《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 7.5 數(shù)學(xué)歸納法課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2020版高考數(shù)學(xué)新增分大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 7.5 數(shù)學(xué)歸納法課件.ppt（68頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、7.5數(shù)學(xué)歸納法,,第七章數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,課時(shí)作業(yè),1,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),PART ONE,,知識(shí)梳理,數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取 (n0N*)時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng) 時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.,ZHISHISHULI,,,,第一個(gè)值n0,nk1,1.用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成

2、立.因?yàn)閚0N*，所以n01.這種說(shuō)法對(duì)嗎？,【概念方法微思考】,提示不對(duì)，n0也可能是2,3,4，.如用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理(n2)時(shí)，初始值n03.,2.數(shù)學(xué)歸納法的第一個(gè)步驟可以省略嗎？,提示不可以，數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟相輔相成，缺一不可.,3.有人說(shuō)，數(shù)學(xué)歸納法是合情推理，這種說(shuō)法對(duì)嗎？,提示不對(duì)，數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的方法，它是演繹推理.,,題組一思考辨析 1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”) (1)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.() (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用.() (3)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)

3、歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).() (4)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223.() (5)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時(shí)，n03.(),,,,1,2,3,4,5,6,,基礎(chǔ)自測(cè),JICHUZICE,,,,,,題組二教材改編 2.P99B組T1在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為 n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于 A.1 B.2 C.3 D.4,,1,2,3,4,5,6,解析凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形， 故第一步檢驗(yàn)n3.,,3.P96A組T2已知an滿足an1anan1，nN*，且a12，則a2___，a3___，

4、a4___，猜想an_____.,,1,2,3,4,5,6,3,4 5 n1,題組三易錯(cuò)自糾 4.用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1 (a1，nN*)，在驗(yàn)證n1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)是 A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3,解析當(dāng)n1時(shí)，n12， 左邊1a1a21aa2.,,1,2,3,4,5,6,,當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立. 則上述證法 A.過(guò)程全部正確B.n1驗(yàn)證的不正確 C.歸納假設(shè)不正確D.從nk到nk1的推理不正確,解析在nk1時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.,,1,2,3,4,5,6,,解析運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明 1232n2n122n1(nN*). 當(dāng)n

5、k時(shí)，則有1232k2k122k1(kN*)，左邊表示的為2k項(xiàng)的和. 當(dāng)nk1時(shí)，則 左邊1232k(2k1)2k1，表示的為2k1項(xiàng)的和，增加了2k12k2k項(xiàng).,6.用數(shù)學(xué)歸納法證明1232n2n122n1(nN*)時(shí)，假設(shè)當(dāng)nk時(shí)命題成立，則當(dāng)nk1時(shí)，左端增加的項(xiàng)數(shù)是____.,,1,2,3,4,5,6,2k,2,題型分類深度剖析,PART TWO,,題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,,自主演練,左邊右邊，所以等式成立. 假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)等式成立，即有,所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立. 由可知對(duì)于一切nN*等式都成立.,用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)注意 (1)明確初始值n0并驗(yàn)證當(dāng)nn

6、0時(shí)等式成立. (2)由nk證明nk1時(shí)，弄清左邊增加的項(xiàng)，且明確變形目標(biāo). (3)掌握恒等變形常用的方法：因式分解；添拆項(xiàng)；配方法.,,題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,,師生共研,例1(2017浙江)已知數(shù)列xn滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*). 證明：當(dāng)nN*時(shí)， (1)0 xn1xn；,證明用數(shù)學(xué)歸納法證明xn0. 當(dāng)n1時(shí)，x110. 假設(shè)nk時(shí)，xk0， 那么nk1時(shí)，若xk10， 則0 xkxk1ln(1xk1)0，與假設(shè)矛盾，故xk10， 因此xn0(nN*).所以xnxn1ln(1xn1)xn1， 因此0 xn1xn(xN*).,證明由xnxn1ln(1xn1)

7、得，xnxn14xn12xn,記函數(shù)f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0).,函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)f(0)0，,用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.,跟蹤訓(xùn)練1(2018浙江臺(tái)州市三區(qū)適應(yīng)性考試)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2an2(n1,2,3，).數(shù)列bn中，b11，點(diǎn)P(bn，bn1)在直線xy20上. (1)求數(shù)列an和數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；,解因?yàn)镾n2an2，所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12an2an1，即an2an1.又由S

