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1、 福建省福州市2012年10月高中數(shù)學(xué)學(xué)科會議專題講座 立體幾何一輪復(fù)習(xí)建議 1．考綱要求 1.1立體幾何初步 　　 1.1.1空間幾何體 　　① 認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)． 　?、?能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖． 　?、?了解平行投影與中心投影，了解空間圖形的不同表示形式． 　?、?會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）． 　?、?了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積

2、和體積的計算公式（不要求記憶公式）． 　　1.1.2點、直線、平面之間的位置關(guān)系 　　① 理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理． 　　◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點在此平面內(nèi)． 　　◆公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面． 　　◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線． 　　◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行． 　　◆定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補． 　?、?以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點

3、，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定． 　　理解以下判定定理． 　　◆如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行． 　　◆如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行． 　　◆如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直． 　　◆如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直． 　　理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明． 　　◆如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行． 　　◆如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行． 　　◆

4、垂直于同一個平面的兩條直線平行． 　　◆如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直． ③ 能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題． 1.2．空間向量與立體幾何(理科) 　　1.2.1空間向量及其運算 　　① 了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示． 　?、?掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示． 　　③ 掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直． 　　1.2.2空間向量的應(yīng)用 　?、?理解直線的方向向量與平面的法向量． 　?、?能用向量語言表述直線與

5、直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系． 　?、?能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）． ④ 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的應(yīng)用． 2.考試說明要求 “重視數(shù)學(xué)基本能力和綜合能力的考查” “數(shù)學(xué)基本能力主要包括空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、計算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識這幾方面的能力” “空間想象能力的考查要求是:能夠根據(jù)題設(shè)條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據(jù)平面直觀圖形想象出空間圖形；能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系，并能夠?qū)臻g

6、圖形進(jìn)行分解和組合” “立體幾何是考查空間想象能力的主要載體,同時，又考查邏緝思維能力、推理論證能力、運算求解能力” “由于空間向量的雙重身份,能把空間元素間的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,形式邏輯證明轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.降低了思維難度.因此空間向量成為處理空間幾何問題的重要工具”（理科） 3.考點分析 立體幾何歷年都是高考重點內(nèi)容之一 ，屬中檔題. 3.1福建近四年高考中的立體幾何題見下表： 理科 年份 選擇題 填空題 解答題考點及簡要分析 2009 7.平行命題的真假辯析 17.條件:長方體一部分 線面垂直 中點 結(jié)論:(1)異面角 (2)探究 線面垂直 線段長

7、2010 6. 直線與平面平行、垂直的判定與性質(zhì) 12. 三視圖 表面積 18.條件:組合體(圓柱 三棱柱) 結(jié)論:(1)面面垂直 (2)體積 面面角 2011 12.三棱錐 線面垂直 體積 20. 條件:四棱錐 線面垂直 線線垂直 結(jié)論:(1) 面面垂直 (2) 線面角 線段長度 探究 距離相等的點 2012 4. 三視圖 18. 條件:長方體 結(jié)論:(1) 線面垂直 (2)探究 線面平行 (3)二面角 文科 年份 選擇題 填空題 解答題考點及簡要分析 2009 5.三視圖 體積 10.平行命題的真假辯析

8、 20.條件:折疊 三棱錐 面面垂直 結(jié)論:(1)線面垂直 (2)側(cè)面積 2010 3.三視圖 側(cè)面積 20.條件:長方體 線線平行 結(jié)論:(1)線面平行 (2)體積 幾何概型 最值 2011 15.正方體 線面平行 線段長度 20. 條件:四棱錐 線面垂直 線線垂直 線線平行 結(jié)論:(1) 線面垂直 (2) 體積 2012 4. 三視圖 19. 條件:長方體 線段和的最小值(展開) 結(jié)論:(1)體積 (2) 線面垂直 從結(jié)構(gòu)上看，立體幾何題型一般是一個解答題，一至兩個填空或選擇題。解答題常以空間幾何體為載

