《2019九年級數(shù)學上冊 第二十四章 圓 小專題14 教材P124復習題T13的變式與應用習題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019九年級數(shù)學上冊 第二十四章 圓 小專題14 教材P124復習題T13的變式與應用習題（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 小專題?14 教材?P124?復習題?T13?的變式與應用 【教材母題】 如圖，點?E?是△ABC?的內(nèi)心，AE?的延長線和△ABC?的外接圓相交于點?D.求證： DE＝DB. 2 2 證明：連接?BE，由點?E?是△ABC?的內(nèi)心可知∠BAD＝∠CAD. ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠CBD. 又∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠BAD＋∠ABE＝∠CBE＋∠CBD. ∴∠BED＝∠EBD. ∴DE＝DB. 1 【問題延伸?1】 寫出∠BED?與∠C?的

2、關系：∠BED＝90°－?∠C． 1 G 【問題延伸?2】?設?AD?交?BC?于點?F，AD?為△ABC?外接圓的直徑，?為?AB?上一點，且∠ADG＝?∠C. 若?BG＝3，AG＝5，求?DE?的長． ∵∠ADG＝??∠C＝??∠ADB， 解：易證?AD?垂直平分?BC， 1 1 2 2 ∴DG?平分∠ADB. 由(1)知?BD＝DE，∴DG?垂直平分?BE.連接?GE，∴BG＝GE，∠DEG＝∠DBG＝90°. ∵BG＝3，AG＝5，∴GE＝3.∴AE＝4. 設?BD＝DE＝x，則

3、?x2＋82＝(x＋4)2，解得?x＝6. ∴DE＝6. 1 1．(臨沂中考)如圖，∠BAC?的平分線交△ABC?的外接圓于點?D，∠ABC?的平分線交?AD?于點?E. (1)求證：DE＝DB； (2)若∠BAC＝90°，BD＝，求 ABC?外接圓的半徑． 解：(1)解答同教材母題解答． (2)連接?DC，∵∠BAC＝90°， ∴BC?是直徑．∴∠BDC＝90°. ∵∠BAD＝∠CAD，BD＝4， ∴BD＝CD＝4. ∴BC

4、＝?BD2＋CD2＝4?2. ∴外接圓的半徑為?2?2. ．如圖，⊙O為 ABC?的外接圓，BC?為直徑，AD?平分∠BAC?交⊙O?于點?D，點?M?為△ABC?的內(nèi)心． (1)求證：BC＝?2DM； (2)若?DM＝5?2，AB＝8，求?OM?的長． 解：(1)證明：連接?MC，DB，DC. ∵點?M?為△ABC?的內(nèi)心， ∴MC?平分∠ACB. ∴∠ACM＝∠BCM. ∵BC?為直徑， ∴∠BAC＝90°. 2

5、 2 ∵AD?平分∠BAC， 1 ∴∠BAD＝∠CAD＝?∠BAC＝45°. ∴∠DBC＝∠BCD＝45°. ∴△BDC?為等腰直角三角形． ∴BC＝?2DC. 又∵∠DMC＝∠MAC＋∠ACM＝45°＋∠ACM， 而∠DCM＝∠BCD＋∠BCM＝45°＋∠BCM， ∴∠DMC＝∠DCM. ∴DC＝DM. ∴BC＝?2DM. (2)作?MF⊥BC?于點?F，ME⊥AC?于點?E，MH⊥AB?于點?H，連接?OM. ∵DM＝5?2， ∴BC＝?2DM＝10. 而?AB＝8， ∴AC＝?BC2－

6、AB2＝6. 設△ABC?的內(nèi)切圓半徑為?r， ∵點?M?為△ABC?的內(nèi)心， ∴MH＝ME＝MF＝r. ∴四邊形?AHME?為正方形． ∴AH＝AE＝r，則?CE＝CF＝6－r， BH＝BF＝8－r. 而?BF＋FC＝BC， ∴8－r＋6－r＝10，計算得出?r＝2. ∴MF＝2，CF＝6－2＝4， ∵OC＝5， ∴OF＝5－4＝1. 在?Rt△OMF?中，OM＝?MF2＋OF2＝?5. 小專題?15 與圓的切線有關的計算與證明 3 1．(懷化中考)如圖，在?

