2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第55講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(Word版含解析)
《2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第55講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(Word版含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第55講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(Word版含解析)(15頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第55講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 一、選擇題(共3小題) 1. 直線 y=kx?k+1 與橢圓 x29+y24=1 的位置關(guān)系為 ?? A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 不確定 2. 過點 0,1 作直線,使它與拋物線 y2=4x 僅有一個公共點,這樣的直線有 ?? A. 1 條 B. 2 條 C. 3 條 D. 4 條 3. 過點 0,1 作直線,使它與拋物線 y2=4x 僅有一個公共點,這樣的直線有 ?? A. 1 條 B. 2 條 C. 3 條 D. 4 條 二、填空題(共8小題) 4. 若直線
2、y=kx+2 與雙曲線 x2?y2=6 的右支交于不同的兩點,那么 k 的取值范圍是 ?. 5. 過點 A1,0 作傾斜角為 π4 的直線,與拋物線 y2=2x 交于 M、N 兩點,則 MN= ?. 6. 設(shè)雙曲線x2a2?y2b2=1的一條漸近線與拋物線y=x2+1?只有一個公共點,則雙曲線的離心率為 ?. 7. 已知橢圓 x24+y2=1,直線 l:y=x+35,則橢圓 C 上點到直線 l 距離的最大值為 ?,最小值為
3、?. 8. 已知斜率為 2 的直線經(jīng)過橢圓 x25+y24=1 的右焦點 F1,與橢圓相交于 A,B 兩點,則弦 AB 的長為 ?. 9. 已知 P1,1 為橢圓 x24+y22=1 內(nèi)一定點,經(jīng)過 P 引一條弦,使此弦被 P 點平分,則此弦所在的直線方程為 ?. 10. 已知橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0 的內(nèi)接 △ABC 的頂點 B 為短軸的一個端點,右焦點 F,線段 AB 中點為 K,且 CF=2FK,則橢圓離心率的取值范圍是 ?. 11. 已知點 P0,1
4、,橢圓 x24+y2=mm>1 上兩點 A,B 滿足 AP=2PB,則當(dāng) m= ?時,點 B 橫坐標(biāo)的絕對值最大. 三、解答題(共16小題) 12. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知橢圓 E:x24+y23=1 的左、右焦點分別為 F1,F(xiàn)2,點 A 在橢圓 E 上且在第一象限內(nèi),AF2⊥F1F2,直線 AF1 與橢圓 E 相交于另一點 B. (1)求 △AF1F2 的周長; (2)在 x 軸上任取一點 P,直線 AP 與橢圓 E 的右準(zhǔn)線相交于點 Q,求 OP?QP 的最小值; (3)設(shè)點 M 在橢圓 E 上,記 △OAB 與 △M
5、AB 的面積分別為 S1,S2,若 S2=3S1,求點 M 的坐標(biāo). 13. 已知 A,B 分別為橢圓 E:x2a2+y2=1a>1 的左、右頂點,G 為 E 的上頂點,AG?GB=8,P 為直線 x=6 上的動點,PA 與 E 的另一交點為 C,PB 與 E 的另一交點為 D. (1)求 E 的方程; (2)證明:直線 CD 過定點. 14. 已知直線 l:y=kx+2,橢圓 C:x24+y2=1.試問當(dāng) k 取何值時,直線 l 與橢圓 C: (1)有兩個不重合的公共點; (2)有且只有一個公共點; (3)沒有公共點. 15. 若直線 l:y=kx+2
6、 與曲線 C:y2=x 恰好有一個公共點,求實數(shù) k 的取值集合. 16. 已知直線 l:y=2x+m,橢圓 C:x24+y22=1,試問當(dāng) m 取何值時,直線 l 與橢圓 C: (1)有兩個不重合的公共點; (2)有且只有一個公共點; (3)沒有公共點. 17. 已知拋物線 C:y2=3x 的焦點為 F,斜率為 32 的直線 l 與拋物線 C 的交點為 A,B,與 x 軸的交點為 P. (1)若 AF+BF=4,求直線 l 的方程; (2)若 AP=3PB,求 AB 的長. 18. 已知動圓過定點 2,0,且在 y 軸上截得的弦長為 4,設(shè)動圓圓心的軌
