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1、2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,第二章 建模方法示例,2.1 公平的席位分配 2.2 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途 2.3 雙層玻璃窗的功效 2.4 汽車(chē)剎車(chē)距離 2.5 劃艇比賽的成績(jī) 2.6 實(shí)物交換 2.7 核軍備競(jìng)賽 2.8 啟帆遠(yuǎn)航 2.9 量綱分析與無(wú)量綱化,,,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,2.1 公平的席位分配,問(wèn)題,三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席。,現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103, 63, 34, 問(wèn)20席如何分配。,若增加為21席，又如何分配。,比例加慣例,對(duì)丙系公平嗎,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,“公

2、平”分配方法,衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo),當(dāng)p1/n1= p2/n2 時(shí)，分配公平,p1/n1 p2/n2 對(duì)A的絕對(duì)不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!,雖二者的絕對(duì)不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ，對(duì) 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,公平分配方案應(yīng)使 rA , rB 盡量小,設(shè)A, B已分別有n1, n2 席，若增

3、加1席，問(wèn)應(yīng)分給A, 還是B,不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí) p1/n1 p2/n2 ，即對(duì)A不公平, 對(duì)A的相對(duì)不公平度,將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量,類(lèi)似地定義 rB(n1,n2),將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配, 即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定義,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,則這席應(yīng)給 A,2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,應(yīng)計(jì)算rB(n1+1, n2),應(yīng)計(jì)算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 則這席應(yīng)給,應(yīng)討論以下幾種情況,

4、初始 p1/n1 p2/n2,問(wèn)：,p1/n1

5、第21席,同上,Q3最大，第21席給丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配結(jié)果,公平嗎？,Q1最大，第20席給甲系,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,進(jìn)一步的討論,Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？,席位分配的理想化準(zhǔn)則,已知: m方人數(shù)分別為 p1, p2, , pm, 記總?cè)藬?shù)為 P= p1+p2++pm, 待分配的總席位為N。,設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2, , nm (自然應(yīng)有n1+n2++nm=N)，,記qi=Npi /P, i=1,2, , m,,ni 應(yīng)是 N和 p1, , pm 的函數(shù)，即ni = ni (N, p1, , pm ),若qi 均為整數(shù)，

6、顯然應(yīng) ni=qi,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,qi=Npi /P不全為整數(shù)時(shí)，ni 應(yīng)滿(mǎn)足的準(zhǔn)則：,記 qi =floor(qi) 向 qi方向取整； qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.,1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),,2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m),即ni 必取qi , qi+ 之一,即當(dāng)總席位增加時(shí)， ni不應(yīng)減少,,“比例加慣例”方法滿(mǎn)足 1），但不滿(mǎn)足 2）,Q值方法滿(mǎn)足 2）,,但不滿(mǎn)足 1）。令人遺憾！,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,問(wèn) 題,在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大

7、半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為 4450，問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？,要求,不僅回答問(wèn)題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與 錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系。,思考,計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？,2.2 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途,經(jīng)試驗(yàn)，一盤(pán)標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理,錄像帶運(yùn)動(dòng),問(wèn)題分析,觀察,計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,模型假設(shè),錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù) v ；,計(jì)數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉(zhuǎn)數(shù) m成正比，記 m=kn；,錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù) w；,空右輪盤(pán)半徑記作 r ；,時(shí)間 t

8、=0 時(shí)讀數(shù) n=0 .,建模目的,建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系,（設(shè)v,k,w ,r為已知參數(shù)）,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,模型建立,建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法,1. 右輪盤(pán)轉(zhuǎn)第 i 圈的半徑為r+wi, m圈的總長(zhǎng)度 等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt, 所以,,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,2. 考察右輪盤(pán)面積的 變化，等于錄像帶厚度 乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度，即,3. 考察t到t+dt錄像帶在 右輪盤(pán)纏繞的長(zhǎng)度，有,模型建立,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,思 考,3種建模方法得到同一結(jié)果,但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋。,模型中有待定參數(shù),一種確定參數(shù)的辦法是測(cè)量或調(diào)查，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法

