第九章直線、平面簡(jiǎn)單幾何體階段質(zhì)量檢測(cè)
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1、 第九章 直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 (自我評(píng)估、考場(chǎng)亮劍,收獲成功后進(jìn)入下一章學(xué)習(xí)!) (時(shí)間120分鐘,滿分150分) 一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.若l為一條直線,α、β、γ為三個(gè)互不重合的平面,給出下面三個(gè)命題: ①α⊥γ,β⊥γ?α⊥β;②α⊥γ,β∥γ?α⊥β;③l∥α,l⊥β?α⊥β. 其中正確的命題有 ( ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)
2、 解析:對(duì)于①,α與β可能平行,故錯(cuò).②③正確. 答案:C 2.(2010·唐山模擬)關(guān)于直線a、b,以及平面M、N,給出下列命題: ①若a∥M,b∥M,則a∥b; ②若a∥M,b⊥M,則a⊥b; ③若a∥b,b∥M,則a∥M; ④若a⊥M,a∥N,則M⊥N. 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①中a與b可以相交或平行或異面,故①錯(cuò).③中a可能在平面M內(nèi), 故③錯(cuò)
3、. 答案:C 3.圓x2+(y+1)2=3繞直線kx-y-1=0旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為 ( ) A.36π B.12π C.4π D.4π 解析:顯然直線過(guò)圓心(0,-1),故旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為球,∴V球=πR3=π·3 =4π. 答案:C 4.長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為2、6和9,則長(zhǎng)方體的體積是 ( ) A.6 B.3 C.11 D.12 解析:設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,
4、c,則有 ab=2,bc=6,ac=9,∴V===6. 答案:A 5.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E是AD的中點(diǎn),則 直線A1B與直線C1E的位置關(guān)系是 ( ) A.平行 B.相交 C.共面 D.垂直 解析:易證A1B⊥平面AB1C1D,又C1E?平面AB1C1D, ∴A1B⊥C1E. 答案:D 6.(2009·廣東高考)給定下列四個(gè)命題: ①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面相互平行; ②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面相互垂直; ③垂直于同一直線的兩條直線相互
5、平行; ④若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂 直. 其中,為真命題的是 ( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 解析:①顯然錯(cuò)誤,因?yàn)檫@兩條直線相交時(shí)才滿足條件;②成立;③錯(cuò)誤,這兩條直 線可能平行,相交,也可能異面;④成立,用反證法容易證明. 答案:D 7.已知兩條不同直線l1和l2及平面α,則直線l1∥l2的一個(gè)充分條件是 ( ) A.l1∥α且
6、l2∥α B.l1⊥α且l2⊥α C.l1∥α且l2?α D.l1∥α且l2?α 解析:對(duì)選項(xiàng)A,l1與l2還可能相交或成異面直線,A錯(cuò).根據(jù)直線與平面垂直的性 質(zhì)定理,B正確.另外,對(duì)于選項(xiàng)C,l1與l2不一定平行,C錯(cuò).對(duì)于選項(xiàng)D,l1與 l2還可能為異面直線. 答案:B 8.(2010·溫州模擬)已知三個(gè)平面α、β、γ,若β⊥γ,且α與β、α與γ均相交但不垂直, a、b分別為α、β內(nèi)的直線,則 ( ) A.?b?β,b⊥γ