7、跡為 H,點 Em,0m>0 為一個定點,過點 E 作斜率分別為 k1,k2 的兩條直線交 H 于點 A,B,C,D,且 M,N 分別是線段 AB,CD 的中點. (1)求軌跡 H 的方程; (2)若 m=1,且過點 E 的兩條直線相互垂直,求 △EMN 的面積的最小值. 19. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率為 12,過橢圓右焦點 F 作兩條互相垂直的弦 AB 與 CD.當(dāng)直線 AB 的斜率為 0 時,AB=4. (1)求橢圓的方程; (2)若 AB+CD=487,求直線 AB 的方程. 20. 已
8、知橢圓 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率為 12,點 A,B 分別為橢圓 E 的左、右頂點,點 C 在 E 上,且 △ABC 面積的最大值為 23. (1)求橢圓 E 的方程; (2)設(shè) F 為 E 的左焦點,點 D 在直線 x=?4 上,過 F 作 DF 的垂線交橢圓 E 于 M,N 兩點.證明:直線 OD 平分線段 MN. 21. 已知橢圓 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率為 12,點 A,B 分別為橢圓 E 的左、右頂點,點 C 在 E 上,且 △ABC 面積的最大值為 23. (1)求橢圓 E 的方程; (2)設(shè) F 為 E 的左焦點,點
9、D 在直線 x=?4 上,過 F 作 DF 的垂線交橢圓 E 于 M,N 兩點.證明:直線 OD 平分線段 MN. 22. 已知動圓過定點 A2,0,且在 y 軸上截得的弦長為 4,設(shè)動圓圓心的軌跡為 H,點 Em,0m>0 為一個定點,過點 E 作斜率分別為 k1,k2 的兩條直線交 H 于點 A,B,C,D,且 M,N 分別是線段 AB,CD 的中點. (1)求軌跡 H 的方程; (2)若 m=1,且過點 E 的兩條直線相互垂直,求 △EMN 的面積的最小值; (3)若 k1+k2=1,求證:直線 MN 過定點. 23. 已知橢圓 C:y2a2+x2b2=1(a>
10、b>0)的短軸長為 2,且橢圓 C 的頂點在圓 M:x2+y?222=12 上. (1)求橢圓 C 的方程. (2)過橢圓的上焦點作相互垂直的弦 AB,CD,求 ∣AB∣+∣CD∣ 的最小值. 24. 已知橢圓 C:x2a2+y2=1a>0,過橢圓 C 的右頂點和上頂點的直線與圓 x2+y2=23 相切. (1)求橢圓 C 的方程; (2)設(shè) M 是橢圓 C 的上頂點,過點 M 分別作直線 MA,MB 交橢圓 C 于 A,B 兩點,設(shè)這兩條直線的斜率分別為 k1,k2,且 k1+k2=2,證明:直線 AB 過定點. 25. 如圖,橢圓 E:x2a2+y2b2=1a>
11、b>0 的離心率是 22,點 P0,1 在短軸 CD 上,且 PC?PD=?1. (1)求橢圓 E 的方程; (2)設(shè) O 為坐標(biāo)原點,過點 P 的動直線與橢圓交于 A,B 兩點.是否存在常數(shù) λ,使得 OA?OB+λPA?PB 為定值?若存在,求 λ 的值;若不存在,請說明理由. 26. 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為 32,Aa,0,B0,b,O0,0,△OAB 的面積為 1. (1)求橢圓 C 的方程. (2)設(shè) P 是橢圓 C 上一點,直線 PA 與 y 軸交于點 M,直線 PB 與 x 軸交于點 N.求證:∣AN∣?∣BM∣ 為定
12、值. 27. 已知橢圓 x2a2+y2b2=1a>b>0 的離心率為 32,F(xiàn) 是其右焦點,直線 y=kx 與橢圓交于 A,B 兩點,AF+BF=8. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè) Q3,0,若 ∠AQB 為銳角,求實數(shù) k 的取值范圍. 答案 1. A 【解析】由于直線 y=kx?k+1=kx?1+1 過定點 1,1,又 1,1 在橢圓內(nèi),故直線與橢圓必相交. 2. C 【解析】結(jié)合圖形分析可知,滿足題意的直線共有 3 條:直線 x=0,過點 0,1 且平行于 x 軸的直線以及過點 0,1 且與拋物線相切的直線(非直線 x=0 ). 3. C
13、【解析】過 0,1 與拋物線 y2=4x 相切的直線有 2 條,過 0,1 與對稱軸平行的直線有一條,這三條直線與拋物線都只有一個公共點.