8、12a12a1，得a12，所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列. 故an22n12n. 因?yàn)辄c(diǎn)P(bn，bn1)在直線xy20上，所以bnbn120，即bn1bn2.又b11，所以數(shù)列bn是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.故bn12(n1)2n1.,(2)若Tn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求證：當(dāng)n2，nN*時(shí)，2SnTn3n.,證明易知Sn2an22n12，Tnn2，所以2SnTn3n，即2n2n23n4(n2，nN*). 方法一用數(shù)學(xué)歸納法證明如下. 當(dāng)n2時(shí)，因?yàn)?n216，n23n414，所以不等式成立； 假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)，不等式成立，即2k2k23k4成立， 那么當(dāng)nk1時(shí)，由

9、k2得k2k0， 所以2k322k22(k23k4)2k26k8(k2k)(k25k8)k25k8(k1)23(k1)4，所以2(k1)2(k1)23(k1)4， 所以當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立. 綜合可知，對(duì)任意的n2，nN*，不等式2SnTn3n成立. 故得證.,方法二用二項(xiàng)式定理證明如下： 因?yàn)閚2，nN*，所以2n2222n4(11)n,n23n4(n2n)n23n4， 所以2n2n23n4，故得證.,,題型三歸納猜想證明,,師生共研,(1)求方程f(x)x0的實(shí)數(shù)解；,(2)如果數(shù)列an滿足a11，an1f(an)(nN*)，是否存在實(shí)數(shù)c，使得a2n

10、證明你的結(jié)論.,因?yàn)閍11，,所以當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立.,所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論也成立.,(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性. (2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見(jiàn)的問(wèn)題.,跟蹤訓(xùn)練2設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù). (1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x))，nN*，求gn(x)的表達(dá)式；,,,,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.,由可知，結(jié)論對(duì)nN*恒成立.,則當(dāng)n

11、k1時(shí)，gk1(x)g(gk(x)),(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；,,,,當(dāng)a1時(shí)，(x)0(當(dāng)且僅當(dāng)x0，a1時(shí)等號(hào)成立)， (x)在0，)上單調(diào)遞增. 又(0)0， (x)0在0，)上恒成立，,當(dāng)a1時(shí)，對(duì)x(0，a1，有(x)0， (x)在(0，a1上單調(diào)遞減， (a1)1時(shí)，存在x0，使(x)<0，,綜上可知，a的取值范圍是(，1.,(3)設(shè)nN*，比較g(1)g(2)g(n)與nf(n)的大小，并加以證明.,,,,比較結(jié)果為g(1)g(2)g(n)nln(n1). 證明如下：,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.,由可知，結(jié)論對(duì)nN*成立.,假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)結(jié)

12、論成立，,結(jié)論得證.,3,課時(shí)作業(yè),PART THREE,基礎(chǔ)保分練,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析等式右邊的分母是從1開(kāi)始的連續(xù)的自然數(shù)，且最大分母為6n1，則當(dāng)n1時(shí)，最大分母為5，故選C.,,2.已知f(n)122232(2n)2，則f(k1)與f(k)的關(guān)系是 A.f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2 B.f(k1)f(k)(k1)2 C.f(k1)f(k)(2k2)2 D.f(k1)f(k)(2k1)2,解析f(k1)122232(2k)2(2k1)22(k1)2f(k)(2k1)2(2k2)2.,,1,2,3,4,5,6,7,8

13、,9,10,11,12,13,14,15,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,A.1項(xiàng) B.k項(xiàng)C.2k1項(xiàng) D.2k項(xiàng),其項(xiàng)數(shù)為2k112k12k12k2k.故左邊增加了2k項(xiàng).,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,解析等式左邊是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和，直到n2. 故nk1時(shí)，最后一項(xiàng)是(k1)2，而nk時(shí)，最后一項(xiàng)是k2， 應(yīng)加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.,5.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足當(dāng)f(k)k1成立時(shí)，總能推出f(k1)k2成立，那么下列命題總成立的是 A.若f