7、 B.?b?β,b∥γ C.?a?α,a⊥γ D.?a?α,a∥γ 解析:選項(xiàng)A中β⊥γ,但并不是平面β內(nèi)的任意直線都與平面γ垂直,故選項(xiàng)A不 正確;由于β⊥γ,只有在平面β內(nèi)與平面β與γ的交線平行的直線才和平面γ平行, 選項(xiàng)B不正確;若存在a?α,a⊥γ,則必然α⊥γ,選項(xiàng)C不正確;只要在平面α內(nèi) 存在與平面α與γ的交線平行的直線,則此直線平行于平面γ,故選項(xiàng)D正確. 答案:D 9.如右圖所示,點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,則PA與BD所成角的度數(shù)為 ( ) A.30°
8、 B.45° C.60° D.90° 解析:以DA、DC、DP為鄰邊構(gòu)造正方體BP,易知PA與BD所成的角為60°. 答案:C 10.已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1,BD1與平面AC所成 的角為θ,則cosθ的值是 ( ) A. B. C. D. 解析:由于DD1⊥平面AC,∴∠D1BD即為BD1與平面AC所成的角,∵AB=3,BC =2,BB1=1,∴BD=,BD1=,∴cos∠DBD1==. 答案:A 11.(A)如圖,平面α⊥平面β,A∈α,
9、B∈β,AB與平面 α、β所成的角分別為和.過(guò)A、B分別作兩平面交線 的垂線,垂足為A′、B′,若AB=12,則A′B′=( ) A.4 B.6 C.8 D.9 解析:在Rt△ABB′中, AB′=AB·sin=12×=6. 在Rt△ABA′中,AA′=AB·sin=×12=6. 在Rt△A′AB′中, A′B′===6. 答案:B (B)如圖,在45°的二面角α-l-β的棱上有兩點(diǎn)A、B, 點(diǎn)C、D分別在α,β內(nèi),且AC⊥AB,∠ABD=45°, AC=AB=BD=1,則
10、CD的長(zhǎng)度為 ( ) A. B. C. D. 解析:由于=+AB―→+, 所以CD的長(zhǎng)度即為| |=, 則 2=(++)2 =+2+ 2+2(·+·+·), 其中·=0,·=1·1cos135°=-. 又cos〈,〉=cos45°·cos45°=, 所以·=1·1·(-)=-, 故| |= = =. 答案:B 12.(A)(2009·寧夏、海南高考)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為1,線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F,且EF=, 則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是
11、 ( ) A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三棱錐A-BEF的體積為定值 D.△AEF的面積與△BEF的面積相等 解析:如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中, AC⊥BD,AC⊥BB1, BD∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1D1D, BE?平面BB1D1D, ∴AC⊥BE,∴A對(duì). ∵EF∥DB,∴EF∥平面ABCD,∴B對(duì). S△BEF=×EF×BB1=××1=, AO⊥平面BB1D1D,AO=, ∴VA-BEF=××=, ∴三棱錐的體積為定值,C對(duì). 答案:D (B)已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,高
12、為4,則點(diǎn)A1 到截面AB1D1的距離是 ( ) A. B. C. D. 解析:如圖建立坐標(biāo)系,則A1(2,0,4),A(2,0,0),B1(2,2,4),D1(0,0,4). 設(shè)平面AB1D1的法向量為 n=(x,y,z), 則 解得x=2z且y=-2z, 不妨設(shè)n=(2,-2,1), 設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離為h, 則h==. 答案:C 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分
13、.把答案 填在題中的橫線上. 13.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是一直角梯形, AB∥CD,CD=2AB,E為PC的中點(diǎn),則BE與平面PAD 的位置關(guān)系為_(kāi)_______. 解析:取PD的中點(diǎn)F,連結(jié)EF,AF,由題中條件易得四 邊形ABEF為平行四邊形,從而進(jìn)一步可推出BE∥AF, 根據(jù)線面平行的判定定理可得BE∥平面PAD(或取CD的中 點(diǎn)M,連結(jié)EM,BM,由條件可推出平面BEM∥平面PAD,進(jìn)一步也可得出 BE∥平面PAD). 答案:平行 14.在四棱錐中,其底面是正方形,一條側(cè)棱垂直于底面,不通過(guò)此棱的一個(gè)側(cè)面與底 面所成的二面角為45°,且最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)