4. ?153 14、a和c的關(guān)系,則雙曲線的離心率可得.
【解析】解:依題意可知雙曲線漸近線方程為y=±bax,與拋物線方程聯(lián)立消去y得x2±bax+1=0
∵漸近線與拋物線有一個交點
∴△=b2a2?4=0,求得b2=4a2,
∴c=a2+b2=5a
∴e=ca=5
故答案為:5
【點評】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)和圓錐曲線之間位置關(guān)系.常需要把曲線方程聯(lián)立根據(jù)判別式和曲線交點之間的關(guān)系來解決問題.
7. 210,10
【解析】先求與直線 l:y=x+35 平行且與橢圓相切的直線 m,
設(shè)直線 m 的方程為 x?y+t=0,
聯(lián)立 y=x+t,x24+y2=1,
消去 y 并 15、整理,得 5x2+8tx+4t2?4=0.
因為直線 m 與橢圓相切,
所以 Δ=64t2?80t2?1=0,解得 t=±5,
即直線 m 的直線方程為 x?y±5=0,
所以橢圓 C 上點到直線 l 距離的最大和最小值就是直線 l:y=x+35 分別與兩條平行線 x?y±5=0 之間的距離,
故最小值是 ∣35?5∣2=10,最大值是 ∣35+5∣2=210.
8. 553
【解析】由題意知,橢圓的右焦點 F1 的坐標(biāo)為 1,0,直線 AB 的方程為 y=2x?1.
由方程組 y=2x?1,x25+y24=1, 消去 y,整理得 3x2?5x=0.
設(shè) Ax1,y1,Bx 16、2,y2,由根與系數(shù)的關(guān)系,得
x1+x2=53,x1x2=0.
則 ∣AB∣=x1?x22+y1?y22
??=1+k2x1+x22?4x1x2
??=1+22532?4×0
??=553.
9. x+2y?3=0
【解析】解法一:易知此弦所在直線的斜率存在,
所以設(shè)其方程為 y?1=kx?1,
弦的端點坐標(biāo)為 x1,y1,x2,y2.
由 y?1=kx?1,x24+y22=1
消去 y 得 2k2+1x2?4kk?1x+2k2?2k?1=0,
所以 x1+x2=4kk?12k2+1,
又因為 x1+x2=2,
所以 4kk?12k2+1=2,
解得 k=? 17、12.
故此弦所在的直線方程為 y?1=?12x?1,
即 x+2y?3=0.
解法二:易知此弦所在直線的斜率存在,所以設(shè)斜率為 k,
弦的端點坐標(biāo)為 x1,y1,x2,y2,
則
x124+y122=1,???①
x224+y222=1,???②
①?② 得 x1+x2x1?x24+y1+y2y1?y22=0,
因為 x1+x2=2,y1+y2=2,
所以 x1?x22+y1?y2=0,
所以 k=y1?y2x1?x2=?12.
所以此弦所在的直線方程為 y?1=?12x?1,
即 x+2y?3=0.
10. 0,33
【解析】由題意可設(shè) B0,b 18、,F(xiàn)c,0,線段 AB 中點為 K,且 CF=2FK,
可得 F 為 △ABC 的重心,
設(shè) Ax1,y1,Cx2,y2,
由重心坐標(biāo)公式可得,x1+x2+0=3c,y1+y2+b=0,
即有 AC 的中點 Mx,y,可得 x=x1+x22=3c2,y=y1+y22=?b2,
由題意可得點 M 在橢圓內(nèi),可得 9c24a2+14<1,
由 e=ca,可得 e2<13,即有 0 19、6.