7、Rt△ABC?中，∠BAC＝90°. (1)先作∠ACB?的平分線交?AB?邊于點?P，再以點?P?為圓心，PA?長為半徑作⊙P；(要求：尺規(guī)作圖， 保留作圖痕跡，不寫作法) (2)請你判斷(1)中?BC?與⊙P?的位置關系，并證明你的結論． 解：(1)如圖所示，⊙P?為所求的圓． (2)BC?與⊙P?相切， 理由：過?P?作?PD⊥BC，垂足為?D， ∵CP?為∠ACB?的平分線，且?PA⊥AC，PD⊥CB， ∴PD＝PA. ∵PA?為⊙P?的半徑， ∴BC?與⊙P?相切．

8、 2．(永州中考)如圖，已知?AB?是⊙O?的直徑，過?O?點作?OP⊥AB，交弦?AC?于點?D，交⊙O?于點?E， 且使∠PCA＝∠ABC. (1)求證：PC?是⊙O?的切線； (2)若∠P＝60°，PC＝2，求?PE?的長． 解：(1)證明：連接?OC， ∵AB?是⊙O?的直徑， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCO＋∠ACO＝90°. ∵OC＝OB， 4 ∴∠B＝∠BCO. ∵∠PCA＝∠ABC， ∴∠BC

9、O＝∠ACP. ∴∠ACP＋∠OCA＝90°. ∴∠OCP＝90°，即?OC⊥PC. ∵OC?為⊙O?的半徑， ∴PC?是⊙O?的切線． (2)∵∠P＝60°，PC＝2，∠PCO＝90°， ∴OC＝2?3，OP＝2PC＝4. ∴PE＝OP－OE＝OP－OC＝4－2?3. 3．(黃石中考)如圖，⊙O?是△ABC?的外接圓，BC?為⊙O?的直徑，點?E?為△ABC?的內(nèi)心，連接?AE 并延長交⊙O?于點?D，連接?BD?并延長至點?F，使得?BD＝DF，連接?CF，BE.求證： (1)DB＝DE； (

10、2)直線?CF?為⊙O?的切線． 證明：(1)∵E?為△ABC?的內(nèi)心， ∴∠DAC＝∠DAB，∠CBE＝∠EBA. 又∵∠DBC＝∠DAC，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∠DEB＝∠EAB＋∠EBA， ∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE. (2)連接?OD. ∵BD＝DF，O?是?BC?的中點， ∴OD∥CF. 又∵BC?為⊙O?的直徑，OB＝OD， ∴∠ODB＝∠DBO＝∠DAC＝45°. 5 ∴∠BCF＝∠BOD＝90°. ∴

11、OC⊥CF. 又?OC?為⊙O?的半徑，∴直線?CF?為⊙O?的切線． ︵ 4．(北京中考)如圖，AB?為⊙O?的直徑，F(xiàn)?為弦?AC?的中點，連接?OF?并延長交AC于點?D，過點?D 作⊙O?的切線，交?BA?的延長線于點?E. (1)求證：AC∥DE； (2)連接?CD，若?OA＝AE＝a，寫出求四邊形?ACDE?面積的思路． ∴可以進一步求出 AO???的面積為????3 ③等量代換可得四邊形?ACDE?的面積為????3 解：(1)證明：∵ED?與⊙O?相切于點?D，

12、 ∴OD⊥DE. ∵F?為弦?AC?的中點， ∴OD⊥AC.∴AC∥DE. (2)①連接?AD，易知?AD＝AO， 又∵OA＝，∴ AOD?是等邊三角形，且邊長為?a. a2； 4 ②根據(jù)點?A?是?EO?中點，可知△EOD?的面積是△AOD?面積的?2?倍，∴可得△EOD?的面積為 a2. 2  3 2  a2； 5．如圖所示，MN?是