14、為15 cm,則棱錐的高為_(kāi)_______. 解析:設(shè)高為h,由不過(guò)此棱的一側(cè)面與底面成45°角,得正方形邊長(zhǎng)也是h,所以 h=15,所以h=5 cm. 答案:5 cm 15.在三棱錐P-ABC中,△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,PA=PB=PC=4,則 點(diǎn)P到平面ABC的距離為_(kāi)_______;若P、A、B、C四點(diǎn) 在某個(gè)球面上,則球的半徑為_(kāi)_______. 解析:如圖,P在底面的射影為E,AD=3,AE=2, PE=6,∠APE=30°, 球心為O,設(shè)球半徑OP=R,則有關(guān)系式R2=AE2+OE2 即R2=(2)2+(6-R)2,則R=4. 答案:6;4 16.(
15、A)正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=2,D為A1B1的中點(diǎn),則AD與平 面ACC1A1所成角等于________. 解析:如圖,在平面A1B1C1內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥A1C1于F, 連結(jié)AF,則由該三棱柱是正三棱柱知DF⊥平面AA1C1C, ∠DAF即為AD與平面ACC1A1所成的角,根據(jù)題目條件在 Rt△AFD中可求得AD=2,DF=,所以∠DAF=. 答案: (B)已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的AB=5,AD=3,AA1=7,∠BAD=60°, ∠BAA1=∠DAA1=90°,則AC1的長(zhǎng)是________. 解析:如圖,由題意得, =++,
16、 ∴||2=||2+||2+||2+2||·||·cos90°+ 2||·||·cos60°+2||·||·cos90° =72+32+52+2×3×5×=98, ∴| |=7. 答案:7 三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17.(本小題滿分10分)在正四棱錐P-ABCD中,PA=2,直線PA與平面ABCD所成 的角為60°,求正四棱錐P-ABCD的體積V. 解:作PO⊥平面ABCD,垂足為O.連結(jié)AO,O是正方形ABCD的中心,∠PAO是 直線PA與平面ABCD所成的角. ∠PAO=60°,PA=2. ∴PO=. AO=1
17、,AB=, ∴V=PO·SABCD =××2=. 18.(本小題滿分12分)(2009·山東高考)如圖,在直四棱 柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形, AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1分 別是棱AD、AA1的中點(diǎn). (1)設(shè)F是棱AB的中點(diǎn),證明:直線EE1∥平面FCC1; (2)證明:平面D1AC⊥平面BB1C1C. 解:(1)證明:法一:取A1B1的中點(diǎn)為F1,連結(jié)FF1、C1F1, 由于FF1∥BB1∥CC1,所以F1∈平面FCC1, 因此平面FCC1即為平面C1CFF1. 連結(jié)A1D、F1C, 由于A1F1
18、綊D1C1綊CD, 所以四邊形A1DCF1為平行四邊形, 因此A1D∥F1C. 又EE1∥A1D,得EE1∥F1C, 而EE1?平面FCC1,F(xiàn)1C?平面FCC1, 故EE1∥平面FCC1. 法二:因?yàn)镕為AB的中點(diǎn),CD=2,AB=4,AB∥CD, 所以CD綊AF, 因此四邊形AFCD為平行四邊形, 所以AD∥FC. 又CC1∥DD1,F(xiàn)C∩CC1=C,F(xiàn)C?平面FCC1,CC1?平面FCC1, 所以平面ADD1A1∥平面FCC1, 又EE1?平面ADD1A1, 所以EE1∥平面FCC1. (2)證明:連結(jié)AC,在△FBC中,F(xiàn)C=BC=FB, 又F為AB的