??????(2) 設(shè) Px0,0,根據(jù)題意可得 x0≠1.
因為點 A 在橢圓 E 上,且在第一象限,AF2⊥F1F2,所以 A1,32.
因為準(zhǔn)線方程為 x=4,所以 Q4,yQ.
所以 OP?QP=x0,0?x0?4,?yQ=x0?4x0=x0?22?4≥?4,
當(dāng)且僅當(dāng) x0=2 時取等號.所以 OP?QP 的最小值為 ?4.
??????(3) 設(shè) Mx1,y1,點 M 到直線 AB 的距離為 d.
因為 A1,32,F(xiàn)1?1,0,所以直線 AF1 的方程為 y=34x+1.
因為點 O 到直線 AB 的距離為 35,S2=3S1,
所以 S2=3S1=3×1 20、2×AB×35=12AB?d.
所以 d=95,所以 3x1?4y1+3=9.???①
因為 x124+y123=1,???②
所以聯(lián)立 ①② 解得 x1=2,y1=0, x1=?27,y1=?127,
所以 M2,0或?27,?127.
13. (1) 依據(jù)題意作出如下圖象.
由橢圓方程 E:x2a2+y2=1a>1 可得:A?a,0,Ba,0,G0,1.
所以 AG=a,1,GB=a,?1,所以 AG?GB=a2?1=8.
所以 a2=9,所以橢圓方程為 x29+y2=1.
??????(2) 設(shè) P6,y0,則直線 AP 的方程為:y=y0?06??3x+3 21、,即:y=y09x+3.
聯(lián)立直線 AP 的方程與橢圓方程可得:x29+y2=1,y=y09x+3,
整理得:y02+9x2+6y02x+9y02?81=0,解得:x=?3 或 x=?3y02+27y02+9.
將 x=?3y02+27y02+9 代入直線 y=y09x+3 可得:y=6y0y02+9.
所以點 C 的坐標(biāo)為 ?3y02+27y02+9,6y0y02+9.
同理可得:點 D 的坐標(biāo)為 3y02?3y02+1,?2y0y02+1.
所以直線 CD 的方程為 y??2y0y02+1=6y0y02+9??2y0y02+1?3y02+27y02+9?3y02?3y02+1 22、x?3y02?3y02+1.
整理可得:y+2y0y02+1=8y0y02+369?y04x?3y02?3y02+1=8y063?y02x?3y02?3y02+1.
整理得:y=4y033?y02x+2y0y02?3=4y033?y02x?32.
故直線 CD 過定點 32,0.
14. (1) 聯(lián)立 y=kx+2,x2+4y2=4, 消去 y 并整理,
得 1+4k2x2+16kx+12=0,依題意,得 Δ=16k2?4×1+4k2×12=164k2?3.
當(dāng) Δ>0,即 k32 或 k>32 時,方程有兩個不同的實數(shù)根,可知原方程組有兩組不同的實數(shù)解,這時直線 l 與橢圓 23、C 有兩個不重合的公共點.
??????(2) 當(dāng) Δ=0,即 k=±32 時,方程有兩個相同的實數(shù)根,可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解,這時直線 l 與橢圓 C 有兩個互相重合的公共點,即直線 l 與橢圓 C 有且只有一個公共點.
??????(3) 當(dāng) Δ<0,即 ?32 24、一解 x=4,y=2.
②當(dāng) k≠0 時,Δ=4k?12?4×4k2=?8k+1,
令 Δ=0,解得 k=18,此時原方程組有唯一解.
綜上,實數(shù) k 的取值集合是 0,18.
16. (1) 將直線 l 的方程與橢圓 C 的方程聯(lián)立,
得方程組 y=2x+m,???①x24+y22=1,???②
將 ① 代入 ②,整理得 9x2+8mx+2m2?4=0,???③
方程 ③ 根的判別式 Δ=8m2?4×9×2m2?4=?8m2+144.
當(dāng) Δ>0,即 ?32 25、不重合的公共點.
