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1、 ...wd... 第六屆全國初中青年數(shù)學(xué)教師 新 課 程 優(yōu) 秀 課 評 比 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·八年級?數(shù)學(xué)?〔下〕 〔滬科版〕 20.3一元二次方程的根的判別式 教 案 安徽省懷遠(yuǎn)實驗中學(xué)周道軍 20.3一元二次方程的根的判別式 〖教材分析〗 1、地位和作用 本節(jié)內(nèi)容是在一元二次方程的解法的根基上進(jìn)展教學(xué)的，是對公式法的完善與開展。利用根的判別式可以不解方程而直接判斷一元二次方程的根的情況。由于前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了求根公式，所以教材開門見

2、山，首先直接對求根公式進(jìn)展討論，給出根的判別式的意義，進(jìn)而得出一元二次方程根的判別方法，然后給出了判別方法的逆定理。最后，通過例題及練習(xí)，對一元二次方程根的判別方法及其逆定理進(jìn)展了穩(wěn)固。一元二次方程根的判別方法及其逆定理是一元二次方程的重要性質(zhì)，對于二次函數(shù)、一元二次不等式等后繼知識的學(xué)習(xí)具有十分重要的意義。 2、重點和難點 本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)重點是用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等；教學(xué)難點是弄懂為什么可以用判別式判別一元二次方程根的情況；突破難點的關(guān)鍵在于結(jié)合平方根的性質(zhì)理解求根公式。 〖學(xué)生情況分析及應(yīng)對策略〗 學(xué)生在上一節(jié)推導(dǎo)求根公式以及用公式法解一元二次

3、方程的過程中，對一元二次方程根的不同情況已經(jīng)有了初步認(rèn)識，對分類討論的思想方法也不陌生，這為本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)提供了有利條件。教學(xué)中可以先讓學(xué)生解幾個根的情況不同的方程，以獲得更充分的感性認(rèn)識，然后結(jié)合求根公式及b2-4ac的符號情況進(jìn)展討論，從而得出結(jié)論。教師應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生的參與積極性，盡量通過他們自己的探究與思考得出結(jié)論，并注意適時引導(dǎo)。 〖設(shè)計理念〗 教學(xué)活動的設(shè)計以學(xué)生為主體，先通過練習(xí)獲得感性認(rèn)識，然后經(jīng)過觀察、思考、交流、討論等活動，主動獲取知識；強(qiáng)調(diào)通過學(xué)生積極主動的參與，充分經(jīng)歷知識的形成、開展與應(yīng)用的過程，在這個過程中掌握知識，形成技能，開展思維；在整個教學(xué)活動中，學(xué)生是學(xué)習(xí)

4、的主人，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者與引導(dǎo)者。 〖教學(xué)準(zhǔn)備〗 教具準(zhǔn)備：多媒體課件。 學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)一元二次方程的解法，預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容。 〖教學(xué)目標(biāo)〗 根據(jù)課標(biāo)要求，結(jié)合學(xué)生的具體情況，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)為： 知識與技能：了解一元二次方程根的判別式的意義，理解為什么能根據(jù)它判斷方程根的情況；能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實數(shù)根以及兩個實數(shù)根是否相等。 過程與方法：經(jīng)歷一元二次方程根的判別式的意義及作用的探究過程，體會分類討論和轉(zhuǎn)化的思想方法，感受數(shù)學(xué)思想的嚴(yán)密性與方法的靈活性。 情感態(tài)度與價值觀：通過對根的判別式的意義及作用的探究，培養(yǎng)對科學(xué)的探索精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。

5、〖教學(xué)流程〗 一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題 1、你能說出我們共學(xué)過哪幾種解一元二次方程的方法嗎 2、能力展示：分組比賽解方程 〔1〕x2+4=4x ；〔2〕x2+2x=3 ；〔3〕x2-x+2=0 。 〔待學(xué)生做完后，教師點評?！?〕x1= x2= 2；〔2〕x1= 1 ，x2= -3 ；〔3〕無實數(shù)根。) 3、發(fā)現(xiàn)問題 觀察上面三個方程的根的情況，你有什么發(fā)現(xiàn) 〔學(xué)生觀察得出：三個方程的根的情況是不同的，其中〔1〕有兩個相等的實數(shù)根，〔2〕有兩個不相等的實數(shù)根，〔3〕沒有實數(shù)根〕 4、提出問題 教師引導(dǎo)學(xué)生思考上述方程根的情況不同的原因，嘗試提出以下問題： 一般的，對于一元二

