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1、2020/7/8,1,第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng),張遠(yuǎn)輝 機(jī)械電子所 2014,,,,,,2020/7/8,2,機(jī)器人是個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，它的每一個(gè)動(dòng)作都是各個(gè)元部件共同作用的結(jié)果。,2020/7/8,3,3.1 位置與姿態(tài) 3.2 正交坐標(biāo)系 3.3 運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)表示 3.4 齊次坐標(biāo)變換 3.5 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng),為了系統(tǒng)地、精確地描述各個(gè)元部件的作用以及它們之間的關(guān)系，需要引入一套機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)。,2020/7/8,4,要全面地確定一個(gè)物體在三維空間中的狀態(tài)需要有三個(gè)位置自由度和三個(gè)姿態(tài)自由度。前者用來(lái)確定物體在空間中的具體方位，后者則是確定物體的指向。我們將物體的六個(gè)自由度的狀態(tài)稱為物體

2、的位姿。,如果H為手坐標(biāo)系，用以描述手的姿態(tài)，那再加上手的位置就構(gòu)成了手的位姿。,3.1 位置與姿態(tài),一般姿態(tài)的描述可以用橫滾（Roll）、俯仰（Pitch）和側(cè)擺（Yaw）三軸的轉(zhuǎn)角來(lái)實(shí)現(xiàn)。,,繞坐標(biāo)系H各軸轉(zhuǎn)動(dòng),,,,,,,,,,,yaw,P,roll,pitch,,,,,,,,,,,H,XH,ZH,YH,2020/7/8,5,從二維坐標(biāo)系說(shuō)起,如果已知P點(diǎn)在H坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為1,1T, 則P在B下的坐標(biāo)?,2020/7/8,6,坐標(biāo)系重合的情況（旋轉(zhuǎn)）,,,2020/7/8,7,正交基之間的變換,2020/7/8,8,帶入后,坐標(biāo)寫成列向量,2020/7/8,9,旋轉(zhuǎn)矩陣R,2020/7

3、/8,10,僅僅只有平移,,H坐標(biāo)系的原點(diǎn)，在B坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是a,bT ，則,2020/7/8,11,僅僅只有平移,,2020/7/8,12,先平移+后旋轉(zhuǎn),,2020/7/8,13,先旋轉(zhuǎn)+后(相對(duì)于B平移a,b),,2020/7/8,14,有加法和乘法--整合,2020/7/8,15,3.2 正交坐標(biāo)系,3.2.1 正交坐標(biāo)系及矢量的基礎(chǔ)知識(shí),,,,,,,,右圖是所謂的正交坐標(biāo)系B(x,y,z)，用來(lái)表示機(jī)器人的基坐標(biāo)， 其中 , , 分別是三個(gè)坐標(biāo)軸的單位向量。 B系中有另外一個(gè)坐標(biāo)系H（xH，yH，zH），用來(lái)表示手坐標(biāo), 其中 , , 分別是H系三個(gè)坐標(biāo)軸的單位向量。,,

4、,,,,,,,,,,,,z,y,x,B,H,H,z,H,x,H,y,,,,,,,,a,,n,,o,,i,,,,,,,,j,,k,,,P,端點(diǎn)P相對(duì)于機(jī)器人手坐標(biāo)系H,及基座坐標(biāo)系B的定位,2020/7/8,16,3.2.1.1 正交坐標(biāo)系的性質(zhì),,,,,,,,,,單位矢量 , , 在基坐標(biāo)系中可表示為,根據(jù)矢量點(diǎn)積和叉積的性質(zhì)，對(duì)于相互正交的單位矢量 ， ， 有,對(duì)于單位矢量 , , 也有同樣的性質(zhì)。,2020/7/8,17,,,令矩陣 R稱為正交坐標(biāo)變換矩陣。,,,,,,當(dāng)用列向量表示單位矢量時(shí)，有,于是，變換矩陣R可以表示為：,當(dāng)用矩陣表示兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘時(shí)，有,