??????(2) 當(dāng) Δ=0,即 m=±32 時,方程 ③ 有兩個相同的實數(shù)根,可知原方程組有兩組相同的實數(shù)解.
這時直線 l 與橢圓 C 有兩個互相重合的公共點,即直線 l 與橢圓 C 有且只有一個公共點.
??????(3) 當(dāng) Δ<0,即 m32 或 m>32 時,方程 ③ 沒有實數(shù)根,可知原方程組沒有實數(shù)解.
這時直線 l 與橢圓 C 沒有公共點.
17. (1) 設(shè)直線 l 的方程為 y=32x+m,Ax1,y1,Bx2,y2.
由拋物線焦半徑公式可知 AF+BF=x1+x2+32=4,所以 x1+x2=52.
聯(lián)立 y=32x+m,y2=3x, 26、 消去 y 并整理,得 9x2+12m?12x+4m2=0,
則 Δ=12m?122?144m2>0,解得 m<12,
所以 x1+x2=?12m?129=52,解得 m=?78,
所以直線 l 的方程為 y=32x?78,即 12x?8y?7=0.
??????(2) 設(shè) Pt,0,直線 l 的方程為 x=23y+t,
聯(lián)立 x=23y+t,y2=3x, 消去 x 并整理,得 y2?2y?3t=0,
則 Δ=4+12t>0,解得 t>?13,所以 y1+y2=2,y1y1=?3t.
因為 AP=3PB,所以 y1=?3y2,
所以 y2=?1,y1=3,所以 y1y2=?3, 27、
則 AB=1+49?y1+y22?4y1y2=133×4+12=4133.
18. (1) 設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為 x,y,由題意可以得到 x?22+y2=x2+4,化簡得 y2=4x,所以動圓圓心的軌跡 H 的方程為 y2=4x.
??????(2) 當(dāng) m=1 時,E 為拋物線 y2=4x 的焦點,因為 k1k2=?1,所以 AB⊥CD.設(shè)直線 AB 的方程為 y=k1x?1,Ax1,y1,Bx2,y2.
由 y=k1x?1y2=4x,得 k1y2?4y?4k1=0,則 y1+y2=4k1,y1y2=?4,x1+x2=y1+y2k1+2=4k12+2,
因為 Mx1+x22,y1+ 28、y22,所以 M2k12+1,2k1.
同理,可得 N2k12+1,?2k1.
所以 S△EMN=12∣EM∣?∣EN∣=122k122+2k12?2k122+?2k12=2k12+1k12+2≥22+2=4,當(dāng)且僅當(dāng) k12=1k12,即 k1=±1 時,△EMN 的面積取最小值 4.
19. (1) 由題意知 e=ca=12,2a=4.
又 a2=b2+c2,解得 a=2,b=3,
所以橢圓的方程為 x24+y23=1.
??????(2) ①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為 0 時,另一條弦所在直線的斜率不存在,由題意知 AB+CD=7,不滿足條件.
②當(dāng)兩弦所在直線的斜率 29、均存在且不為 0 時,設(shè)直線 AB 的方程為 y=kx?1,Ax1,y1,Bx2,y2,
則直線 CD 的方程為 y=?1kx?1.
將直線 AB 的方程代入橢圓方程中并整理,
得 3+4k2x2?8k2x+4k2?12=0,
則 x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2?123+4k2,
所以 AB=k2+1x1?x2=k2+1?x1+x22?4x1x2=12k2+13+4k2,
同理,CD=121k2+13+4k2=12k2+13k2+4,
所以 AB+CD=12k2+13+4k2+12k2+13k2+4=84k2+123+4k23k2+4=487,
解得 k=±1, 30、
所以直線 AB 的方程為 x?y?1=0 或 x+y?1=0.
20. (1) 由題意得 e=ca=12,ab=23,a2=b2+c2, 解得 a=2,b=3,
故橢圓 E 的方程為 x24+y23=1.
??????(2) 設(shè) Mx1,y1,Nx2,y2,D?4,n,線段 MN 的中點 Px0,y0,
則 2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,由(1)可得 F?1,0,
則直線 DF 的斜率為 kDF=n?0?4??1=?n3.
