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1、5.1 引言 5.2 用信號流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.3 無限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.4 有限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.5 線性相位結(jié)構(gòu) 5.6 頻率采樣結(jié)構(gòu) 5.7 格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 習(xí)題與上機(jī)題,第5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),5.1 引 言 一般時域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位脈沖響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述。如果系統(tǒng)輸入、輸出服從N階差分方程： （5.1.1） 則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 (5.1.2),為了用計算機(jī)或?qū)Ｓ糜布瓿蓪斎胄盘柕奶幚恚ㄟ\(yùn)算），必須把（5.1.1）式或者（5.1.2）式變換成一種算法，按照這種算法對輸入信號進(jìn)行運(yùn)算。其實(5.1.1

2、)式就是對輸入信號的一種直接算法，如果已知輸入信號x(n)以及ai、bi和n時刻以前的y(ni)，則可以遞推出y(n)值。但給定一個差分方程，不同的算法有多種，例如：,可以證明以上H1(z)=H2(z)=H3(z)，但它們具有不同的算法。不同的算法直接影響系統(tǒng)運(yùn)算誤差、運(yùn)算速度以及系統(tǒng)的復(fù)雜程度和成本等，因此研究實現(xiàn)信號處理的算法是一個很重要的問題。我們用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)表示具體的算法，因此網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)實際表示的是一種運(yùn)算結(jié)構(gòu)。這一章是第9章數(shù)字信號處理實現(xiàn)的必要基礎(chǔ)。 在介紹數(shù)字系統(tǒng)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之前，先介紹網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的表示方法。,,5.2 用信號流圖表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 觀察（5.1.1）式可知，數(shù)字信號處理中

3、有三種基本算法，即乘法、加法和單位延遲。三種基本運(yùn)算框圖及其流圖如圖5.2.1所示。,圖5.2.1 三種基本運(yùn)算的流圖表示,z1與系數(shù)a作為支路增益寫在支路箭頭旁邊，箭頭表示信號流動方向。如果箭頭旁邊沒有標(biāo)明增益，則認(rèn)為支路增益是。兩個變量相加，用一個圓點(diǎn)表示（稱為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)），這樣整個運(yùn)算結(jié)構(gòu)完全可用這樣一些基本運(yùn)算支路組成，圖5.2.2所示的就是這樣的流圖，該圖中圓點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，輸入x(n)的節(jié)點(diǎn)稱源節(jié)點(diǎn)或輸入節(jié)點(diǎn)，輸出y(n)稱為吸收節(jié)點(diǎn)或輸出節(jié)點(diǎn)。每個節(jié)點(diǎn)處的信號稱節(jié)點(diǎn)變量，這樣信號流圖實際上是由連接節(jié)點(diǎn)的一些有方向性的支路構(gòu)成的。和每個節(jié)點(diǎn)連接的有輸入支路和輸出支路，節(jié)點(diǎn)變量等于所有輸入

4、支路的輸出之和。在圖5.2.2中，,圖5.2.2 信號流圖,不同的信號流圖代表不同的運(yùn)算方法，而對于同一個系統(tǒng)函數(shù)可以有多種信號流圖與之相對應(yīng)。從基本運(yùn)算考慮，滿足以下條件，稱為基本信號流圖。 （1） 信號流圖中所有支路都是基本支路，即支路增益是常數(shù)或者是z1； （2） 流圖環(huán)路中必須存在延遲支路； （3） 節(jié)點(diǎn)和支路的數(shù)目是有限的。,圖5.2.2（a）是基本信號流圖，圖中有兩個環(huán)路，環(huán)路增益分別為a1z1和a2z2，且環(huán)路中都有延時支路，而圖5.2.2（b）不是基本信號流圖，它不能決定一種具體的算法，不滿足基本信號流圖的條件。 根據(jù)信號流圖可以求出網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)，方法是列出各個節(jié)點(diǎn)變量方程，

