(浙江專用)2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 7.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件.ppt
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1、7.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和,,第七章數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,課時(shí)作業(yè),1,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),PART ONE,,知識(shí)梳理,1.等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義:如果一個(gè)數(shù)列從第 項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于 (不為零),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ,通常用字 母q表示,定義的表達(dá)式為 q(nN*,q為非零常數(shù)). (2)等比中項(xiàng):如果a,G,b成等比數(shù)列,那么 叫做a與b的等比中項(xiàng).即G是a與b的等比中項(xiàng)a,G,b成等比數(shù)列 .,ZHISHISHULI,,,,2
2、 同一常數(shù),G,G2ab,公比,2.等比數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式:an . (2)前n項(xiàng)和公式: Sn .,a1qn1,3.等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣:anam (n,mN*). (2)若mnpq2k(m,n,p,q,kN*),則aman .,qnm,apaq,1.將一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)取倒數(shù),所得的數(shù)列還是一個(gè)等比數(shù)列嗎?若是,這兩個(gè)等比數(shù)列的公比有何關(guān)系?,【概念方法微思考】,提示仍然是一個(gè)等比數(shù)列,這兩個(gè)數(shù)列的公比互為倒數(shù).,2.任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有等比中項(xiàng)嗎?,提示不是.只有同號(hào)的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)才有等比中項(xiàng).
3、,3.“b2ac”是“a,b,c”成等比數(shù)列的什么條件?,提示必要不充分條件.因?yàn)閎2ac時(shí)不一定有a,b,c成等比數(shù)列,比如a0,b0,c1.但a,b,c成等比數(shù)列一定有b2ac.,,題組一思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)滿足an1qan(nN*,q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列.() (2)如果數(shù)列an為等比數(shù)列,bna2n1a2n,則數(shù)列bn也是等比數(shù)列.() (3)如果數(shù)列an為等比數(shù)列,則數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列.() (4)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是anan,則其前n項(xiàng)和為Sn .() (5)數(shù)列an為等比數(shù)列,則S4,S8S4,S12S8成等比數(shù)
4、列.(),,,,1,2,3,4,5,6,,,,基礎(chǔ)自測(cè),JICHUZICE,,,,題組二教材改編 2.P51例3已知an是等比數(shù)列,a22,a5 ,則公比q___.,,1,2,3,4,5,6,3.P54T3公比不為1的等比數(shù)列an滿足a5a6a4a718,若a1am9,則m的值為 A.8 B.9 C.10 D.11,,1,2,3,4,5,6,解析由題意得,2a5a618,a5a69, a1ama5a69,m10.,,題組三易錯(cuò)自糾 4.若1,a1,a2,4成等差數(shù)列,1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列,則 的值 為_(kāi)___.,解析1,a1,a2,4成等差數(shù)列, 3(a2a1)41,a2a
5、11. 又1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列,設(shè)其公比為q,,,1,2,3,4,5,6,5.設(shè)Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,8a2a50,則 _____.,11,解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q, 8a2a50,8a1qa1q40. q380,q2,,,1,2,3,4,5,6,解析由題意可知,病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列an,且a12,q2,an2n, 則2n8210213,n13. 即病毒共復(fù)制了13次. 所需時(shí)間為13339(秒).,6.一種專門(mén)占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開(kāi)機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1 MB,然后每3秒自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍,那么開(kāi)機(jī)____秒,該病毒占據(jù)內(nèi)存8 G
6、B.(1 GB210 MB),,1,2,3,4,5,6,39,2,題型分類深度剖析,PART TWO,,題型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算,,自主演練,所以a5a1q44,故選B.,1.(2018臺(tái)州質(zhì)量評(píng)估)已知正項(xiàng)等比數(shù)列an中,若a1a32,a2a44,則a5等于 A.4 B.4 C.8 D.8,,2.(2018全國(guó))等比數(shù)列an中,a11,a54a3. (1)求an的通項(xiàng)公式;,解設(shè)an的公比為q,由題設(shè)得anqn1. 由已知得q44q2,解得q0(舍去),q2或q2. 故an(2)n1或an2n1(nN*).,(2)記Sn為an的前n項(xiàng)和,若Sm63,求m.,由Sm63得(2)m188,此方