5、2020/7/8,18,3.2.1.2 正交坐標(biāo)變換矩陣R的性質(zhì),顯然,,于是可得,,1,-,=,R,R,T,2020/7/8,19,3.2.1.3 正交坐標(biāo)變換矩陣的幾何意義,,, 上式可寫成,其中,考慮到,上式表明正交坐標(biāo)變換矩陣R實(shí)現(xiàn)了由手坐標(biāo)系H到基坐標(biāo)系B的正交坐標(biāo)變換，它可以將一組3個(gè)相互正交的單位矢量變換為另一組3個(gè)相互正交的單位矢量，每一組單位矢量均代表了一個(gè)正交坐標(biāo)系。這也說(shuō)明了將矩陣R稱為正交坐標(biāo)變換矩陣的原因。在機(jī)器人學(xué)中經(jīng)常要用到這種正交坐標(biāo)變換。,2020/7/8,20,3.2.2 位置的描述,一旦建立起一個(gè)坐標(biāo)系，我們就可以用3維的位置矢量來(lái)確定該空間內(nèi)任一點(diǎn)的位置

6、 。其中，x、y、z是p點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸上坐標(biāo)分量。用這種方法可以很容易地表示出手坐標(biāo)（原點(diǎn)）在基坐標(biāo)系中的空間位置。,3.2.3 姿態(tài)的描述,物體的姿態(tài)可由某個(gè)固接在物體上的坐標(biāo)系來(lái)描述。設(shè)在空間中除了有參考坐標(biāo)系B外，還有物體質(zhì)心上的一個(gè)笛卡爾正交坐標(biāo)系H，且H系與此物體的空間位置關(guān)系是固定不變的，那么就可以H系的三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量相對(duì)于B系的方向來(lái)表示H系和B系的姿態(tài)。,2020/7/8,21,2020/7/8,22,,假設(shè) 為H坐標(biāo)系中某軸的單位向量，即它在B坐標(biāo)系的方向可以 與B系三軸夾角的余弦值為分量加以表達(dá)，見(jiàn)下圖。,,,,因此正交坐標(biāo)變換矩陣R為一方向余弦矩

7、陣，也被稱之為旋轉(zhuǎn)矩陣（具體含義將在后面小節(jié)中闡述）。,,,,,,,,,,,j,l,g,,,,,x,y,z,,,,,k,,,B,,l,l,a,l,b,,,i,,,,矢量的方向矢徑表示,2020/7/8,23,3.3 運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)表示,3.3.1 平動(dòng)的坐標(biāo)表示,,,,設(shè)手坐標(biāo)系H與基坐標(biāo)系B具有相同的姿態(tài)，但H系坐標(biāo)原點(diǎn)與B系的原點(diǎn)不重合。用矢量 來(lái)描述H系相對(duì)于B系的位置（如右圖所示），稱 為H系相對(duì)于B系的平移矢量。如果點(diǎn)p在H系中的位置為 ，那么它相對(duì)于B系的位置矢量 可由矢量相加得出，即,稱其為坐標(biāo)平移方程。,,,2020/7/8,24,下面以繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角為例來(lái)研究繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度的

8、表示法。設(shè)H系從與B系相重合的位置繞B系的z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角 ，H系與B系的關(guān)系如右圖所示。,3.3.2 轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)表示,(1) 繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度的表示法,,,2020/7/8,25,,,,,實(shí)現(xiàn)兩個(gè)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的矩陣，又叫轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R，可表示為,上面的分析說(shuō)明了R矩陣可以用來(lái)表示繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，這表征了R矩陣的另一種幾何意義。,2020/7/8,26,,設(shè)B系與H系的z軸相重合，B系繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角 就得H系，如下圖所示。,,(2) 兩個(gè)坐標(biāo)系的投影之間的關(guān)系,2020/7/8,27,,,,,已知矢徑 在H系三軸投影分別為u,v,w。則由上圖可知,,由上式可見(jiàn)，R矩陣可以將矢徑在手坐標(biāo)系上的