5、形成聯(lián)立方程組，并進(jìn)行求解，求出輸出與輸入之間的z域關(guān)系。 【例5.2.1】求圖5.2.2（a）信號流圖決定的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 圖5.2.2（a）信號流圖的節(jié)點(diǎn)變量方程為(5.2.1)式， 對（5.2.1）式進(jìn)行Z變換，得到：, 經(jīng)過聯(lián)立求解得到： 當(dāng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜時，上面利用節(jié)點(diǎn)變量方程聯(lián)立求解的方法較麻煩，不如用梅遜（Masson）公式直接寫H(z)表示式方便。關(guān)于梅遜公式請參考本書附錄A。,一般將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分成兩類，一類稱為有限長單位脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，簡稱FIR（Finite Impulse Response）網(wǎng)絡(luò)，另一類稱為無限長單位脈沖響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)，簡稱IIR（Infinite Imp

6、ulse Response）網(wǎng)絡(luò)。FIR網(wǎng)絡(luò)中一般不存在輸出對輸入的反饋支路，因此差分方程用下式描述： （5.2.2） 其單位脈沖響應(yīng)h(n)是有限長的，按照（5.2.2）式，h(n)表示為,另一類IIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)存在輸出對輸入的反饋支路，也就是說，信號流圖中存在反饋環(huán)路。這類網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)是無限長的。例如，一個簡單的一階IIR網(wǎng)絡(luò)的差分方程為 其單位脈沖響應(yīng)h(n)=anu(n)。這兩類不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)各有不同的特點(diǎn)，下面分類敘述其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。,,5.3 無限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) IIR網(wǎng)絡(luò)的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)有三種，即直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型。 1 直接型 將N階差分方程重寫如下： 對應(yīng)的系統(tǒng)函

7、數(shù)為 ,設(shè)M=N=2，按照差分方程可以直接畫出網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5.3.1(a)所示。圖中第一部分系統(tǒng)函數(shù)用H1(z)表示，第二部分用H2(z)表示，那么H(z)=H1(z)Hz(z)，當(dāng)然也可以寫成H(z)=H2(z)H1(z), 按照該式，相當(dāng)于將圖5.3.1(a)中兩部分流圖交換位置，如圖5.3.1(b)所示。該圖中節(jié)點(diǎn)變量w1=w2，因此前后兩部分的延時支路可以合并，形成如圖5.3.1(c)所示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖，我們將圖5.3.1(c)所示的這類流圖稱為IIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。,M=N=2時的系統(tǒng)函數(shù)為 對照圖5.3.1(c)的各支路的增益系數(shù)與H(z)分母分子多項式的系數(shù)可見，可以直接按照H

8、(z)畫出直接型結(jié)構(gòu)流圖。,圖5.3.1 IIR網(wǎng)絡(luò)直接型結(jié)構(gòu),【例5.3.1】 設(shè)IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)。 解 由H(z)寫出差分方程如下： 按照差分方程畫出如圖5.3.2所示的直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。,圖5.3.2 例5.3.1圖,上面我們按照差分方程畫出了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，也可以按照H(z)表達(dá)式，直接畫出直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這里需要用到Masson公式。 下面講述直接型的MATLAB的表示與實現(xiàn)。 在MATLAB中，直接型結(jié)構(gòu)由2個行向量B和A表示，B和A與數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的關(guān)系如下： A=a0, a1, a2, , aN, B=b0, b1, b2, , b

9、M,則直接型系統(tǒng)函數(shù)為 調(diào)用1.4.2節(jié)介紹的MATLAB 信號處理工具箱函數(shù)filter就是按照直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)濾波器。 如果濾波器輸入信號向量為xn，輸出信號向量為yn，則yn=filter(B, A.xn) 按照直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)對xn的濾波，計算系統(tǒng)對輸入信號向量xn的零狀態(tài)響應(yīng)輸出信號向量yn，yn與xn長度相等。,2 級聯(lián)型 在（5.1.2）式表示的系統(tǒng)函數(shù)H(z)中，分子、分母均為多項式，且多項式的系數(shù)一般為實數(shù)?，F(xiàn)將分子、分母多項式分別進(jìn)行因式分解，得到： （5.3.1） 式中, A是常數(shù); Cr和dr分別表示H(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。由于多項式的系數(shù)是實數(shù)，Cr和dr是實數(shù)或者是共軛