7、程沒(méi)有正整數(shù)解. 若an2n1,則Sn2n1. 由Sm63得2m64,解得m6. 綜上,m6.,(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,an,q,n,Sn,已知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”). (2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),注意對(duì)q1和q1的分類討論.,,題型二等比數(shù)列的判定與證明,例1(2018麗水、衢州、湖州三地市質(zhì)檢)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,Snan13n1,nN*. (1)證明:數(shù)列an3是等比數(shù)列;,,師生共研,證明當(dāng)n2時(shí),由Snan13n1,得Sn1an3(n1)1, 由SnSn1得,an12an3,n2,,因此an3是以a134為
8、首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.,解由(1)知an342n12n1,Snan13n12n23n4,,當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),cos(m)1,f(2)3,f(m)m1, 因?yàn)樵坏仁娇苫癁?(m1)0,即m2,且m2k(k1,kN*). 當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),cos(m)1,f(2)3,f(m)2m11, 原不等式可化為32m11,當(dāng)m1時(shí)符合條件. 綜上可得,正整數(shù)m的取值范圍是m2k(k1,kN*)或m1.,(2)若an1an對(duì)一切nN*都成立,求t的取值范圍.,則0 9、.9 B.21 C.25 D.63,,解析因?yàn)镾210,所以q1, 由等比數(shù)列性質(zhì)得S2,S4S2,S6S4成等比數(shù)列, 即1(S65)(51)2, S621,故選B.,等比數(shù)列常見(jiàn)性質(zhì)的應(yīng)用 等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為三類: (1)通項(xiàng)公式的變形. (2)等比中項(xiàng)的變形. (3)前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件,認(rèn)真分析,發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口.,跟蹤訓(xùn)練2(1)(2018浙江稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校高三聯(lián)考)等比數(shù)列an中,前n項(xiàng)和為Sn,a1a92a3a6,S562,則a1的值為_(kāi)__.,-2,解析由等比數(shù)列的性質(zhì)及題意知a1a9a3a72a3a6,,,,,解析很明顯等比數(shù)列的公 10、比q1,,,高頻小考點(diǎn),GAOPINXIAOKAODIAN,等差數(shù)列與等比數(shù)列,,,,關(guān)于等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算在高考試題中頻繁出現(xiàn),其實(shí)質(zhì)就是解方程或方程組,需要認(rèn)真計(jì)算,靈活處理已知條件.,例1(2018浙江六校協(xié)作體期末聯(lián)考)已知數(shù)列an是公比為2的等比數(shù)列,滿足a6a2a10,設(shè)等差數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn,若b92a7,則S17等于 A.34 B.39 C.51 D.68,,解析方法一數(shù)列an是公比q2的等比數(shù)列,由a6a2a10得a1q5a1qa1q9, a1q51,a61,b92a72a6q2124,,a61,b92a72a624,,例2(2018浙江十校聯(lián)盟適應(yīng)性考試)已知等 11、差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列bn是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,b1是a1與a2的等差中項(xiàng),b12,a35,b3a41.若當(dāng)nm(mN*)時(shí),Snbn恒成立,則m的最小值為_(kāi)__.,4,解析由題意設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q,q1, 則a1a22a1d2b14,又a3a12d5, 所以a11,d2,an12(n1)2n1,,因?yàn)楫?dāng)nm(mN*)時(shí),Snbn恒成立,所以當(dāng)nm(mN*)時(shí)n22n恒成立,數(shù)形結(jié)合可知m的最小值為4.,3,課時(shí)作業(yè),PART THREE,基礎(chǔ)保分練,1.若等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,則“a2<0且a5<0”是“數(shù)列Sn單調(diào)遞減”的 A.充分不必要條件 12、 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,a5a2q30,an<0恒成立, 當(dāng)n2時(shí),SnSn1an<0,數(shù)列Sn單調(diào)遞減, 故“a2<0且a5<0”是“數(shù)列Sn單調(diào)遞減”的充分條件; 若數(shù)列Sn單調(diào)遞減,則當(dāng)n2時(shí),SnSn1an<0a2<0,a5<0, 故“a2<0且a5<0”是“數(shù)列Sn單調(diào)遞減”的必要條件,故選C.,2.已知遞增的等比數(shù)列an中,a26,a11,a22,a3成等差數(shù)列,則該數(shù)列的前6項(xiàng)和S6等于,,解析設(shè)數(shù)列an的公比為q,由題意可知,q1 13、,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn32n1r,則r的值為,解析當(dāng)n1時(shí),a1S13r, 當(dāng)n2時(shí),anSnSn132n132n3,,4.