3、1
C.?x∈R,x3>0 D.?x∈R,2x>0
解析:選C.對于A,當(dāng)x=1時,lg x=0,正確;對于B,當(dāng)x=時,tan x=1,正確;對于C,當(dāng)x<0時,x3<0,錯誤;對于D,?x∈R,2x>0,正確.
5.有四個關(guān)于三角函數(shù)的命題:
p1:?x∈R,sin2+cos2=;
p2:?x,y∈R,sin(x-y)=sinx-siny;
p3:?x∈[0,π], =sinx;
p4:sinx=cosy?x+y=.
其中的假命題是( )
A.p1,p4 B.p2,p4
C.p1,p3 D.p2,p3
解析:選A.∵對任意x∈R,均有sin2+cos2=
4、1而不是,故p1為假命題.
當(dāng)x,y,x-y有一個為2kπ(k∈Z)時,sinx-siny=sin(x-y)成立,故p2是真命題.
∵cos2x=1-2sin2x,∴==sin2x.
又x∈[0,π]時,sinx≥0,∴對任意x∈[0,π],均有 =sinx,因此p3是真命題.
∵當(dāng)sinx=cosy,即sinx=sin時,x=2kπ+-y,即x+y=2kπ+(k∈Z),故p4為假命題.故選A.
二、填空題
6.命題:對任意的x∈R,2x>0的否定命題是________.
答案:?x0∈R,2x0≤0
7.在“﹁p”,“p∧q”,“p∨q”形式的命題中,“p∨q”為真,“p∧q
5、”為假,“﹁p”為真,那么p,q的真假為p________,q________.
解析:∵“p∨q”為真,∴p,q至少有一個為真.
又“p∧q”為假,∴p,q一個為假,一個為真.
而“﹁p”為真,∴p為假,q為真.
答案:假 真
8.(2012·濰坊質(zhì)檢)下列命題中真命題的序號是________.
①?x∈R,x4>x2;
②若p∧q是假命題,則p,q都是假命題;
③命題“?x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是“?x∈R,x3-x2+1>0”.
解析:①不正確,x4>x2成立當(dāng)且僅當(dāng)|x|>1;②不正確,當(dāng)p∧q為假命題時,只要p,q中至少有一個為假命題即可;③正確,全稱命題
6、的否定是特稱命題.
答案:③
三、解答題
9.用符號“?”與“?”表示下面含有量詞的命題,并判斷真假.
(1)不等式x2-x+≥0對一切實數(shù)x都成立;
(2)存在實數(shù)x0,使得=.
解:(1)?x∈R,x2-x+≥0恒成立.
∵x2-x+=2≥0,故該命題為真命題.
(2)?x0∈R,使得=.
∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,
∴≤<. 故該命題是假命題.
10.已知命題p:函數(shù)f(x)=(2a-1)x是增函數(shù);命題q:函數(shù)y=ln(2ax2-2ax+1)的定義域為R,若p∨q為真,p∧q為假,求實數(shù)a的取值范圍.
解:∵函數(shù)f(x)=(2a-1)x是增函數(shù),
7、
∴2a-1>0,即得p:a>1.
又∵函數(shù)y=ln(2ax2-2ax+1)的定義域為R,
∴2ax2-2ax+1>0在R上恒成立.
∴當(dāng)a=0時,1>0,符合題意;
當(dāng)a≠0時,?0<a<2,
綜上得:q:0≤a<2,
∵p∨q為真,p∧q為假,∴p、q一真一假.
法一:① 當(dāng)p真q假時,由?a≥2;
②當(dāng)p假q真時,由?0≤a≤1.
綜上得a的取值范圍是{a|0≤a≤1或a≥2}.
法二:用數(shù)軸來解,如圖.
一、選擇題
1.已知命題p:存在x∈(-∞,0),2x<3x;命題q:△ABC中,若sinA>sinB,則A>B,則下列命題為真命題的是( )
8、A.p∧q B.p∨(﹁q)
C.(﹁p)∧q D.p∧(﹁q)
解析:選C.∵當(dāng)x<0時,x>1?2x>3x,
∴p為假,故﹁p為真.
又∵△ABC中,有sinA>sinB?a>b?A>B,
∴q為真,故﹁q為假,故選C.
2.(2010·高考天津卷)下列命題中,真命題是( )
A.?m∈R,使函數(shù)f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函數(shù)
B.?m∈R,使函數(shù)f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函數(shù)
C.?m∈R,函數(shù)f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函數(shù)
D.?m∈R,函數(shù)f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函數(shù)
解析:選A.對于選項A,?m∈R,即當(dāng)m=0時
9、,f(x)=x2+mx=x2是偶函數(shù).故A正確.
二、填空題
3.若命題“?x0∈R,使得x+(a-1)x0+1<0”是真命題,則實數(shù)a的取值范圍是________.
解析:∵命題“?x0∈R,使得x+(a-1)x0+1<0”是真命題,
∴Δ=(a-1)2-4>0,即(a-1)2>4,
∴a-1>2或a-1<-2,∴a>3或a<-1.
答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)
4.已知命題p:對任意x∈R,存在m∈R,使4x-2x+1+m=0.若命題﹁p是假命題,則實數(shù)m的取值范圍是________.
解析:令t=2x,t>0.則-m=t2-2t=(t-1)2-1≥-1,所以m≤1.
10、
答案:(-∞,1]
三、解答題
5.已知命題p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命題q:“?x0∈R,x+2ax0+2-a=0”,若命題“p且q”是假命題,求實數(shù)a的取值范圍.
解:由“p且q”是真命題,知p為真命題,q也為真命題.
若p為真命題,則a≤x2恒成立.∵x∈[1,2],∴a≤1.
若q為真命題,即x2+2ax+2-a=0有實根,
Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2,
所以“p且q”是真命題時,實數(shù)a的取值范圍為a≤-2或a=1,
故“p且q”是假命題時,實數(shù)a的取值范圍為(-2,1)∪(1,+∞).
6.(2012·福州質(zhì)檢)已知m∈R,命
11、題p:對任意x∈[0,8],不等式 (x+1)≥m2-3m恒成立;命題q:對任意x∈R,不等式|1+sin2x-cos2x|≤2mcos恒成立.
(1)若p為真命題,求m的取值范圍;
(2)若p且q為假,p或q為真,求m的取值范圍.
解:(1)令f(x)= (x+1),則f(x)在(-1,+∞)上為減函數(shù).
因為x∈[0,8],所以當(dāng)x=8時,f(x)min=f(8)=-2.
不等式 (x+1)≥m2-3m恒成立,等價于-2≥m2-3m,解得1≤m≤2.
即若p為真命題,m的取值范圍為[1,2].
(2)不等式|1+sin2x-cos2x|≤2mcos,
即|2sinx(sinx+cosx)|≤m|sinx+cosx|,
所以m≥|sinx|,即命題q:m≥.
若p且q為假,p或q為真,則p與q有且只有一個為真.
若p為真,q為假,那么即1≤m<.
若p為假,q為真,那么即m>2.
綜上所述,1≤m<或m>2.
即m的取值范圍是[1,)∪(2,+∞).
4