當(dāng) n=0 時,直線 MN 的斜率不存在,根據(jù)橢圓的對稱性可知 OD 平分線段 MN;
當(dāng) n≠0 時,直線 MN 的斜率 kMN=3n=y1 31、?y2x1?x2.
因為點 M,N 在橢圓 E 上,所以 x124+y123=1,x224+y223=1,
整理得 x1+x2x1?x24+y1+y2y1?y23=0,
又 2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,所以 y0x0=?n4,
即直線 OP 的斜率為 kOP=?n4,
因為直線 OD 的斜率為 kOD=?n4,所以直線 OD 平分線段 MN.
21. (1) 由題意有 e=ca=12,ab=23,a2=b2+c2,
解得 a=2,b=3.
所以橢圓 E 的方程為 x24+y23=1.
??????(2) 設(shè) Mx1,y1,Nx2,y2,D?4,n,線段 MN 32、 的中點 Px0,y0,
則 2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,
由(1)可得 F?1,0,則直線 DF 的斜率為 kDF=n?0?4??1=?n3,
當(dāng) n=0 時,直線 MN 的斜率不存在,根據(jù)橢圓的對稱性可知 OD 平分線段 MN.
當(dāng) n≠0 時,直線 MN 的斜率 kMN=3n=y1?y2x1?x2.
因為點 M,N 在橢圓 E 上,
所以 x124+y123=1,x224+y223=1,
整理得:x1+x2x1?x24+y1+y2y1?y23=0,
又 2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,
所以 y0x0=?n4,直線 OP 的斜率為 kOP=?n4, 33、
因為直線 OD 的斜率為 kOD=?n4,
所以直線 OD 平分線段 MN.
22. (1) 設(shè)動圓圓心的坐標(biāo)為 x,y,
由題意知 x?22+y2=x2+4,化簡得 y2=4x,
所以動圓圓心的軌跡 H 的方程為 y2=4x.
??????(2) 當(dāng) m=1 時,E 為拋物線 y2=4x 的焦點,
因為 AB⊥CD,所以 k1k2=?1.
設(shè)直線 AB 的方程為 y=k1x?1,Ax1,y1,Bx2,y2.
聯(lián)立 y=k1x?1,y2=4x, 消去 x 并整理,得 k1y2?4y?4k1=0,
則 y1+y2=4k1,y1y2=?4,x1+x2=y1+y2k1+2=4k 34、12+2.
因為 Mx1+x22,y1+y22,所以 M2k12+1,2k1.
同理,可得 N2k12+1,?2k1.所以
S△EMN=12EM?EN=122k122+2k12?2k122+?2k12=2k12+1k12+2≥22+2=4,
當(dāng)且僅當(dāng) k12=1k12,即 k1=±1 時,△EMN 的面積取最小值 4.
??????(3) 設(shè)直線 AB 的方程為 y=k1x?m,Ax1,y1,Bx2,y2.
聯(lián)立 y=k1x?m,y2=4x, 消去 x 并整理,得 k1y2?4y?4k1m=0,
則 y1+y2=4k1,y1y2=?4m,x1+x2=y1+y2k1+2m=4k 35、12+2m.
因為 Mx1+x22,y1+y22,所以 M2k12+m,2k1.
同理,可得 N2k22+m,2k2,所以 kMN=k1k2k1+k2=k1k2,
所以直線 MN 的方程為 y?2k1=k1k2x?2k12+m,
即 y=k1k2x?m+2,所以直線 MN 過定點 m,2.
23. (1) 由題意可知 2b=2,b=1.
又橢圓 C 的頂點在圓 M 上,則 a=2,
故橢圓 C 的方程為 y22+x2=1.
??????(2) 當(dāng)直線 AB 的斜率不存在或為零時,∣AB∣+∣CD∣=32;
當(dāng)直線 AB 的斜率存在,且不為零時,設(shè)直線 AB 的方程為 y=kx 36、+1,Ax1,y1,Bx2,y2,
聯(lián)立 y=kx+1,y22+x2=1, 消去 y,整理得 k2+2x2+2kx?1=0,
則 x1+x2=?2kk2+2,x1?x2=?1k2+2,
故 ∣AB∣=1+k2.
x1+x22?4x1x2=22k2+1k2+2.