已知等比數(shù)列an的公比為2,且Sn為其前n項(xiàng)和,則 等于 A.5 B.3 C.5 D.3,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下類似問(wèn)題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八 14、十一,請(qǐng)問(wèn)底層幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的底層共有燈 A.186盞 B.189盞 C.192盞 D.96盞,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.若正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足anan122n(nN*),則a6a5的值是,解析設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q0, anan122n(nN*),,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,,,,7.(2018杭州質(zhì)檢)設(shè)各項(xiàng)均為 15、正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若S480,S28,則公比q___,a5____.,3 162,從而a5a1q4234162.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2018浙江名校協(xié)作體測(cè)試)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足對(duì)任意的正整數(shù)n,均有Sn38Sn3,則a1___,公比q___.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2,得S48a13,即a12a14a18a18a13,,解析由Sn38Sn3得Sn48Sn13,兩式作差得an48an1,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 16、,11,12,13,14,15,16,解析由題意得若S2計(jì)算正確,則a2S2S116a1, 則該等比數(shù)列的公比為1,易得S3,S4均錯(cuò)誤,與恰有一個(gè)數(shù)算錯(cuò)矛盾, 所以算錯(cuò)的數(shù)為32(S2).設(shè)該數(shù)列的公比為q,因?yàn)镾4S3a41307654,,9.(2019臺(tái)州調(diào)考)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知S116,某同學(xué)經(jīng)過(guò)計(jì)算得到S232,S376,S4130,檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)其中恰好一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了,則 算錯(cuò)的這個(gè)數(shù)是______,該數(shù)列的公比是___.,32(S2),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,S4S12S8,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9 17、,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解由題意得2a2S13,即2a2a13,,當(dāng)n2時(shí),由2an1Sn3,得2anSn13, 兩式相減得2an1an0,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018浙江省十校聯(lián)盟適應(yīng)性考試)在數(shù)列an中,a11,a24,且3an24an1an0,nN*. (1)求證:數(shù)列an1an是等比數(shù)列;,又a2a13,,,1,2,3,4,5,6,7,8, 18、9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Snm22m對(duì)任意的nN*恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以Sn也關(guān)于n單調(diào)遞增,所以SnS11. 于是,由Snm22m對(duì)任意的nN*恒成立,得1m22m,,技能提升練,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6, 19、7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)且公比大于1,前n項(xiàng)積為T(mén)n,且a2a4a3,則使得Tn1的n的最小值為 A.4 B.5 C.6 D.7,,,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a2a4a3,,又q1,a11(n3), TnTn1(n4,nN*),T11, 故n的最小值為6,故選C.,拓展沖刺練,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1 20、5.(2018浙江)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1a2a3a4ln(a1a2a3),若a11,則 A.a1a3,a2a4 B.a1a3,a2a4 C.a1a3,a2a4 D.a1a3,a2a4,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析構(gòu)造不等式ln xx1, 則a1a2a3a4ln(a1a2a3)a1a2a31, 所以a4a1q31.由a11,得q0. 若q1,則ln(a1a2a3)a1a2a3a4a1(1q)(1q2)0. 又a1a2a3a1(1qq2)a11, 所以ln(a1a2a3)0,矛盾. 因此1q0. 所以a1a3a1(1 21、q2)0,a2a4a1q(1q2)0, 所以a1a3,a2a4. 故選B.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積,形成新的數(shù)列,這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“擴(kuò)展”.將數(shù)列1,2進(jìn)行“擴(kuò)展”,第一次得到數(shù)列1,2,2;第二次得到數(shù)列1,2,2,4,2;.設(shè)第n次“擴(kuò)展”后得到的數(shù)列為1,x1,x2,,xt,2,并記anlog2(1x1x2xt2),其中t2n1,nN*,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,解anlog2(1x1x2xt2), 所以an1log21(1x1)x1(x1x2)xt(xt2)2,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
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