9、投影變換到該矢徑在基坐標(biāo)系上的投影，這表征了R矩陣的又一種幾何意義。,2020/7/8,28,(3) 具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量的投影之間的關(guān)系,,,,設(shè)矢量 在坐標(biāo)系Bxy的投影為u，v，w；將矢量 繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角，得到矢量 ，設(shè)矢量 在同一坐標(biāo)系的投影為x, y, z，如下圖所示。,,,,,,,,,,,x,y,H,y,,),,,(,H,B,,,z,q,z,q,,,,H,x,,y,u,P,,v,,,x,Q,關(guān)系具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量的投影之間的投影,O,2020/7/8,29,如果注意到 在x,y軸的投影相當(dāng)于 在 軸的投影，再對(duì)比頁(yè)和頁(yè)的兩個(gè)圖所示的相同幾何關(guān)系，便可得式（）相同結(jié)果，只是

10、此時(shí)的u，v，w與x，y，z同前面討論的情況的幾何含義不同。這時(shí)矩陣R用來(lái)表示具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量在同一坐標(biāo)系中的投影之間的關(guān)系，這表征了R矩陣的最后一種幾何意義。 至此，歸納了R矩陣的四種幾何意義，這對(duì)于認(rèn)識(shí)R矩陣的本質(zhì)，研究機(jī)器人的坐標(biāo)系統(tǒng)很有幫助。,2020/7/8,30,,3.3.3 復(fù)合運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)表示,,2020/7/8,31,,對(duì)于任意一點(diǎn)P在B和H系中的描述有以下的關(guān)系,其中，,是 p 點(diǎn)相對(duì)于B系的位置矢量。,至此，我們由淺入深地介紹了物體的基本宏觀運(yùn)動(dòng)在坐標(biāo)系中的表示方法，這是我們學(xué)習(xí)機(jī)器人復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的最基本的數(shù)學(xué)工具。在后續(xù)章節(jié)中會(huì)頻繁地用到。,,2020/7/8,32,

11、3.4 齊次坐標(biāo)變換,3.4.1 齊次坐標(biāo)的定義和性質(zhì),3.4.1.1 齊次坐標(biāo)的概念,,,,,,,,用四個(gè)數(shù)所組成的列向量 來(lái)表示三維空間中的一點(diǎn) ，這兩個(gè)坐標(biāo)向量之間的關(guān)系是 ， ， 則 稱為三維空間點(diǎn) 的齊次坐標(biāo)。通常情況下取w=1,則 的齊次坐標(biāo)表示為 。,2020/7/8,33,3.4.1.2 齊次坐標(biāo)的性質(zhì),,,（1）齊次坐標(biāo)的不唯一性 所謂不唯一性是指某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)有無(wú)窮多點(diǎn)，不是單值確定的。例如 是某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，則 也是該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。,,,,,（2）齊次坐標(biāo)的原點(diǎn)和坐標(biāo)軸 根據(jù)齊次坐標(biāo)

12、的定義，齊次坐標(biāo) 表示坐標(biāo)原點(diǎn)，而 ， ， 分別表示OX軸、OY軸和OZ軸的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即表示直角坐標(biāo)的OX軸、OY軸和OZ軸。,2020/7/8,34,,,,,,,,,則有,,其中，,,（）,2020/7/8,35,3.4.2 齊次變換和齊次矩陣,,,,在引入齊次坐標(biāo)之后，現(xiàn)在我們來(lái)看如何用齊次坐標(biāo)來(lái)表示上一節(jié)中所講的內(nèi)容。在上一節(jié)的最后我們?cè)玫芽枠?biāo)系統(tǒng)表示出了物體復(fù)合運(yùn)動(dòng)，最后我們得出了 的結(jié)論，它表示了 由到 的變換?，F(xiàn)在我們利用齊次坐標(biāo)來(lái)表示出上式：,,,,2020/7/8,36,,,,,A矩陣稱為齊次矩陣（Homogeneous matri

13、x）,在機(jī)器人學(xué)中是個(gè)重要的術(shù)語(yǔ)，它將轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)組合在一個(gè)44矩陣中。 其中 為33的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣， 為13的零陣 ， 為表示移動(dòng)的31的列陣。接下來(lái)我們將利用齊次矩陣來(lái)表示物體的運(yùn)動(dòng)。,2020/7/8,37,3.4.2.1 利用齊次矩陣表示平移變換,,,,設(shè)向量 ， 要和向量 相加得V，即 （）,,欲求一變換矩陣H，使得U經(jīng)過(guò)H變換之后變成向量V，即 （） 考慮到式（）和式（）等效，根據(jù)式（）可知,平移變換就是用于兩個(gè)向量的相加。,2020/7/8,38,此變換矩陣有一性質(zhì)就是它的