同理可得 ∣CD∣=22k2+12k2+1,
所以 ∣AB∣+∣CD∣=62k2+122k2+1k2+2.
令 t=k2+1,則 t>1,0<1t<1,
所以 ∣AB∣+∣CD∣=62t22t?1t+1=622?1t1+1t=62?1t?122+94,
當(dāng) 0<1t<1 時,21t?122+94≤94,
所以 37、823≤∣AB∣+∣CD∣<32,
綜上可知,823≤∣AB∣+∣CD∣≤32,
所以 ∣AB∣+∣CD∣ 的最小值 823.
24. (1) 因為直線過點 a,0 和 0,1,
所以直線的方程為 x+ay?a=0,
因為直線與圓 x2+y2=23 相切,
所以 ∣?a∣1+a2=63,解得 a2=2,
所以橢圓 C 的方程為 x22+y2=1.
??????(2) 當(dāng)直線 AB 的斜率不存在時,設(shè) Ax0,y0,則 Bx0,?y0,
由 k1+k2=2 得 y0?1x0+?y0?1x0=2,解得 x0=?1.
當(dāng)直線 AB 的斜率存在時,設(shè) AB 的方程為 y=kx+mm 38、≠1,Ax1,y1,Bx2,y2,
由 x22+y2=1,y=kx+m?1+2k2x2+4kmx+2m2?2=0,得 x1+x2=?4km1+2k2,x1?x2=2m2?21+2k2,
由 k1+k2=2?y1?1x1+y2?1x2=2?kx2+m?1x1+kx1+m?1x2x1x2=2,
即 2?2kx1x2=m?1x1+x2?2?2k2m2?2=m?1?4km,
即 1?km2?1=?kmm?1,
由 m≠1 得 1?km+1=?km?k=m+1,
即 y=kx+m=m+1x+m?mx+1=y?x,
故直線 AB 過定點 ?1,?1.
綜上,直線 AB 過定點 ?1,?1. 39、
25. (1) 由已知得點 C,D 的坐標(biāo)分別為 0,?b,0,b.
又點 P 的坐標(biāo)為 0,1,且 PC?PD=?1,
于是 1?b2=?1,ca=22,a2?b2=c2,
解得 a=2,b=2,
所以橢圓 E 方程為 x24+y22=1.
??????(2) 當(dāng)直線 AB 的斜率存在時,設(shè)直線 AB 的方程為 y=kx+1,
A,B 的坐標(biāo)分別為 x1,y1,x2,y2.
聯(lián)立 x24+y22=1,y=kx+1, 得 2k2+1x2+4kx?2=0.
其判別式 Δ=4k2+82k2+1>0,
所以,x1+x2=?4k2k2+1,x1x2=?22k2+1.
從而 40、
OA?OB+λPA?PB=x1x2+y1y2+λx1x2+y1?1?y2?1=1+λ1+k2x1x2+kx1+x2+1=?2λ?4k2+?2λ?12k2+1=?λ?12k2+1?λ?2.
所以,當(dāng) λ=1 時,?λ?12k2+1?λ?2=?3,OA?OB+λPA?PB=?3 為定值.
當(dāng)直線 AB 斜率不存在時,直線 AB 即為直線 CD,此時 OA?OB+λPA?PB=OC?OD+λPC?PD=?2?λ=?3,故存在常數(shù) λ=1.
綜上可知,存在常數(shù) λ=1,使得 OA?OB+λPA?PB 為定值 ?3.
26. (1) 由題意得 ca=32,12ab=1,a2=b2+c2, 41、
解得 a=2,b=1.
所以橢圓 C 的方程為 x24+y2=1.
??????(2) (方法 1)由(1),知 A2,0,B0,1.
設(shè) Px0,y0,則 x02+4y02=4.
當(dāng) x0≠0 時,直線 PA 的方程為 y=y0x0?2x?2.
令 x=0,則 yM=?2y0x0?2,
從而 ∣BM∣=1?yM=1+2y0x0?2.