9、。,思 考,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,參數(shù)估計(jì),另一種確定參數(shù)的方法測(cè)試分析,將模型改記作,只需估計(jì) a,b,理論上，已知t=184, n=6061, 再有一組(t, n)數(shù)據(jù)即可,實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合,現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：,用最小二乘法可得,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,模 型 檢 驗(yàn),應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停?模 型 應(yīng) 用,回答提出的問(wèn)題：由模型算得 n = 4450 時(shí) t = 116.4分， 剩下的錄像帶能錄 184-116.4= 67.6分鐘的節(jié)目。,揭示了“t 與 n 之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律， 當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì) a,

10、b 即可。,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,問(wèn)題,雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失,假設(shè),熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流,T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài),材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù),建模,熱傳導(dǎo)定律,Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量,T溫差, d材料厚度, k熱傳導(dǎo)系數(shù),2.3 雙層玻璃窗的功效,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,Ta,Tb,記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1,Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度,Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度,,建模,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2,雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比,k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=

11、16 32,對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，,取k1/k2 =16,,建模,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,模型應(yīng)用,取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2=0.03,即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。,結(jié)果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù) k2, 而這要求空氣非常干燥、不流通。,房間通過(guò)天花板、墻壁 損失的熱量更多。,雙層窗的功效不會(huì)如此之大,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,2.4 汽車(chē)剎車(chē)距離,美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：,背景與問(wèn)題,正常駕駛條件下, 車(chē)速每增10英里/小時(shí)， 后面與前車(chē)的距離應(yīng)增一個(gè)車(chē)身的長(zhǎng)度。,實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)

12、則的簡(jiǎn)便辦法是 “2秒準(zhǔn)則” ：,后車(chē)司機(jī)從前車(chē)經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開(kāi)始默數(shù) 2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車(chē)速如何,判斷 “2秒準(zhǔn)則” 與 “車(chē)身”規(guī)則是否一樣；,建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,問(wèn)題分析,常識(shí)：剎車(chē)距離與車(chē)速有關(guān),10英里/小時(shí)(16公里/小時(shí))車(chē)速下2秒鐘行駛29英尺( 9米),車(chē)身的平均長(zhǎng)度15英尺(=4.6米),“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車(chē)身”規(guī)則不同,剎車(chē)距離,反應(yīng)時(shí)間,司機(jī)狀況,制動(dòng)系統(tǒng)靈活性,制動(dòng)器作用力、車(chē)重、車(chē)速、道路、氣候 ,最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比，使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng)。,車(chē)速,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,假 設(shè) 與 建

13、模,1. 剎車(chē)距離 d 等于反應(yīng)距離 d1 與制動(dòng)距離 d2 之和,2. 反應(yīng)距離 d1與車(chē)速 v成正比,3. 剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變;,F d2= m v2/2,F m,t1為反應(yīng)時(shí)間,且F與車(chē)的質(zhì)量m成正比,,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,反應(yīng)時(shí)間 t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒,參數(shù)估計(jì),利用交通部門(mén)提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為 “t 秒準(zhǔn)則”,模 型,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,2.5 劃艇比賽的成績(jī),對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿

14、手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。,問(wèn)題,準(zhǔn)備,調(diào)查賽艇的尺寸和重量,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,問(wèn)題分析,前進(jìn)阻力 浸沒(méi)部分與水的摩擦力,前進(jìn)動(dòng)力 漿手的劃漿功率,分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系,賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定,對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定,運(yùn)用合適的物理定律建立模型,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,模型假設(shè),1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)), w0與n成正比,2）v是常數(shù)，阻力 f與 sv2成正比,符號(hào)：艇速 v, 浸沒(méi)面積 s, 浸沒(méi)體積 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 漿手?jǐn)?shù) n, 漿手功率 p, 漿手體重 w, 艇重 W,艇的靜態(tài)特性,艇

15、的動(dòng)態(tài)特性,3）w相同，p不變，p與w成正比,漿手的特征,模型建立,f sv2,p w,s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n,np fv,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,模型檢驗(yàn),,,,,,利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型 t n 1/ 9 進(jìn)行檢驗(yàn),與模型巧合！,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,問(wèn)題,甲有物品X, 乙有物品Y, 雙方為滿(mǎn)足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。,用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0, 乙占有Y的數(shù)量為y0, 作圖：,若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y),都是一種交換方案：甲占有(x,

