求函數(shù)y=x2在x=1處的導數(shù); (2)求函數(shù)y=x+1/x在x=2處的導數(shù).,如果函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a ,b)內(nèi)每一點都可導,就說函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間(a ,b)內(nèi)可導.這時,對每一個x? (a ,b)都有唯一確定的導數(shù)值與它對應,這樣在區(qū)間(a，b)內(nèi)就構(gòu)成一個新的函數(shù).這個新的函數(shù)叫做函數(shù)f (x)在區(qū)間(a ,b)內(nèi)的導函數(shù),記作 ,即:,

7、在不致發(fā)生混淆時，導函數(shù)也簡稱導數(shù)．,如果函數(shù)y=f(x)在點x0處可導,那么函數(shù)在點x0處連續(xù)．,求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)可分如下三步:,4.導數(shù)的幾何意義,函數(shù) y=f(x)在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線 y=f(x)在點P(x0 ,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y= f(x)在點P(x0 ,f(x0)) 處的切線的斜率是 .,故曲線y=f(x)在點P(x0 ,f(x0))處的切線方程是:,例1:設(shè)f(x)為可導函數(shù),且滿足條件 , 求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率.,故所求的斜率為-2.,例2:如圖,已知曲線 ,求: (

8、1)點P處的切線的斜率; (2)點P處的切線方程.,即點P處的切線的斜率等于4.,(2)在點P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.,例1:判斷下列各命題的真假: (1)已知函數(shù)y=f (x)的圖象上的點列P1,P2,P3,…Pn…, 則過P0與Pn兩點的直線的 斜率就是函數(shù)在點P0處的導數(shù).,答:由函數(shù)在點P0處的導數(shù)的幾何意義知:函數(shù)在點 P0處的導數(shù)是過P0點曲線(即函數(shù)y=f (x)的圖象) 的切線的斜率,而不是割線P0Pn的斜率,故它是一 個假命題.,(2)若物體的運動規(guī)律是S=f (t),則物體在時刻t0的瞬 時速度V等

9、于,答:由于它完全符合瞬時速度的定義,故它是一個真 命題.,(3)若函數(shù)y=f(x)的定義域為A,則對任一 只要 函數(shù)在x0處連續(xù),則 就必存在.,5.例題選講,答:它是一個假命題.例如,函數(shù) 在x=0處連續(xù),但 它在x=0處的導數(shù)不存在.,(4)設(shè) 是函數(shù)y=f(x)的圖象上的三點,且函數(shù)在P1,P2,P3 三點處的導數(shù)均存在.若 ,則必有,答: ,由于f (x)的導函 數(shù) 未必是單調(diào)增函數(shù).因此, 不一定成立,例如f (x)=x3,則 顯然有 故是假命題.,說明:要正確判斷命題的真假,需真正理解:曲

10、線在點P處 切線的斜率、瞬時速度、連續(xù)與可導等概念,還要 把握好要確定一個命題為真命題,則需給出論證, 而要給出否定的結(jié)論,舉一個反例就足夠了.,例2:設(shè)函數(shù)f (x)在點x0處可導,求下列各極限值:,分析:利用函數(shù)f (x)在點x0處可導的條件,將題目中給定 的極限恒等變形為導數(shù)定義的形式.注意在導數(shù)定 義中,自變量的增量Δx的形式是多樣的,但不論Δx 選擇哪種形式, Δy也必須選擇與之相對應的形式.,例3:證明:(1)可導的偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù); (2)可導的奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù).,證:(1)設(shè)偶函數(shù)f (x),則有f (-x)=f (x).,(2)仿(1

11、)可證命題成立,在此略去,供同學們在課后練 習用.,練習1:設(shè)函數(shù)f (x)在點x0處可導,求下列各極限值:,練習2:設(shè)函數(shù)f (x)在點x=a處可導,試用a、f(a)和,例4:判斷函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處是否可導.,從而函數(shù)y=|3x-1|在x=1/3處不可導.,注:這是一個函數(shù)在某點連續(xù)但不可導的例子.,練習3:函數(shù)f (x)=|x|(1+x)在點x0=0處是否有導數(shù)?若有, 求出來,若沒有,說明理由.,故函數(shù)f(x)=|x|(1+x)在點x0=0處沒有導數(shù),即不可導.,6.小結(jié),a.導數(shù)是從眾多實際問題中抽象出來的具有相同的數(shù) 學表達式的一個重要概念，要從它的幾何意義和物

12、 理意義了認識這一概念的實質(zhì)，學會用事物在全過 程中的發(fā)展變化規(guī)律來確定它在某一時刻的狀態(tài)。,b.要切實掌握求導數(shù)的三個步驟：（1）求函數(shù)的增 量；（2）求平均變化率；（3）取極限，得導數(shù)。,c.弄清“函數(shù)f(x)在點x0處的導數(shù)”、“導函數(shù)”、“導數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。,（1）函數(shù)在一點處的導數(shù)，就是在該點的函數(shù)的改 變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個 常數(shù)，不是變數(shù)。,（2）函數(shù)的導數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點x而言的, 就是函數(shù)f(x)的導函數(shù) 。,（3）如果函數(shù)y＝f (x)在開區(qū)間(a ,b)內(nèi)每一點都可導, 就說函數(shù)y＝f (x)在開區(qū)間(a ,b)內(nèi)可導，這時

13、,對于開區(qū)間內(nèi)每一個確定的值x0，都對應著一個確定的導數(shù) ，這樣就在開區(qū)間(a ,b)內(nèi) 可構(gòu)成一個新的函數(shù)，稱作f (x)的導函數(shù)。,（4）函數(shù)f (x)在點x0處的導數(shù) 就是導函數(shù) 在x=x0處的函數(shù)值，即 。這也是 求函數(shù)在點x0處的導數(shù)的方法之一。,d.函數(shù)f (x)在點x0處有導數(shù)，則在該點處函數(shù)f (x)的曲線必有切線，且導數(shù)值是該切線的斜率;但函數(shù)f (x) 的曲線在點x0處有切線，而函數(shù)f (x)在該點處不一定 可導。如函數(shù) 在x=0處有切線，但不可導。,e.求切線方程的步驟：,（1）求出函數(shù)在點x0處的變化率 ，得到曲線 在點(x0,f(x0))的切線的斜率。,（2）根據(jù)直線方程的點斜式寫出切線方程，即,f.無限逼近的極限思想是建立導數(shù)概念、用導數(shù)定義求函數(shù)的導數(shù)的基本思想，丟掉極限思想就無法理解導數(shù)概念。,