直線 PB 的方程為 y=y0?1x0x+1.
令 y=0,得 xN=?x0y0?1,
從而 ∣AN∣=2?xN=2+x0y0?1.
所以
∣AN∣?∣BM∣=2+x0y0?1?1+2y0x0?2=x02+4y02+4x0y0?4x 42、0?8y0+4x0y0?x0?2y0+2=4x0y0?4x0?8y0+8x0y0?x0?2y0+2=4.
當(dāng) x0=0 時,y0=?1,∣BM∣=2,∣AN∣=2,
所以 ∣AN∣?∣BM∣=4.
綜上,∣AN∣?∣BM∣ 為定值.
(方法 2)點 P 在曲線 x22+y12=1 上,不妨設(shè) P2cosθ,sinθ,
當(dāng) θ≠kπ 且 θ≠kπ+π2(k∈Z),直線 AP 的方程為 y?0=sinθ2cosθ?1x?2,
令 x=0,得 yM=sinθ1?cosθ,直線 BP 的方程為 y?1=sinθ?12cosθx?0,
令 y=0,得 xN=2cosθ1?sinθ,
所 43、以 ∣AN∣?∣BM∣=21?cosθ1?sinθ?1?sinθ1?cosθ=221?sinθ1?cosθ1?sinθ1?cosθ=2×2=4(定值).
當(dāng) θ=kπ 或 θ=kπ+θ2(k∈Z)時,M,N 是定點,易得 ∣AN∣?∣BM∣=4.
綜上 ∣AN∣?∣BM∣=4.
27. (1) 設(shè) F1 為橢圓的左焦點,連接 F1B,
由橢圓的對稱性可知,AF=F1B,
所以 AF+BF=BF1+BF=2a=8,所以 a=4,
又 e=32=ca,a2=b2+c2,解得 c=23,b=2,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x216+y24=1.
??????(2) 設(shè)點 Ax1,y1,Bx2,y2,則 QA=x1?3,y1,QB=x2?3,y2,
聯(lián)立 x216+y24=1,y=kx, 得 4k2+1x2?16=0,
所以 x1+x2=0,x1x2=?164k2+1,
因為 ∠AQB 為銳角,所以 QA?QB>0,
所以
QA?QB=x1?3x2?3+y1y2=9?3x1+x2+x1x2+y1y2=9?3x1+x2+1+k2x1x2=9?161+k24k2+1>0,
解得 k>3510 或 k3510.
第15頁(共15 頁)
- 溫馨提示:
1: 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
2: 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
3.本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
5. 裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 110中國人民警察節(jié)(筑牢忠誠警魂感受別樣警彩)
- 2025正字當(dāng)頭廉字入心爭當(dāng)公安隊伍鐵軍
- XX國企干部警示教育片觀后感筑牢信仰之基堅守廉潔底線
- 2025做擔(dān)當(dāng)時代大任的中國青年P(guān)PT青年思想教育微黨課
- 2025新年工作部署會圍繞六個干字提要求
- XX地區(qū)中小學(xué)期末考試經(jīng)驗總結(jié)(認(rèn)真復(fù)習(xí)輕松應(yīng)考)
- 支部書記上黨課筑牢清廉信念為高質(zhì)量發(fā)展?fàn)I造風(fēng)清氣正的環(huán)境
- 冬季消防安全知識培訓(xùn)冬季用電防火安全
- 2025加強政治引領(lǐng)(政治引領(lǐng)是現(xiàn)代政黨的重要功能)
- 主播直播培訓(xùn)直播技巧與方法
- 2025六廉六進持續(xù)涵養(yǎng)良好政治生態(tài)
- 員工職業(yè)生涯規(guī)劃方案制定個人職業(yè)生涯規(guī)劃
- 2024年XX地區(qū)黨建引領(lǐng)鄉(xiāng)村振興工作總結(jié)
- XX中小學(xué)期末考試經(jīng)驗總結(jié)(認(rèn)真復(fù)習(xí)輕松應(yīng)考)
- 幼兒園期末家長會長長的路慢慢地走