6、次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何時有兩個相等的實數(shù)根何時有兩個不相等的實數(shù)根它何時沒有實數(shù)根〔板書課題，出示學(xué)習(xí)目標(biāo)〕 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、知道什么叫一元二次方程的根的判別式，理解為什么能根據(jù)它來判斷方程根的情況； 2、能用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實數(shù)根和兩個實數(shù)根是否相等； 3、體會分類思想、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 二、探究新知 1、一元二次方程的根的判別式 活動1 學(xué)生自學(xué)，初步感悟 請學(xué)生帶著下面的問題，自學(xué)第51頁課文至倒數(shù)第四行，并注意分類討論的思想方法的使用。 一般的，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 它何時有兩個相等的實數(shù)根 何時有

7、兩個不相等的實數(shù)根 何時沒有實數(shù)根 為什么說方程根的情況是由b2-4ac決定的 教師巡視，并注意收集問題，為下一步集中釋疑做準(zhǔn)備。 活動2 合作交流，深入探究 請學(xué)生結(jié)合自己的理解，就上述問題的答案在小組內(nèi)進(jìn)展討論、探究，然后教師組織全班進(jìn)展交流，關(guān)鍵讓學(xué)生講清每個結(jié)論的理由。 活動3 師生合作，歸納提升〔屏幕顯示〕： 由上面的討論可見，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況由b2-4ac來決定。因此，我們把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式。通常用符號“Δ〞〔希臘字母〕來表示，讀做“得爾塔〞，即Δ=b2-4ac。 2、一元二次

8、方程的根的判別方法 思考：你能說出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況具體有哪幾種，又是若何判別的嗎 學(xué)生思考，師生共同得出： 結(jié)論1 一般的，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 當(dāng)Δ＞0時，有兩個不相等的實數(shù)根； 當(dāng)Δ＝0時，有兩個相等的實數(shù)根； 當(dāng)Δ＜0時，沒有實數(shù)根。 這個結(jié)論告訴我們，只要算出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式的值，就可以由它的符號直接判別方程根的情況。 活動4 應(yīng)用遷移，開展能力 例題1不解方程，判別以下方程根的情況： 〔1〕5x2-3x=2〔2〕25y2+4=20y〔3〕2x2+x+1=0 本例

9、先讓學(xué)生思考，分析解題思路，然后請學(xué)生口述第〔1〕小題的解法，教師板書，以進(jìn)一步明確思路，強(qiáng)調(diào)解題方法及格式。 解 〔1〕原方程可變形為 5x2-3x-2=0， 因為Δ＝〔-3〕2- 4×5×〔-2〕＞0， 所以，原方程有兩個不相等的實數(shù)根。 請學(xué)生回憶上面的解題過程，總結(jié)判別一元二次方程的根的情況的步驟： 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式Δ=b2-4ac是針對一般形式而言的，所以，不解方程，判別一元二次方程的根的情況的一般步驟為： 一化〔將一元二次方程化為一般形式〕； 二算〔確定a、b、c的值，算出Δ的值〕； 三判斷〔根據(jù)結(jié)論1判別方程根的情況〕。