14、(1)<2成立，則f(10)<11成立 B.若f(3)4成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k1成立 C.若f(2)<3成立，則f(1)2成立 D.若f(4)5成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k1成立,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析當(dāng)f(k)k1成立時(shí)，總能推出f(k1)k2成立， 說(shuō)明如果當(dāng)kn時(shí)，f(n)n1成立， 那么當(dāng)kn1時(shí)，f(n1)n2也成立， 所以如果當(dāng)k4時(shí)，f(4)5成立， 那么當(dāng)k4時(shí)，f(k)k1也成立.,,解析觀察不等式中分母的變化便知.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,,1,2,3,

15、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,c32(1a1)(1a2)(1a3),,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN*)時(shí)， 從nk到nk1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是,10.用數(shù)學(xué)歸納法證明(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(nN*)時(shí)，從nk到nk1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是________.,4k2,,

16、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知正項(xiàng)數(shù)列an中，對(duì)于一切的nN*均有aanan1成立. (1)證明：數(shù)列an中的任意一項(xiàng)都小于1；,在數(shù)列an中，an0，,0

17、7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.(2018浙江諸暨中學(xué)模擬)數(shù)列an滿足an1 nan1(nN*). (1)當(dāng)ann2對(duì)一切正整數(shù)n都成立時(shí)，a1應(yīng)滿足什么條件？,解當(dāng)a13時(shí)，ann2對(duì)一切正整數(shù)都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n1時(shí)，a13成立. 當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)，假設(shè)akk2成立， 則當(dāng)nk1時(shí)， ak1 kak1ak(akk)1ak(k2k)12ak12(k2)12k5(k1)2. 綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a13時(shí)，ann2對(duì)一切正整數(shù)n均成立.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1

18、1,12,13,14,15,證明由(1)知，當(dāng)a13時(shí)，ann2，,于是，an112(an1)22(an11)2n(a11)(nN*)，,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以只要a13，)，,即滿足要求的a1的取值有無(wú)數(shù)多個(gè).,技能提升練,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命題總成立的是 A.若f(1)<1成立，則f(10)<100成立 B.若f(2)<4成立，則f(1)1成立 C.若f

19、(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立 D.若f(4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立,,解析當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，f(k1)(k1)2成立， 當(dāng)f(4)16時(shí)，有f(5)52，f(6)62，，f(k)k2成立.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.n個(gè)半圓的圓心在同一條直線l上，這n個(gè)半圓每?jī)蓚€(gè)都相交，且都在直線l的同側(cè)，問(wèn)這些半圓被所有的交點(diǎn)最多分成多少段圓??？,,,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解設(shè)這些半圓最多互相分成f(n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進(jìn)行猜想和論證. 當(dāng)n2時(shí)

20、，由圖(1)知兩個(gè)半圓交于一點(diǎn)，則分成4段圓弧，故f(2)422； 當(dāng)n3時(shí)，由圖(2)知三個(gè)半圓交于三點(diǎn)，則分成9段圓弧，故f(3)932； 當(dāng)n4時(shí)，由圖(3)知四個(gè)半圓交于六點(diǎn)，則分成16段圓弧，故f(4)1642； 由此猜想，滿足條件的n個(gè)半圓互相分成圓弧段有f(n)n2.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： 當(dāng)n2時(shí)，上面已證； 假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，f(k)k2，那么當(dāng)nk1時(shí)，第k1個(gè)半圓與原k個(gè)半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個(gè)半圓不能交于一點(diǎn)，所以第k1個(gè)半圓把原k個(gè)半圓中的每一個(gè)半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條

21、圓??；另外原k個(gè)半圓把第k1個(gè)半圓分成k1段，這樣又多出了k1段圓弧. 所以f(k1)k2k(k1)k22k1(k1)2， 即滿足條件的k1個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成(k1)2段圓弧. 由可知，滿足條件的n個(gè)半圓被所有的交點(diǎn)最多分成n2段圓弧.,拓展沖刺練,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)求a的值；,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解由題意，知,所以a21.,解得a1. 又因?yàn)閍21，所以a1.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,證明用數(shù)學(xué)歸納法證明：,故當(dāng)n2時(shí)，原不等式也成立.,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以當(dāng)nk1時(shí)，原不等式也成立.,