10、成對的復(fù)數(shù)，將共軛成對的零點(diǎn)（極點(diǎn)）放在一起，形成一個二階多項式，其系數(shù)仍為實數(shù)；再將分子、分母均為實系數(shù)的二階多項式放在一起，形成一個二階網(wǎng)絡(luò)Hj(z)。,圖5.3.3 一階和二階直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),【例5.3.2】 設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式： 試畫出其級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 解 將H(z)的分子、分母進(jìn)行因式分解，得到： 為減少單位延遲的數(shù)目，將一階的分子、分母多項式組成一個一階網(wǎng)絡(luò)，二階的分子、分母多項式組成一個二階網(wǎng)絡(luò)，畫出級聯(lián)結(jié)構(gòu)圖如圖5.3.4所示。,圖5.3.4 例5.3.2圖,級聯(lián)型結(jié)構(gòu)中每一個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個零點(diǎn)、一個極點(diǎn)，每一個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對零點(diǎn)、一對極點(diǎn)。在（5.3.2）式中，

11、調(diào)整0j、1j和2j三個系數(shù)可以改變一對零點(diǎn)的位置，調(diào)整1j和2j可以改變一對極點(diǎn)的位置。因此，相對直接型結(jié)構(gòu)，其優(yōu)點(diǎn)是調(diào)整方便。此外，級聯(lián)結(jié)構(gòu)中后面的網(wǎng)絡(luò)輸出不會再流到前面，運(yùn)算誤差的積累相對直接型也小。,3 并聯(lián)型 如果將級聯(lián)形式的H(z)展成部分分式形式，則得到： （5.3.4） 對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為這k個子系統(tǒng)并聯(lián)。上式中，Hi(z)通常為一階網(wǎng)絡(luò)或二階網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)均為實數(shù)。二階網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)一般為 ,式中，0i、1i、1i和2i都是實數(shù)。如果1i=2i=0，則構(gòu)成一階網(wǎng)絡(luò)。由（5.3.4）式，其輸出Y(z)表示為 上式表明將x(n)送入每個二階（包括一階）網(wǎng)絡(luò)后，將所有輸出加起來得到輸

12、出y(n)。 【例5.3.3】 畫出例題5.3.2中的H(z)的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解 將例5.3.2中H(z)展成部分分式形式： 將每一部分用直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5.3.5所示。,圖5.3.5 例5.3.3圖,在這種并聯(lián)型結(jié)構(gòu)中，每一個一階網(wǎng)絡(luò)決定一個實數(shù)極點(diǎn)，每一個二階網(wǎng)絡(luò)決定一對共軛極點(diǎn)，因此調(diào)整極點(diǎn)位置方便，但調(diào)整零點(diǎn)位置不如級聯(lián)型方便。另外，各個基本網(wǎng)絡(luò)是并聯(lián)的，產(chǎn)生的運(yùn)算誤差互不影響，不像直接型和級聯(lián)型那樣有誤差積累，因此，并聯(lián)形式運(yùn)算誤差最小。由于基本網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)，可同時對輸入信號進(jìn)行運(yùn)算，因此并聯(lián)型結(jié)構(gòu)與直接型和級聯(lián)型比較，其運(yùn)算速度最高。,MATLAB信號處理工具箱提

13、供了14種線性系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變換函數(shù)，實現(xiàn)各種結(jié)構(gòu)之間的變換?？上鄙俨⒙?lián)結(jié)構(gòu)于其他結(jié)構(gòu)之間的變換函數(shù)，參考文獻(xiàn)10，18中開發(fā)了直接型與并聯(lián)型的相互變換函數(shù)tf2par和par2tf。本書涉及的3種常用結(jié)構(gòu)（直接型、級聯(lián)型、格型）之間的變換函數(shù)有如下4種： (1) tf2sos 直接型到級聯(lián)型結(jié)構(gòu)變換。 (2) sos2tf 級聯(lián)型到直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變換。 (3) tf2latc 直接型到格型結(jié)構(gòu)變換。 (4) latc2tf 格型到直接型結(jié)構(gòu)變換。,下面先簡要介紹變換函數(shù)tf2sos和sos2tf及其調(diào)用格式，tf2latc 和 latc2tf在5.7節(jié)介紹。 (1) S, G = tf2s

14、os(B, A): 實現(xiàn)直接型到級聯(lián)型的變換。B和A分別為直接型系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量，當(dāng)A=1時，表示FIR系統(tǒng)函數(shù)。返回L級二階級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的系數(shù)矩陣S和增益常數(shù)G。,S為L6矩陣，每一行表示一個二階子系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)向量，第k行對應(yīng)的2階系統(tǒng)函數(shù)為 級聯(lián)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)=H1(z)H2(z)HL(z),例5.3.2的求解程序如下： B=8，4，11，2； A=1，1.25，0.75，0.125； S，G=tf2sos(B, A) 運(yùn)行結(jié)果： S = 1.0000 0.1900 0 1.0000 0.2500 0 1.0000 0.3100 1.3161 1.0000

15、 1.0000 0.5000 G = 8,該結(jié)果與例5.3.2所得結(jié)果等價，但本程序結(jié)果更標(biāo)準(zhǔn)。 (2) B, A =sos2tf(S, G)：實現(xiàn)級聯(lián)型到直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變換。B、A、S和G的含義與S, G = tf2sos(B, A)中相同。,,5.4 有限長脈沖響應(yīng)基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是沒有反饋支路，即沒有環(huán)路，其單位脈沖響應(yīng)是有限長的。設(shè)單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為N，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)和差分方程分別為 1 直接型 按照H(z)或者卷積公式直接畫出結(jié)構(gòu)圖如圖5.4.1所示。這種結(jié)構(gòu)稱為直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者稱為卷積型結(jié)構(gòu)。,圖5.4.1 FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),2 級聯(lián)型 將H(

16、z)進(jìn)行因式分解，并將共軛成對的零點(diǎn)放在一起，形成一個系數(shù)為實數(shù)的二階形式，這樣級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)就是由一階或二階因子構(gòu)成的級聯(lián)結(jié)構(gòu)，其中每一個因式都用直接型實現(xiàn)。 【例5.4.1】 設(shè)FIR網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式： 畫出H(z)的直接型結(jié)構(gòu)和級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。 解 將H(z)進(jìn)行因式分解，得到： 其級聯(lián)型結(jié)構(gòu)和直接型結(jié)構(gòu)如圖5.4.2所示。,圖5.4.2 例5.4.1圖,例5.4.1的求解程序如下： B=0.96, 2, 2.8, 1.5;A=1; S, G=tf2sos(B, A) 運(yùn)行結(jié)果： S =1.0000 0.8333 0 1.0000 0 0 1.0000 1.2500

17、 1.8750 1.0000 0 0 G = 0.9600,級聯(lián)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)=0.96(1+0.833z1)(1+1.25z1+1.875z2) 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)每一個一階因子控制一個零點(diǎn)，每一個二階因子控制一對共軛零點(diǎn)，因此調(diào)整零點(diǎn)位置比直接型方便，但H(z)中的系數(shù)比直接型多，因而需要的乘法器多。在例5.4.1中直接型需要四個乘法器，而級聯(lián)型則需要五個乘法器。分解的因子愈多，需要的乘法器也愈多。另外，當(dāng)H(z)的階次高時，也不易分解。因此，普遍應(yīng)用的是直接型。,,5.5 線性相位結(jié)構(gòu) 線性相位結(jié)構(gòu)是FIR系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)的簡化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，特點(diǎn)是網(wǎng)絡(luò)具有線性相位特性，比直

18、接型結(jié)構(gòu)節(jié)約了近一半的乘法器。第7章將證明， 如果系統(tǒng)具有線性相位，它的單位脈沖響應(yīng)滿足下面公式:,（5.5.1）,觀察（5.5.2）式，運(yùn)算時先進(jìn)行方括號中的加法（減法）運(yùn)算，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，這樣就節(jié)約了乘法運(yùn)算。按照這兩個公式，第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的流圖如圖5.5.1所示，第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的流圖如圖5.5.2所示。和直接型結(jié)構(gòu)比較，如果N取偶數(shù)，直接型需要N個乘法器，而線性相位結(jié)構(gòu)減少到N/2個乘法器，節(jié)約了一半的乘法器。如果N取奇數(shù)，則乘法器減少到(N1)/2個，也近似節(jié)約了近一半的乘法器。,圖5.5.1 第一類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖,,圖5.5.2 第二類線性相位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖,5

19、.6 頻率采樣結(jié)構(gòu) 我們已經(jīng)知道，頻率域等間隔采樣，相應(yīng)的時域信號會以采樣點(diǎn)數(shù)為周期進(jìn)行周期性延拓。如果在頻率域采樣點(diǎn)數(shù)N大于等于原序列的長度M，則不會引起信號失真，此時原序列的Z變換H(z)與頻域采樣值H(k)滿足下面關(guān)系式： （5.6.1）,設(shè)FIR濾波器單位脈沖響應(yīng)h(n)長度為M，系統(tǒng)函數(shù)H(z)=ZTh(n)，則(5.6.1)式中H(k)用下式計算: 要求頻率域采樣點(diǎn)數(shù)NM。（5.6.1）式提供了一種稱為頻率采樣的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。由于這種結(jié)構(gòu)是通過頻域采樣得來的，存在時域混疊的問題，因此不適合IIR系統(tǒng)，只適合FIR系統(tǒng)。但這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中又存在反饋網(wǎng)絡(luò)，不同于前面介紹的FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，

20、下面進(jìn)行分析。,將（5.6.1）式寫成下式： （5.6.2） 式中Hc(z)是前面學(xué)習(xí)過的梳狀濾波器，Hk(z)是IIR的一階網(wǎng)絡(luò)。這樣，H(z)是由梳狀濾波器Hc(z)和N個一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)行級聯(lián)而成的，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5.6.1所示。我們看到該網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中有反饋支路，它是由Hk(z)產(chǎn)生的，其極點(diǎn)為 ,即它們是單位圓上有等間隔分布的N個極點(diǎn)，第2章已學(xué)過Hc(z)是一個梳狀濾波網(wǎng)絡(luò)，其零點(diǎn)為 剛好和極點(diǎn)相同，也是等間隔地分布在單位圓上。理論上，極點(diǎn)和零點(diǎn)相互抵消，保證了網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性， 使頻率域采樣結(jié)構(gòu)仍屬FIR網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。,圖5.6.1 FIR濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu),頻率域采樣結(jié)構(gòu)有

21、兩個突出優(yōu)點(diǎn)： （1） 在頻率采樣點(diǎn)k處， , 只要調(diào)整H(k)（即一階網(wǎng)絡(luò)Hk(z)中乘法器的系數(shù)H(k)），就可以有效地調(diào)整頻響特性，使實踐中的調(diào)整方便，可以實現(xiàn)任意形狀的頻響曲線。 （2） 只要h(n)長度N相同，對于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分和N個一階網(wǎng)絡(luò)部分結(jié)構(gòu)完全相同，只是各支路增益H(k)不同。這樣，相同部分便可以標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。各支路增益可做成可編程單元，生產(chǎn)可編程FIR濾波器。,然而，上述頻率采樣結(jié)構(gòu)亦有兩個缺點(diǎn)： （1） 系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零極點(diǎn)相互對消保證的。實際上，因為寄存器字長都是有限的，對網(wǎng)絡(luò)中支路增益 量化時產(chǎn)生量化誤差，可能使零極

22、點(diǎn)不能完全對消，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。 （2） 結(jié)構(gòu)中，H(k)和 一般為復(fù)數(shù)，要求乘法器完成復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，這對硬件實現(xiàn)是不方便的。 為了克服上述缺點(diǎn)，對頻率采樣結(jié)構(gòu)作以下修正。,首先將單位圓上的零極點(diǎn)向單位圓內(nèi)收縮一點(diǎn)，收縮到半徑為r的圓上，取r<1且r1。 此時H(z)為 （5.6.3） 式中，Hr(k)是在r圓上對H(z)的N點(diǎn)等間隔采樣之值。由于r1，因此可近似取Hr(k)H(k)。這樣，零極點(diǎn)均為 。如果由于實際量化誤差，零極點(diǎn)不能抵消時，極點(diǎn)位置仍處在單位圓內(nèi)，保持系統(tǒng)穩(wěn)定。,另外，由DFT的共軛對稱性知道，如果h(n)是實數(shù)序列，則其離散傅里葉變換

23、H(k)關(guān)于N/2點(diǎn)共軛對稱，即H(k)=H*(Nk)。而且，我們將Hk(z)和HNk(z)合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)，并記為Hk(z)，則,圖5.6.2 頻率采樣修正結(jié)構(gòu),N等于奇數(shù)的修正結(jié)構(gòu)由一個一階網(wǎng)絡(luò)和(N1)/2個二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)構(gòu)成。 由圖5.6.2可見，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N很大時，其結(jié)構(gòu)顯然很復(fù)雜，需要的乘法器和延時單元很多。但對于窄帶濾波器，大部分頻率采樣值H(k)為零，從而使二階網(wǎng)絡(luò)個數(shù)大大減少。所以頻率采樣結(jié)構(gòu)適用于窄帶濾波器。,,5.7 格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 5.7.1 全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 1. 全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù) 全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的流圖如圖5.7.1所示。該流圖只有直通通路，沒有反饋回路，

24、因此可稱為FIR格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。觀察該圖，它可以看成是由圖5.7.2的基本單元級聯(lián)而成。,圖5.7.1 全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),圖5.7.2 基本單元,2. 由FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 假設(shè)N階FIR型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)為 (5.7.9) 式中, h(0)=1; h(n)是FIR網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)。令ak=h(k)，得到: (5.7.10) 式中，a0=h(0)=1; kl為全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)的系數(shù), l=1, 2, , N。,下面僅給出轉(zhuǎn)換公式，推導(dǎo)過程請參考文獻(xiàn)19： (5.7.11) (5.7.12)

25、 (5.7.13) 式中, l=N, N1, , 1。,解釋 公式中的下標(biāo)k（或l）表示第k(或l)個系數(shù)，這里FIR結(jié)構(gòu)和格型結(jié)構(gòu)均各有N個系數(shù); (5.7.13)式是一個遞推公式，上標(biāo)（帶圓括?。┍硎具f推序號，從（N）開始，然后是N1, N2, , 2；注意(5.7.12)式，當(dāng)遞推到上標(biāo)圓括弧中的數(shù)字與下標(biāo)相同時，格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)kl剛好與FIR的系數(shù)相等。下面舉例說明。 【例 5.7.1】 將下面三階FIR系統(tǒng)函數(shù)3(z)轉(zhuǎn)換成格型網(wǎng)絡(luò)，要求畫出該FIR直接型結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖。 ,解 例題中N=3, 按照(5.7.11)式，有 由(5.7.12) 式，得到:

26、 按照(5.7.13) 式，遞推得到:,l=3, k=1時, l=3, k=2時, ,l=2, k=1時, 最后按照算出的格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)，畫出三階FIR直接型結(jié)構(gòu)和三級格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖如圖 5.7.3所示。 ,圖5.7.3 例5.7.1圖,,略去由全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換到FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的公式，如需要了解該內(nèi)容，請參考文獻(xiàn)19。 實際上，調(diào)用MATLAB函數(shù)實現(xiàn)直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之間的相互轉(zhuǎn)換非常容易。tf2latc實現(xiàn)直接型到格型結(jié)構(gòu)變換，latc2tf 實現(xiàn)格型到直接結(jié)型結(jié)構(gòu)變換。 K=tf2latc(hn): 求FIR格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)向量K=k1, k2, , kN

27、, hn為FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)向量，并關(guān)于hn(1)=h(0)歸一化。應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)FIR系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上有零極點(diǎn)時，可能發(fā)生轉(zhuǎn)換錯誤。,,hn=latc2tf(K) 將FIR格型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為FIR直接型結(jié)構(gòu)。K為FIR格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)向量K，hn為FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)向量，即FIR直接型結(jié)構(gòu)系數(shù)向量。顯然，該函數(shù)可以用于求格型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。 例 5.7.1的求解程序如下： hn=1, 0.9, 0.64, 0.576; K=tf2latc(hn) 運(yùn)行結(jié)果： K=0.6728 0.1820 0.5760 與上面的遞推結(jié)果相同。,,5.7.2 全極點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 全極點(diǎn)II

28、R系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)用下式表示: (5.7.14) (5.7.15) 式中, A(z)是FIR系統(tǒng)，因此全極點(diǎn)IIR系統(tǒng)H(z)是FIR系統(tǒng)A(z)的逆系統(tǒng)。下面先介紹如何將H(z)變成A(z)。 假設(shè)系統(tǒng)的輸入和輸出分別用x(n)、y(n)表示，由 (5.7.17) 式得到全極點(diǎn)IIR濾波器的差分方程為,,,圖5.7.4 全極點(diǎn)IIR系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu),由于重新定義了輸入輸出，將el(n)按降序運(yùn)算，rl(n)不變，即 ,,圖5.7.5 全極點(diǎn)IIR格型結(jié)構(gòu),當(dāng)x(n)和y(n)分別作為輸入和輸出時，（5.7.27）式就是一個全極點(diǎn)的差分方程，由（5.7.24）（5.7.27）

29、式描述的結(jié)構(gòu)就是一階的單極點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)，如圖5.7.6(a)所示。如果N2，可得到下面方程組:,,圖5.7.6 單極點(diǎn)和雙極點(diǎn)IIR格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),,（5.7.35）,,由上面分析知道, 全極點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)可以由全零點(diǎn)格型網(wǎng)絡(luò)形成，這是一個求逆的問題。對比全零點(diǎn)格型結(jié)構(gòu)和全極點(diǎn)結(jié)構(gòu)，可以歸納出下面的一般求逆準(zhǔn)則： （1） 將輸入到輸出的無延時通路全部反向，并將該通路的常數(shù)支路增益變成原常數(shù)的倒數(shù)（此處為1）； （2） 將指向這條新通路的各節(jié)點(diǎn)的其它節(jié)點(diǎn)的支路增益乘以1； （3） 將輸入輸出交換位置。,,調(diào)用MATLAB 轉(zhuǎn)換函數(shù)可以實現(xiàn)全極點(diǎn)系統(tǒng)的直接型和格型結(jié)構(gòu)之間的轉(zhuǎn)換。 K = tf2latc(1,

30、 A): 求IIR全極點(diǎn)系統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)向量K，A為(5.7.14)式給出的IIR全極點(diǎn)系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式A（z）的系數(shù)向量。 具有零點(diǎn)和極點(diǎn)的IIR格型網(wǎng)絡(luò)稱為格梯型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這部分內(nèi)容請參考文獻(xiàn)19。 K, V = tf2latc(B, A): 求具有零點(diǎn)和極點(diǎn)的IIR格型網(wǎng)絡(luò)系數(shù)向量K，及其梯型網(wǎng)絡(luò)系數(shù)向量V。應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)IIR系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上有極點(diǎn)時，可能發(fā)生轉(zhuǎn)換錯誤。,,B，A = latc2tf(K, allpole): 將IIR全極點(diǎn)系統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為直接型結(jié)構(gòu)。K為IIR全極點(diǎn)系統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)向量，A為IIR全極點(diǎn)系統(tǒng)系數(shù)函數(shù)的分母多項式A（z）的系數(shù)向量。顯然，該函數(shù)

31、可以用于球格型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)，這時分子為常數(shù)1，所以B=1。 B，A = latc2tf(K, V)：將具有零點(diǎn)和極點(diǎn)的IIR格梯型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為直接型結(jié)構(gòu)。 例如： ,,則求IIR全極點(diǎn)系統(tǒng)格型結(jié)構(gòu)系數(shù)向量K的程序為 A=1, 13/24, 5/8, 1/3; K=tf2latc(1, A) 運(yùn)行結(jié)果： K =0.2500 0.5000 0.3333 對上面所求格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)向量K，調(diào)用latc2tf求其對應(yīng)的格型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)的程序如下： K =0.2500，0.5000，0.3333； B, A=latc2tf(K, allpole) 運(yùn)行結(jié)果： B = 1 0 0

32、 0 A =1.0000 0.5417 0.6250 0.3333,,對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)為 下面再推導(dǎo)全極點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的傳輸函數(shù)，將(5.7.21)和(5.7.22)式進(jìn)行Z變換，得到:,（5.7.36）,（5.7.37）,,,,習(xí)題與上機(jī)題 1. 已知系統(tǒng)用下面差分方程描述: 試分別畫出系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。式中x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號。 2 設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為 試分別畫出系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。,,3. 設(shè)系統(tǒng)的差分方程為 式中, |a|<1，|b|<1, 試畫出系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸

33、入和輸出信號。 4. 設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 試畫出各種可能的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)，并指出哪一種最好。,,5 題5圖中畫出了四個系統(tǒng)，試用各子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)分別表示各總系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，并求其總系統(tǒng)函數(shù)。 6 題6圖中畫出了10種不同的流圖，試分別寫出它們的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程。,,題5圖,,題6圖,7. 假設(shè)濾波器的單位脈沖響應(yīng)為 求出濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，并畫出它的直接型結(jié)構(gòu)。 8. 已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 試寫出系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，并畫出它的直接型結(jié)構(gòu)。 9. 已知FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 試畫出該濾波器的直接型結(jié)構(gòu)和線性相位結(jié)構(gòu)。,,10 已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為: (1) N=6 h(

34、0)=h(5)=15 h(1)=h(4)=2 h(2)=h(3)=3 (2) N=7 h(0)=h(6)=3 h(1)=h(5)=2 h(2)=h(4)=1 h(3)=0 試畫出它們的線性相位型結(jié)構(gòu)圖，并分別說明它們的幅度特性、相位特性各有什么特點(diǎn)。,,15 寫出題15圖中系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)。 16. 畫出題15圖中系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)，并驗證兩者具有相同的系統(tǒng)函數(shù)。 17. 用b1和b2確定a1、a2、 c1和c0，使題17圖中的兩個系統(tǒng)等效。,,題15圖,,題17圖,,18. 對于題18圖中的系統(tǒng)，要求： （1） 確定它的系統(tǒng)函數(shù) （2） 如果系統(tǒng)參數(shù)為 （a） b0=b2=1, b1

35、=2, a1=1.5, a2=0.9 （b） b0=b2=1, b1=2, a1=1, a2=2 畫出系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖，并檢驗系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,,題18圖,,19*. 假設(shè)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 在單位圓上采樣六點(diǎn)，選擇r0.95，試畫出它的頻率采樣結(jié)構(gòu)，并在計算機(jī)上，用DFT求出頻率采樣結(jié)構(gòu)中的有關(guān)系數(shù)。 20. 已知FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： （1） H(z)=1+0.8z1+0.65z2 （2） H(z)=10.6z1+0.825z20.9z3 試分別畫出它們的直接型結(jié)構(gòu)和格形結(jié)構(gòu)，并求出格型結(jié)構(gòu)的有關(guān)參數(shù)。,,21. 假設(shè)FIR格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的參數(shù)k1=0.08, k2=0.217, k3=1.0, k4=0.5，求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)并畫出FIR直接型結(jié)構(gòu)。 22. 假設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 要求: （1） 畫出系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)以及描述系統(tǒng)的差分方程; （2） 畫出相應(yīng)的格形結(jié)構(gòu)，并求出它的系數(shù); （3） 判斷系統(tǒng)是否是最小相位。,,