10、〔2〕、〔3〕小題由學(xué)生完成，教師巡視。待學(xué)生做完后，教師請一名學(xué)生向大家公布自己的解題結(jié)果，教師及時點評。 3、逆定理 活動5 逆向思考，拓展延伸 上面的結(jié)論1中共有三個命題，你能分別說出它們的逆命題嗎〔屏幕顯示結(jié)論1〕 學(xué)生思考、交流并答復(fù)，教師指出：這三個命題也是真命題，從而得到： 結(jié)論2對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)， 當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時，Δ＞0； 當(dāng)方程有兩個相等的實數(shù)根時，Δ＝0； 當(dāng)方程沒有實數(shù)根時，Δ＜0。 〔將結(jié)論2與結(jié)論1放在同一幅幻燈片內(nèi)展示，以便學(xué)生能更清楚地認(rèn)識到二者的區(qū)別與聯(lián)系〕 例題2關(guān)于x的方程x2－3x + k =

11、 0，問k取何值時，這個方程有兩個相等的實數(shù)根? 學(xué)生思考、分析，并與同伴交流與討論，其間，教師可以參與學(xué)生的討論，然后請同學(xué)說出自己的想法，教師視情況進(jìn)展點撥：這道題中的是什么條件要得出若何的結(jié)論應(yīng)該使用結(jié)論1還是結(jié)論2 師生共同得到正確的思路，解題過程由學(xué)生自行完成后，教師展示參考答案，并再次強(qiáng)調(diào)解題根據(jù)為結(jié)論2。 解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根， ∴Δ= 0， 即 (－3)2－ 4k = 0, 解得k=， ∴k=時，方程有兩個相等的實數(shù)根。 變式：關(guān)于x的方程x2－3x + k = 0，問k取何值時，這個方程有兩個實數(shù)根? 學(xué)生思考、分析，并與同伴交流與討論，師生共同得到正

12、確解題思路。 解：∵方程有兩個實數(shù)根， ∴Δ≥0， 即 (－3)2－ 4k ≥ 0, 解得k≤， ∴k≤時，方程有兩個相等的實數(shù)根。 三、當(dāng)堂檢測 1.一元二次方程3x2-2x+1=0的根的判別式的值為______ ,所以方程根的情況是_______________. 2.假設(shè)一元二次方程x2-ax+1=0的兩實根相等，那么a的值是〔〕 A.a=0 B.a =2或a =-2 C.a =2 D.a =2或a =0 3. 不解方程，判別以下方程根的情況： x(x +1)=3. 4、方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，a和c異號，試證明：此方程必有兩個不相等的實數(shù)根。

13、 〔說明：當(dāng)堂檢測中的1、2兩題，讓學(xué)生思考、計算后搶答，并說明理由，第3題中的兩小題請兩位同學(xué)到黑板前板演，待學(xué)生都做齊后由學(xué)生講評。〕 四、小結(jié)與評價 1、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲 本節(jié)課的主要內(nèi)容： 〔1〕、一元二次方程根的判別式的意義； 〔2〕、由根的判別式的符號判斷一元二次方程根的情況〔即結(jié)論1〕； 〔3〕、由一元二次方程根的情況判斷根的判別式的符號〔即結(jié)論2〕。 2、本節(jié)課你對自己的表現(xiàn)滿意嗎對同學(xué)呢能給教師一個評價嗎 五、作業(yè)設(shè)計 課本第53頁習(xí)題20.3 必做題：第1,3題； 選做題：第2,4,5題. 〖教學(xué)反思〗 本節(jié)課的教學(xué)堅持從學(xué)生實際出發(fā)，以學(xué)生為主體，注重對新理念的貫徹和教學(xué)方法的使用；在突破難點時，多種方法并用，注意培養(yǎng)自學(xué)能力；堅持當(dāng)堂訓(xùn)練，例題、練習(xí)的設(shè)計針對性強(qiáng)，重點突出，對方法的總結(jié)言簡意賅；學(xué)生能夠積極、主動的參與，充分經(jīng)歷了知識的形成、開展與應(yīng)用的過程，在這個過程中掌握了知識，形成了技能，開展了思維；教學(xué)效果很好！ 在課堂教學(xué)進(jìn)程的把握上還應(yīng)再簡練些，當(dāng)堂檢測4可讓學(xué)生課后完成，這樣教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成會更沉著。 20.3一元二次方程根的判別式 1、定義 例題解〔1〕 學(xué)生板演處 2、結(jié)論1 結(jié)論2 板書設(shè)計