16、y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y),2.6 實(shí)物交換,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,甲的無(wú)差別曲線(xiàn),分析與建模,如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿(mǎn)意程度，即p1, p2對(duì)甲是無(wú)差別的，,線(xiàn)上各點(diǎn)的滿(mǎn)意度相同, 線(xiàn)的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度，,比MN各點(diǎn)滿(mǎn)意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線(xiàn)M1N1上。于是形成一族無(wú)差別曲線(xiàn)（無(wú)數(shù)條）。,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,無(wú)差別曲線(xiàn)族的性質(zhì)：,單調(diào)減(x增加, y減小),下凸(凸向原點(diǎn)),互不相交,在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的 y換取較少的 x;,在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的 x換取較少的 y。,甲的

17、無(wú)差別曲線(xiàn)族記作,f(x,y)=c1,c1滿(mǎn)意度,（f 等滿(mǎn)意度曲線(xiàn)）,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,乙的無(wú)差別曲線(xiàn)族 g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）,雙方的交換路徑,乙的無(wú)差別曲線(xiàn)族 g=c2 (坐標(biāo)系xOy, 且反向）,甲的無(wú)差別曲線(xiàn)族 f=c1,雙方滿(mǎn)意的交換方案必在AB（交換路徑）上,因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p, (雙方)滿(mǎn)意度低于AB上的點(diǎn)p,兩族曲線(xiàn)切點(diǎn)連線(xiàn)記作AB,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,p,交換方案的進(jìn)一步確定,交換方案 交換后甲的占有量 (x,y),0 xx0, 0yy0矩形內(nèi)任一點(diǎn),交換路徑AB,等價(jià)交換原則,X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值

18、相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為,,(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線(xiàn)CD,AB與CD的交點(diǎn)p,設(shè)X單價(jià)a, Y單價(jià)b, 則等價(jià)交換下ax+by=s (s=ax0=by0),2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,2.7 核軍備競(jìng)賽,冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱(chēng)為了保衛(wèi)自己的安全，實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí)。,隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過(guò)了一系列的核裁軍協(xié)議。,在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張，而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài)。,當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí)，平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化。,估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響。,背景,202

19、0/7/14,數(shù)學(xué)建模,以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小。,假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：,認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；,乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊。,在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地。,摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。,模型假設(shè),2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,圖的模型,y=f(x)甲方有x枚導(dǎo)彈，乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù),x=g(y)乙方有y枚導(dǎo)彈，甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù),當(dāng) x=0時(shí) y=y0，y0乙方的威懾值,y0甲

20、方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù),,P(xm,ym),乙安全區(qū),甲安全區(qū),雙方 安全區(qū),P平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)),乙安全線(xiàn),2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,精細(xì)模型,乙方殘存率 s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率。,sx個(gè)基地未摧毀，yx個(gè)基地未攻擊。,x

21、0/7/14,數(shù)學(xué)建模,a交換比(甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比),x=a y,,精細(xì)模型,x=y, y=y0/s,x=2y, y=y0/s2,y0威懾值,s殘存率,y是一條上凸的曲線(xiàn),y0變大，曲線(xiàn)上移、變陡,s變大，y減小，曲線(xiàn)變平,a變大，y增加，曲線(xiàn)變陡,x

22、x)不變,甲方殘存率變大,威懾值x 0和交換比不變,x減小，甲安全線(xiàn)x=g(y)向y軸靠近,,模型解釋,甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少,,,,PP,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo),(x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量),雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加,y0減小 y下移且變平,a 變大 y增加且變陡,雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析,模型解釋,乙安全線(xiàn) y=f(x),,,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向,簡(jiǎn)化問(wèn)題,海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，確定起航時(shí)的航

23、向，,2.8 啟帆遠(yuǎn)航,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,模型分析,風(fēng)(通過(guò)帆)對(duì)船的推力w,風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p,推力w的分解,阻力p的分解,p=p1+p2,模型假設(shè),w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于 s2，,f1航行方向的推力,p1 航行方向的阻力,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,w1=wsin(-),f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,模型假設(shè),w2與帆面平行，可忽略,f2, p2垂直于船身，可由舵抵消,模型建立,w=ks1, p=ks2,船在正東方向速度分量v1=vcos,航向速度v與力f=f1-p1成正比,v=k1(f1-