19、中點(diǎn),所以AF=FC=FB, 因此∠ACB=90°,即AC⊥BC. 又AC⊥CC1,且CC1∩BC=C, 所以AC⊥平面BB1C1C, 而AC?平面D1AC, 故平面D1AC⊥平面BB1C1C. 19.(本小題滿分12分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中, ∠ABC=90°,AB=BC=1. (1)求異面直線B1C1與AC所成角的大??; (2)若直線A1C與平面ABC所成角為45°,求三棱錐 A1—ABC的體積. 解:(1)∵BC∥B1C1, ∴∠ACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補(bǔ)角). ∵∠ABC=90°,AB=BC=1,∴∠ACB=45°, ∴異面直
20、線B1C1與AC所成角為45°. (2)∵AA1⊥平面ABC, ∴∠ACA1為直線A1C與平面ABC所成的角, ∠ACA1=45°, ∵∠ABC=90°,AB=BC=1,AC=, ∴AA1=, ∴三棱錐A1—ABC的體積 0VA1—ABC=S△ABC·AA1=. 20.(本小題滿分12分)如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=1,AC=AA1=, ∠ABC=60°. (1)證明:AB⊥A1C; (2)求二面角A-A1C-B的余弦值. 解:(1)證明:∵三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,∴AB⊥AA1, 在△ABC中,AB=1,AC=,∠ABC=60
21、°, 由正弦定理得∠ACB=30°, ∴∠BAC=90°,即AB⊥AC, ∴AB⊥平面ACC1A1, 又A1C?平面ACC1A1, ∴AB⊥A1C. (2)如圖,作AD⊥A1C交A1C于D點(diǎn),連結(jié)BD, 由三垂線定理知BD⊥A1C, ∴∠ADB為二面角A-A1C-B的平面角. 在Rt△AA1C中,AD===, 在Rt△BAD中,tanADB==, ∴cosADB=, 即二面角A-A1C-B的余弦值為. 21.(A)(本小題滿分12分)在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD 是梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAD⊥平面ABCD.
22、 (1)求證:PA⊥平面ABCD; (2)若平面PAB∩平面PCD=l,問(wèn):直線l能否與平面ABCD 平行?請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)證明:因?yàn)椤螦BC=90°,AD∥BC,所以AD⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,所以AD⊥平面PAB, 所以AD⊥PA. 同理可得AB⊥PA. 由于AB、AD?平面ABCD,且AB∩AD=A, 所以PA⊥平面ABCD. (2)法一:不平行. 假定直線l∥平面ABCD, 由于l?平面PCD,且平面PCD∩平面ABCD=CD, 所以l∥CD. 同理可得l∥AB,所以AB∥CD. 這與AB和CD是直
23、角梯形ABCD的兩腰相矛盾, 故假設(shè)錯(cuò)誤,所以直線l與平面ABCD不平行. 法二:因?yàn)樘菪蜛BCD中AD∥BC, 所以直線AB與直線CD相交, 設(shè)AB∩CD=T. 由T∈CD,CD?平面PCD得T∈平面PCD. 同理T∈平面PAB. 即T為平面PCD與平面PAB的公共點(diǎn),于是PT為平面PCD與平面PAB的交線. 由T∈CD且T∈AB得,T∈平面ABCD. 所以直線l與平面ABCD不平行. (B)(本小題滿分12分)已知在四棱錐P-ABCD中,底面 ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2, E、F分別是AB、PD的中點(diǎn). (1)求證:AF∥平面PE
24、C; (2)求PC與平面ABCD所成角的大??; (3)求二面角P-EC-D的大?。? 解:以A為原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系. 則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),F(xiàn)(0,,),E(1,0,0), P(0,0,1). (1)證明:取PC的中點(diǎn)O,連結(jié)OE. 則O(1,,), =(0,,), =(0,,),∴∥. 又OE?平面PEC,AF?平面PEC. ∴AF∥平面PEC. (2)由題意可得=(2,1,-1). 平面ABCD的法向量=(0,0,-1). ∴cos〈,〉===. 即直線PC與平面ABCD所成角的大小為arcsin.