14、每一個(gè)元素乘上一個(gè)非零的元素后不會(huì)改變這個(gè)變換。,,,,由此可知得,2020/7/8,39,3.4.2.2 利用齊次矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換,根據(jù)直角坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)的關(guān)系，易得繞X，Y，Z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角的相應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換是,,,,2020/7/8,40,例如，已知一個(gè)向量U繞Z軸旋轉(zhuǎn)90變成V，則用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為,,,如，一個(gè)向量U 先后繞X、Y軸分別旋轉(zhuǎn)90、60得到V，用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為,2020/7/8,41,3.4.2.3 利用齊次矩陣表示旋轉(zhuǎn)加平移變換,把上述兩種變換結(jié)合起來(lái)用齊次矩陣表示，這時(shí)的齊次變換矩陣就是,,,2020/7/8,42,,,可見(jiàn)，在齊次變換矩陣中旋轉(zhuǎn)矩陣 和 表

15、示平移的列陣 確實(shí)是分離的。,,注意，一般情況下,2020/7/8,43,3.4.2.4 利用齊次矩陣表示手的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng),,,,,手的轉(zhuǎn)動(dòng)可以表示為繞X軸的側(cè)擺 ，繞Y軸的俯仰 和繞Z軸橫滾 ，依次構(gòu)成的復(fù)合轉(zhuǎn)動(dòng)，采用簡(jiǎn)化符號(hào) ，則有,,2020/7/8,44,,上式表示了手的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。如果手除了轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)以外還可做移動(dòng)運(yùn)動(dòng)，只需將上式中齊次矩陣的第4列用表示移動(dòng)的矩陣塊 來(lái)代替，便可得到包括3個(gè)姿態(tài)轉(zhuǎn)動(dòng)和3個(gè)平移的6自由度運(yùn)動(dòng)的齊次矩陣。,,,,2020/7/8,45,3.4.3 齊次變換的性質(zhì),3.4.3.1 變換過(guò)程的相對(duì)性相對(duì)變換,,,,,前面所介紹的所有旋轉(zhuǎn)和平

16、移變換都是相對(duì)于參考坐標(biāo)系B系而言的。例如 上述的變換過(guò)程是：手坐標(biāo)系H首先繞著基坐標(biāo)系B旋轉(zhuǎn) ，然后平移 。這種變換的順序是從右向左進(jìn)行的。 這樣的過(guò)程也可以以相反的順序進(jìn)行，即從左向右進(jìn)行。此時(shí)可以理解為首先手坐標(biāo)系H在基坐標(biāo)系B 中平移 然后繞當(dāng)前的手坐標(biāo)系H的 軸旋轉(zhuǎn) 。,2020/7/8,46,一般的變換過(guò)程可以分兩種情況： (1) 如果我們用一個(gè)描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，左乘一個(gè)坐標(biāo)系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對(duì)于靜止坐標(biāo)系進(jìn)行的。 (2) 如果我們用一個(gè)描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，右乘一個(gè)坐標(biāo)系的變

17、換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系進(jìn)行的。,真是那么精彩嗎?,2020/7/8,47,3.4.3.2 變換過(guò)程的可逆性逆變換,在機(jī)器人學(xué)中很多時(shí)候要用到齊次變換矩陣的逆陣，下面我們將導(dǎo)出齊次變換矩陣的逆陣的求法。,2020/7/8,48,3.4.3.3 變換過(guò)程的封閉性--變換方程的建立,在解機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，要經(jīng)常解變換方程。在這些變換方程里，一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)往往要用兩種或多種方式來(lái)描述。,,（1） 機(jī)器人 變換Z：參考坐標(biāo)系U 基坐標(biāo)系B 變換A：基坐標(biāo)系B 手坐標(biāo)系H 變換E：手坐標(biāo)系H 加工工具T （2） 變位機(jī) 變換P：參考坐標(biāo)系U 變位機(jī)V 變換Q：變位機(jī)