13、⊙O?的切線，B?為切點，BC?是⊙O?的弦且∠CBN＝45°，過?C?的直線與⊙O， MN?分別交于?A，D?兩點，過?C?作?CE⊥BD?于點?E. (1)求證：CE?是⊙O?的切線； (2)若∠D＝30°，BD＝2＋2?3，求⊙O?的半徑?r. 6 解：(1)證明：連接?OB，OC. ∵MN?是⊙O?的切線， ∴OB⊥MN. ∵∠CBN＝45°， ∴∠OBC＝45°，∠BCE＝45°. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝45°. ∴∠

14、OCE＝90°. 又∵點?C?在⊙O?上， ∴CE?是⊙O?的切線． (2)∵OB⊥BE，CE⊥BE，OC⊥CE， ∴四邊形?BOCE?是矩形． 又∵OB＝OC，∴四邊形?BOCE?是正方形． ∴BE＝CE＝OB＝OC＝r. 在?Rt△CDE?中，∵∠D＝30°，CE＝r，∴DE＝?3r. ∵BD＝2＋2?3，∴r＋?3r＝2＋2?3.解得?r＝2. 即⊙O?的半徑為?2. 6．已知直線?l?與⊙O，AB?是⊙O?的直徑，AD⊥l?于點?D. (1)如圖?1，當直線?l?與⊙O?相切于點?C?時，若∠DAC＝30°，

15、求∠BAC?的大小； (2)如圖?2，當直線?l?與⊙O?相交于點?E，F(xiàn)?時，若∠DAE＝18°，求∠BAF?的大小． 解：(1)連接?OC. ∵直線?l?與⊙O?相切于點?C， ∴OC⊥l. 7 又∵AD⊥l， ∴AD∥OC. ∴∠ACO＝∠DAC＝30°. ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠ACO. ∴∠BAC＝∠DAC＝30°. (2)連接?BF. ∵∠AEF?為?Rt△ADE?的一個外角，∠DAE＝18°，∴∠AEF＝∠ADE＋

16、∠DAE＝90°＋18°＝108°. ∵四邊形?ABFE?是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠AEF＋∠B＝180°. ∴∠B＝180°－108°＝72°. ∵AB?是⊙O?的直徑，∴∠AFB＝90°. ∴∠BAF＝90°－∠B＝18°. 7．(教材?P102?習題?T12?變式)如圖，AB?是⊙O?的直徑，C?為⊙O?上一點，AD?與過?C?點的切線互相 垂直，垂足為?D，AD?交⊙O?于點?E，DE＝2，CD＝4. (1)求證：AC?平分∠BAD； (2)求⊙O?的半徑?R； (3)延長?AB，DC?交于點?F，OH⊥AC?于點?H

17、.若∠F＝2∠ABH，則?BH?的長為?2?10(直接寫出)． 解：(1)證明：連接?OC， ∵FD?切⊙O?于點?C. ∴OC⊥FD. ∵AD⊥FD.∴OC∥AD. ∴∠ACO＝∠DAC. ∵OC＝OA， 8 ∴∠ACO＝∠CAO. ∴∠DAC＝∠CAO， 即?AC?平分∠DAB. (2)作?OG⊥AE?于點?G，則?AG＝EG. ∴OG＝CD＝4，OC＝DG＝R. ∴EG＝R－2＝AG. 在?Rt△AGO?中，(R－2)2＋42＝R2， ∴R＝5. (3)提示：連接?BE，∵∠AEB＝90°. ∴BE∥DF. ∴∠F＝∠ABE＝2∠ABH. ∴BH?平分∠ABE. 又∵AC?平分∠BAD. ∴∠AHB＝135°. ∴△CHB?是等腰三角形． ∴BC＝CH＝AH. 設?BC＝x，AC＝2x， 在?Rt△ABC?中，x2＋(2x)2＝102， ∴x＝2?5， ∴BH＝?2CH＝2?10. 9