25、 (3)設(shè)平面PEC的法向量為m=(x,y,z). =(1,0,-1),=(1,1,0). 則可得 令z=-1,則m=(-1,1,-1). 由(2)可得平面ABCD的法向量是=(0,0,-1). cos〈m,〉===. ∴二面角P-EC-D的大小為arccos. 22.(A)(本小題滿分12分)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都等于2,D在AC1 上,F(xiàn)為BB1的中點(diǎn),且FD⊥AC1. (1)試求的值; (2)求二面角F-AC1-C的大?。? (3)求點(diǎn)C1到平面ACF的距離. 解:(1)如圖,連結(jié)AF、FC1. ∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱且各棱長(zhǎng)
26、都等于2,且F為BB1的中點(diǎn), ∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F, ∴AF=FC1. 在△AFC1中,F(xiàn)D⊥AC1, ∴D為AC1的中點(diǎn),即=1. (2)取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)BE、DE, 易得DE與FB平行且相等, ∴四邊形DEBF是平行四邊形, ∴FD與BE平行. ∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱, ∴△ABC是正三角形,∴BE⊥AC,∴FD⊥AC. 又∵FD⊥AC1, ∴FD⊥平面ACC1, ∴二面角F-AC1-C的大小為90°. (3)運(yùn)用等體積法求解. 設(shè)點(diǎn)C1到平面ACF的距離為h, ∴AC=2,AF=CF=,∴S△ACF=2. 又VF-ACC
27、1=VB-ACC1=×2×=, ∴VF-ACC1=VC1-ACF=S△ACF×h,得h=. (B)(本小題滿分12分)如圖所示,已知矩形ABCD中,AB=,AD=1.將△ABD沿 BD折起,使點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影落在DC上. (1)求證:平面ADC⊥平面BCD; (2)求點(diǎn)C到平面ABD的距離; (3)若E為BD中點(diǎn),求二面角B-AC-E的大?。? 解:法一:(1)證明:∵點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影落在DC上, 即平面ADC經(jīng)過(guò)平面BCD的垂線, ∴平面ADC⊥平面BCD. (2)依條件可知BC⊥DC,又平面ADC⊥平面BCD,且平面ADC∩平面BCD=CD, ∴BC
28、⊥平面ADC.∵DA?平面ADC, ∴BC⊥DA.① 依條件可知DA⊥AB.② ∵AB∩BC=B,∴由①、②得DA⊥平面ABC. 設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為d, 由VC-ABD=VD-ABC, 得·d·S△ABD=·DA·S△ABC, 即·d···1=·1··1·1, 解得d=.即點(diǎn)C到平面ABD的距離為. (3)如圖,取AB中點(diǎn)F,連結(jié)EF.∵E為BD中點(diǎn), ∴EF∥AD. 由(2)中結(jié)論可知DA⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC. 過(guò)F作FG⊥AC,垂足為G,連結(jié)EG, 則GF為EG在平面ABC內(nèi)的射影,∴EG⊥AC, ∴∠EGF是所求二面角的平面角. 在△
29、ABC中,∵FG⊥AC,BC⊥AC,∴FG∥BC, FG=BC=.又EF綊AD,∴EF=. ∴在Rt△EFG中容易求得∠EGF=45°, 即二面角B-AC-E的大小是45°. 法二:證明:如圖,以C為原點(diǎn),CB所在直線為x軸,DC所在直線為y軸, 平面BCD的方向向上過(guò)點(diǎn)C的法向量為z軸建立空 間直角坐標(biāo)系. 則C(0,0,0),B(1,0,0),D(0,-,0). ∵點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影落在DC上, ∴設(shè)A(0,y,z). 由·=0且| |=1, 得 ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(0,-,). (1)∵n1=(0,0,1)是平面BCD的一個(gè)法向量,=(1,0,0)是平面AD
30、C的一個(gè)法 向量, 而n1·=(0,0,1)·(1,0,0)=0, ∴平面ADC⊥平面BCD. (2)設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為d. ∵=(0,,-),=(1,,-), =(0,-,-),容易求出平面ABD的一個(gè)法向量為n2=(-,1,-1). ∴d=|||cos〈,n2〉|=|1×|=. 即點(diǎn)C到平面ABD的距離為. (3)∵=(-1,-,),=(1,0,0), ∴容易求出平面ABC的一個(gè)法向量為n3=(0,1,1). ∵A(0,-,),E(,-,0), ∴=(,0,-), =(,-,0). ∴容易求出平面AEC的一個(gè)法向量為n4=(2,,). ∵n3·n4=0++=2,|n3|=,|n4|=2, ∴cos〈n3,n4〉===, ∴二面角B-AC-E的大小是45°. 15
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