18、V 被加工件W,2020/7/8,49,這種聯(lián)系亦可由一有向變換圖表述，見(jiàn)右圖。,,,,,,如果我們希望解上述方程，求出變換A ，就必須對(duì)方程左乘 ，然后右乘 ，得到 實(shí)際上，可以從封閉的有向變換圖的任一變換開(kāi)始列變換方程。從某一變換弧開(kāi)始，順箭頭方向?yàn)檎较?，逆箭頭方向?yàn)槟孀儞Q，一直連續(xù)列寫到相鄰于該變換弧為止（但不再包括該起點(diǎn)變換），如果包括該起點(diǎn)變換，則得到一個(gè)單位變換。,2020/7/8,50,3.5 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng),3.5.1 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng)的構(gòu)成,現(xiàn)在讓我們?cè)O(shè)想完成將一條螺栓擰入螺母這樣一項(xiàng)簡(jiǎn)單的工作。如果是人來(lái)完成這件事情，每個(gè)人看來(lái)都是非常容易的。但

19、是如果讓機(jī)器人來(lái)完成這項(xiàng)工作，機(jī)器人必須規(guī)劃出每個(gè)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，最終合成末端執(zhí)行器的動(dòng)作。在完成這樣的工作時(shí)，我們必須為每個(gè)關(guān)節(jié)變量規(guī)劃出運(yùn)動(dòng)軌跡，而這樣的軌跡是相對(duì)于每個(gè)關(guān)節(jié)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系而言的。由此可見(jiàn)，我們必須為每一個(gè)關(guān)節(jié)定義出一個(gè)坐標(biāo)系。除此之外，為了能與工件相配合完成既定的工作，也需要為工件和周圍環(huán)境定義出坐標(biāo)系統(tǒng)。所有上述的坐標(biāo)系就構(gòu)成了一個(gè)機(jī)器人的坐標(biāo)系統(tǒng)。由上面的分析可以得出這樣的坐標(biāo)系統(tǒng)包括三大部分：,（1）機(jī)器人自身的坐標(biāo)系 （2）作業(yè)工件和變位機(jī)的坐標(biāo)系 （3）作為共同參考的世界坐標(biāo)系 其中，世界坐標(biāo)系是聯(lián)系前兩種坐標(biāo)系的紐帶。下面我們舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明如何建立機(jī)器人的

20、坐標(biāo)系統(tǒng)。,2020/7/8,51,3.5.2 變換方程的建立,機(jī)器人變換方程的建立主要是利用上一節(jié)所介紹的齊次變換的封閉性。接下來(lái)將利用圖3-11的例子來(lái)說(shuō)明如何建立變換方程。,,,,,,設(shè)由P系到U系的變換矩陣為 ， 由B系到U系的變換矩陣為 ， 由H系到B系的變換矩陣為 ， 由E系到H系的變換矩陣為 。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B,U,B,U,T,H,H,B,T,,,,E,,,,,,,,,P,,P,U,T,E,P,T,E,H,T,,,,,操作機(jī)坐標(biāo)系及變換方程的建立,2020/7/8,52,,,,,,,于是，固定在鉆頭端點(diǎn)處的工具坐標(biāo)系E系相對(duì)世界坐標(biāo)系U系

21、的位置可表示為 另一方面，由P系到U系的變換矩陣為 ，由E系到P系的變換矩陣為 ，工件上孔的位置（即E系）相對(duì)于U系的位置為 （） 由以上兩個(gè)公式可得 式（）即所謂的機(jī)器人的變換方程。解此方程，由上式左乘 ，右乘 ，則得 由此可以求出手坐標(biāo)系相對(duì)于基坐標(biāo)系的變換矩陣，于是便可以知道手相對(duì)于基座處于何種姿態(tài)時(shí)，便可以完成在工件上的鉆孔工作。,2020/7/8,53,參考文獻(xiàn),1. 陳哲，吉熙章編著，機(jī)器人技術(shù)基礎(chǔ)，機(jī)械工業(yè)出版社，1997.10 2. 熊有倫,丁漢,劉恩滄.機(jī)器人學(xué).機(jī)械工業(yè)出版 社, 1993年10月,2020/7/8,54,The End of Chapt. 3,