24、p1),2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,2) 令 = /2, v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos 求使v1最大（w=ks1, p=ks2）,1) 當(dāng)固定時(shí)求使f1最大,f1=wcos(-2)-cos/2,= k1(f1-p1)cos,f1=w1sin=wsin sin(-),p1=pcos,求, ,使 v1最大,模型建立,v1=vcos,模型求解,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,60 < < 75,1< t < 2,備注,只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型 航行過(guò)程中終點(diǎn)B將不在正東方,記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2,=( k1w/2)1-(1+2p/w)coscos ,

25、w=ks1, p=ks2,1/4

26、等式兩端的量綱一致,量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系,例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng),求擺動(dòng)周期 t 的表達(dá)式,設(shè)物理量 t, m, l, g 之間有關(guān)系式,1, 2, 3 為待定系數(shù)，為無(wú)量綱量,,,(1)的量綱表達(dá)式,對(duì)比,,,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,對(duì) x,y,z的兩組測(cè)量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ),,,為什么假設(shè)這種形式,設(shè)p= f(x,y,z),,x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,單擺運(yùn)動(dòng)中 t, m, l, g 的一般表達(dá)式,,,2020/7/14,數(shù)學(xué)建

27、模,,設(shè) f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2,, m-r,F( 1, 2,, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià), F未定,Pi定理 (Buckingham),是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量綱, nm, q1, q2, , qm 的量綱可表為,量綱矩陣記作,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,g = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1,, s = L2, f = LMT-2,量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船體尺寸l

28、, 浸沒(méi)面積 s, 海水密度, 重力加速度g。,m=6, n=3,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,,Ay=0 有m-r=3個(gè)基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r個(gè)基本解,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2,, m-r,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,F(1, 2 ,3 ) = 0與 (g,l,,v,s,f) = 0 等價(jià),為得到阻力 f 的顯式表達(dá)式,F=0,, 未定,F( 1, 2,, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等價(jià),,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,量綱分析法的評(píng)注,物理量的選取,基本量綱的選取,基

29、本解的構(gòu)造,結(jié)果的局限性, () = 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的,基本量綱個(gè)數(shù)n; 選哪些基本量綱,有目的地構(gòu)造 Ay=0 的基本解,方法的普適性,函數(shù)F和無(wú)量綱量未定,不需要特定的專(zhuān)業(yè)知識(shí),2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,2.9.2 量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用,例: 航船阻力的物理模擬,通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力,模型船的參數(shù)(均已知),可得原型船所受阻力,已知模型船所受阻力,原型船的參數(shù) (f1未知，其他已知),注意：二者的相同,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,,,,,按一定尺寸比例造模型船，量測(cè) f，可算出 f1 物理模擬,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,2.9.3 無(wú)量綱化,例：火箭

30、發(fā)射,星球表面豎直發(fā)射。初速v, 星球半徑r, 表面重力加速度g,研究火箭高度 x 隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律,t=0 時(shí) x=0, 火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量m2,牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律,,3個(gè)獨(dú)立參數(shù),2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù),用參數(shù)r,v,g的組合,分別構(gòu)造與x,t具有相同量綱的xc, tc （特征尺度）,無(wú)量綱變量,如,令,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,xc, tc的不同構(gòu)造,1）令,,為無(wú)量綱量,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,3）令,,2）令,,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,1）2）3）的共同點(diǎn),重要差別,考察無(wú)量綱量,,,在1）2）3）中能否忽略以為因子的項(xiàng)？,1),無(wú)解,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,2),3),2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,,原問(wèn)題,,是原問(wèn)題的近似解,2020/7/14,數(shù)學(xué)建模,為什么3)能忽略項(xiàng)，得到原問(wèn)題近似解，而1) 2)不能?,3）令,火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為v/g, 高度為v2/2g,,大體上具有單位尺度,,林家翹：自然科學(xué)中確定性問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué),