概率統(tǒng)計、離散型隨機變量及其分布列.ppt
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1、第2講 概率統(tǒng)計、離散型隨機變量及其分布列,1.隨機事件的概率 (1)隨機事件的概率范圍:0P(A)1;必然事件的 概率為1;不可能事件的概率為0. (2)古典概型的概率 P(A)= = .,A中所含的基本事件數(shù) 基本事件總數(shù),,2.互斥事件有一個發(fā)生的概率P(A+B)=P(A) +P(B). 3.相互獨立事件同時發(fā)生的概率 P(AB)=P(A)P(B). 4.獨立重復(fù)試驗 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p,那么它在 n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率為 Pn(k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,,n.,5.離散型隨機變量的分布列 (1)設(shè)離散型隨機變
2、量可能取的值為x1,x2,,xi,, 取每一個值xi的概率為P( =xi)=pi,則稱下表: 為離散型隨機變量 的分布列. (2)離散型隨機變量的分布列具有兩個性質(zhì): pi0,p1+p2++pi+=1(i=1,2,3,). 6.常見的離散型隨機變量的分布 (1)兩點分布 分布列為(其中0
3、的二項分布,記為 B(n,p).,7.離散型隨機變量的期望與方差 若離散型隨機變量的分布列為 則稱E =x1p1+x2p2++xnpn+為 的數(shù)學期望,簡 稱期望. D =(x1-E )2p1+(x2-E )2p2++(xn- E )2pn+叫做隨機變量 的方差.,8.統(tǒng)計 (1)抽樣方法:簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣. (2)利用樣本頻率分布估計總體分布 頻率分布表和頻率分布直方圖. 總體密度曲線.,9.正態(tài)分布 (1)一般地,如果對任意實數(shù)a
4、x軸上方,與x軸不相交. 曲線是單峰的,它關(guān)于直線x= 對稱.,曲線在x= 處達到峰值 . 曲線與x軸之間的面積為1. 當 一定時,曲線隨著 的變化而沿x軸平移. 當 一定時,曲線的形狀由 確定, 越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中; 越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.,(3)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率 P( - 5、六組:第一組,成績大于等于13秒且小于14秒;第二組,成績大于等于14秒且小于15秒;第六組,成績大于等于18秒且小于等于19秒.下圖是按上述分組方法,得到的頻率分布直方圖.設(shè)成績小于17秒的學生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為x,成績大于等于15秒且小于17秒的學生人數(shù)為y,則從頻率分布直方圖中可分析出x和y分別為 ( ),A.0.9,35B.0.9,45 C.0.1,35D.0.1,45 解析 P( <17)=1-P(17 19) =1-(0.061+0.041)=0.9, 即x=0.9,y=(0.34+0.36)150=35人. 探究提高 在統(tǒng)計中,為了考查一個總體的情況,通常是從總體 6、中抽取一個樣本,用樣本的有關(guān)情況去估計總體的相應(yīng)情況.這種估計大體分為兩類,一類,A,是用樣本頻率分布估計總體分布,另一類是用樣本的某種數(shù)字特征(例如平均數(shù)、方差等)去估計總體的相應(yīng)數(shù)字特征.,變式訓(xùn)練1 (2009湖南理,13)一個總體分為A,B兩層,其個體數(shù)之比為41,用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本,已知B層中甲、乙都被抽到的概率為 ,則總體中的個體數(shù)為 . 解析 設(shè)總體中個體數(shù)為x,則B層中有 個個體,共需在B中抽2個個體. ,x=40.,40,二、古典概型 例2 某初級中學共有學生2 000名,各年級男、女生人數(shù)如下表: 已知在全校學生中隨機抽取1名,抽 7、到初二年級女生的概率是0.19. (1)求x的值; (2)現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生,問應(yīng)在初三年級抽取多少名?,(3)已知y245,z245,求初三年級中女生比男生多的概率. 思維啟迪 求初三年級中女生比男生多的概率時,先找出男女生人數(shù)分布的所有可能,再找出女生比男生多的人數(shù)的所有可能. 解析(1) = 0.19 x=380. (2)初三年級人數(shù)為 y+z=2 000-(373+377+380+370)=500, 現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學生,應(yīng)在初三年級抽取的人數(shù)為: 500=12(名),(3)設(shè)初三年級女生比男生多的事件為A,初三年級女生、男生數(shù)記為(y,z), 8、 由(2)知y+z=500,且y,zN*, 基本事件空間包含的基本事件有: (245,255)、(246,254)、(247,253)、、(255,245)共11個, 事件A包含的基本事件有:(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5個 P(A)=,探究提高 (1)有關(guān)古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件總數(shù),這常常用到排列、組合的有關(guān)知識. (2)對于較復(fù)雜的題目要注意正確分類,分類時應(yīng)不重不漏. 變式訓(xùn)練2 (2009江蘇,5)現(xiàn)有5根竹竿,它們的長度(單位:m)分別為2.5,2.6,2.7,2. 9、8,2.9,若從中一次隨機抽取2根竹竿,則它們的長度恰好相差0.3 m的概率為 . 解析 從5根竹竿中一次隨機抽取2根竹竿共有 =10種抽取方法,而抽取的兩根竹竿長度恰好相差0.3 m的情況有2種.則P= =0.2.,0.2,三、 相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗,例3 甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別是 和 .假設(shè)兩人射擊是否擊中目標,相互之間沒有影響;每人各次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響. (1)求甲射擊4次,至少有1次未擊中目標的概率; (2)求兩人各射擊4次,甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率; (3)假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標,則中止其射擊.則乙恰好射擊5次后 10、被中止射擊的概率是多少? 思維啟迪 (1)第(1)問先求其對立事件的概率. (2)第(2)問利用相互獨立事件和獨立重復(fù)試驗的概率公式.,(3)第(3)問中,甲恰好射擊5次被中止,可分為前3次擊中后兩次未擊中和前2次有一次未擊中,第3次擊中,后兩次未擊中兩種情況.,解析 (1)甲至少一次未擊中目標的概率P1是 P1=P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4) =1-P4(0)=1- . (2)甲射擊4次恰擊中2次的概率為 P2= , 乙射擊4次恰擊中3次的概率為 P3= ,,由乘法公式,所求概率 P=P2P3= . (3)乙恰好5次停止射擊,則最后兩次未擊 11、中,前三次或都擊中或第一與第二次恰有一次擊中,第三次必擊中,故所求概率為 .,探究提高 (1)注意區(qū)分互斥事件和相互獨立事件,互斥事件是在同一試驗中不可能同時發(fā)生的情況,相互獨立事件是指幾個事件的發(fā)生與否互不影響,當然可以同時發(fā)生. (2)一個事件若正面情況比較多,反面情況較少,則一般利用對立事件進行求解.對于“至少”,“至多”等問題往往用這種方法求解.,變式訓(xùn)練3 在每道單項選擇題給出的4個備選答案中,只有一個是正確的.若對4道選擇題中的每一道都任意選定一個答案,求這4道題中: (1)恰有兩道題答對的概率; (2)至少答對一道題的概率. 解析 (1)視“選擇每道題的 12、答案”為一次試驗,則這是4次獨立重復(fù)試驗,且每次試驗中“選擇正確”這一事件發(fā)生的概率為 . 由獨立重復(fù)試驗的概率計算公式得: 恰有兩道題答對的概率為 P4(2)= .,(2)方法一 至少有一道題答對的概率為 1-P4(0)=1- =1- . 方法二 至少有一道題答對的概率為,四、 隨機變量的分布列、均值與方差,例4 (2009濰坊模擬)甲、乙兩人玩投籃游戲,規(guī)則如下:兩人輪流投籃,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投籃,結(jié)束游戲,已知甲 每次投中的概率為 ,乙每次投中的概率為 .求: (1)乙投籃次數(shù)不超過1次的概率; (2)記甲、乙兩人投籃次數(shù)和為 ,求 的分布列 13、和數(shù)學期望. 思維啟迪 (1)乙投籃次數(shù)不超過一次有三種情況. (2)正確理解并記準均值與方差的計算公式.,解析 記“甲投籃投中”為事件A,“乙投籃投中”為事B. 方法一 “乙投籃次數(shù)不超過1次”包括三種情況:一種是甲第1次投籃投中,另一種是甲第1次投籃未投中而乙第1次投籃投中,再一種是甲、乙第1次投籃均未投中而甲第2次投籃投中, 所求的概率是P=P(A+ B+ A)=P(A)+P( B)+P( A) =P(A)+P( )P(B)+P( )P( )P(A)= . 答 乙投籃次數(shù)不超過1次的概率為 .,方法二 “乙投籃次數(shù)不超過1次”的對立事件是“乙投籃2次”,所以,所求的 14、概率是P=1-P( )=1-P( )P( )P( )=1- . 答 乙投籃次數(shù)不超過1次的概率為 . (2)甲、乙投籃總次數(shù) 的取值1,2,3,4, P( =1)=P(A)= , P( =2)=P( B)=P( )P( )= , P( =3)=P( A)=P( )P( )P(A) = ,,P( =4)=P( )=P( )P( )P( ) = ,,甲、乙投籃次數(shù)總和 的分布列為,甲、乙投籃總次數(shù) 的數(shù)學期望為E =1 +2 +3 +4 = .,答 甲、乙投籃次數(shù)總和的數(shù)學期望為 .,探究提高 有些問題的模型顯得較為隱蔽,這時我們可以多做一點嘗試,弄清其模型,再設(shè)計 15、相應(yīng)的答題策略.在解答過程中,需注意答題的規(guī)范性. 變式訓(xùn)練4 (2009重慶理,17)某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹各2株.設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為 和 ,且各株大樹是否成活互不影響.求移栽的4株大樹中: (1)兩種大樹各成活1株的概率; (2)成活的株數(shù) 的分布列與期望.,解析 設(shè)Ak表示甲種大樹成活k株,k=0,1,2, Bl表示乙種大樹成活l株,l=0,1,2, 則Ak,Bl相互獨立,由獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的概率公式有P(Ak)= ,P(Bl)= . 據(jù)此算得 P(A0)= ,P(A1)= ,P(A2)= , P(B0)= ,P(B1)= , 16、P(B2)= . (1)所求概率為P(A1B1)=P(A1)P(B1) = .,(2) 方法一 的所有可能值為0,1,2,3,4,且P( =0)=P(A0B0)=P(A0)P(B0)= , P( =1)=P(A0B1)+P(A1B0)= , P( =2) =P(A0B2)+P(A1B1)+P(A2B0)= , . P( =3)=P(A1B2)+P(A2B1)= , P( =4)=P(A2B2)= . . 綜上知 的分布列為,從而, 的期望為 E = (株).,方法二 分布列的求法同 17、前,令 分別表示甲、乙兩種大樹成活的株數(shù),則 B , B , 故 E =2 = ,E =2 =1, 從而知E =E +E = (株).,規(guī)律方法總結(jié) 1.古典概型,A包含的基本事件m個數(shù) 總的基本事件n個數(shù),,2.互斥事件與對立事件 互斥事件強調(diào)兩個事件不可能同時發(fā)生,即在一次試驗中兩個互斥事件可以都不發(fā)生.兩事件是對立事件,則它們一定互斥,且在一次試驗中兩對立事件有且只有一個發(fā)生,反過來,兩事件互斥,但不一定對立.故兩事件互斥是兩事件對立的必要不充分條件,對立事件是特殊的互斥事件. 3.求離散型隨機變量 的期望與方差的方法 (1)理解 的意義,寫出 可能取的全部值. (2)求 18、 取每個值的概率. (3)寫出 的分布列. (4)由期望的定義求E . (5)由方差的定義求D .,一、選擇題 1.某同學同時擲兩顆骰子,得到點數(shù)分別為a,b,則 橢圓 的離心率e 的概率是() A. B. C. D. 解析 e= a2b,符合a2b的情況有:當b=1時,有a=3,4,5,6四種情況; 當b=2時,有a=5,6兩種情況,總共有6種情況. 所以概率為 .,C,2.(2009重慶理,6)鍋中煮有芝麻餡湯圓6個,花 生餡湯圓5個,豆沙餡湯圓4個,這三種湯圓的外部 特征完全相同.從中任意舀取4個湯圓,則每種湯圓 都至少取到1個的概率為() A. B. 19、 C. D. 解析 從15個湯圓中選出4個湯圓共有 種情況, 每種湯圓至少有1個的情況有 =720種情況,所以各種湯圓至少有1個的概率為 P= .,C,3.(2009上海理,16)若事件E與F相互獨立,且P (E)=P(F)= ,則P(EF)的值等于( ) A.0B. C. D. 解析 因為事件E與事件F相互獨立, 故P(EF)=P(E)P(F)= .,B,4.從編號為1,2,,10的10個大小相同的球中任 取4個,則所取4個球的最大號碼是6的概率為( ) A.B.C.D. 解析 從10個球中任選4個共有 種取法,所取4個 球中最大號碼是6的取法共有 種,所求概率為 P=
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