9、體，設(shè)計幾個小問題，第一小問考查線線、線面、面面的位置關(guān)系，后面幾問考查空間角、線段長度、面積、體積等度量關(guān)系。開放性問題、探究性問題在立體幾何試題之中也頻頻出現(xiàn)。如2009、2011、2012年高考福建理科卷。 3.2存在問題分析 比較突出的問題有：①空間想象能力不夠②推理論證能力不強③書寫不規(guī)范④運算求解能力偏弱等.也體現(xiàn)在以下幾個方面: ①有的學(xué)生不能將文字語言、符號語言和圖形語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對基本圖形的認(rèn)識不夠，對圖形的解讀能力不高，不能根據(jù)目標(biāo)對圖形進(jìn)行分解組合，不能從空間圖形中準(zhǔn)確抽取有用的某一個平面圖形來研究，不能作出有用的輔助線和面. ②有的學(xué)生對定理的理解不準(zhǔn)確，記憶有

10、偏差，考試時不能正確地提取和應(yīng)用． ③有的學(xué)生缺少證明平行與垂直的常用方法，思路不清晰，簡單套題型. 遇到象2012年文科18(2)對條件“線段和的最小值”這樣的立體幾何題，就只能怪題目出的不好了． ④有的學(xué)生(理科)對點的坐標(biāo),法向量的運算出錯率很高. ⑤有的學(xué)生不知道哪些結(jié)論可以作為推理的依據(jù)，哪些要經(jīng)過證明才能用． 證明題按邏輯段給分，每個邏輯段分條件和結(jié)論，結(jié)論必須寫，某些條件容許缺省，但不能所有條件都不寫，必須寫出的為“關(guān)鍵詞”，各個邏輯段的推理是否完成就看條件“關(guān)鍵詞”與結(jié)論“關(guān)鍵詞”有沒有寫出.若缺少某個關(guān)鍵詞，且沒有“等價替代詞”，則該邏輯段不給分．若某個邏輯段盡管不缺

11、關(guān)鍵詞，但推理錯誤，也不給分.　　評卷過程中按完成的邏輯段給分，各個邏輯段中的分值不再拆分. 　例1: 如圖，在直三棱柱中，E，F(xiàn)分別是的中點，點D在上，. 求證：（1）EF∥平面ABC； （2）平面⊥平面 分析: 4.精典試題剖析 下面從識圖與畫圖的結(jié)合、概念與推理的結(jié)合、對圖形的處理等三方面進(jìn)行討論. 4．1 識圖與畫圖的結(jié)合 例2.(2012高考湖南卷文4 ) 某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是 本題以空間幾何體的三視圖為載體，考查空間想象能力.是近年高考中的熱點題型.由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知，原圖下面圖為圓柱或直

12、四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是該幾何體的俯視圖，Ｄ不可能是該幾何體的俯視圖，因為它的正視圖上面應(yīng)為中間帶虛線的矩形. 例3.（2012高考北京卷理7） 某三棱錐的三視圖如圖所示，該三梭錐的表面積是（ ） A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 本題以空間幾何體的三視圖為載體，考查空間想象能力.從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，圖中藍(lán)色數(shù)字所表示的為直接從題目所給三視圖中讀出的長度，黑色數(shù)字代表通過勾股定理的計算得到的邊長。本題所求表面

13、積應(yīng)為三棱錐四個面的面積之和，利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，，，，因此該幾何體表面積，故選B。 能根據(jù)給出的三視圖，通過畫圖、分析，想象出空間幾何體，并找出兩者的聯(lián)系，是解題的關(guān)鍵。 4．2 概念與推理的結(jié)合 例4．（2012高考浙江卷文5）設(shè)是直線，a，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ） A. 若∥a，∥β，則a∥β B. 若∥a，⊥β，則a⊥β C. 若a⊥β，⊥a，則⊥β D. 若a⊥β, ∥a，則⊥β 本題主要考察空間平行與垂直關(guān)系的定理，從每一個平行與垂直關(guān)系出發(fā)，理解和把握是否合乎定理的內(nèi)容是關(guān)鍵，考查了空

14、間想象能力和推理論證能力。利用排除法可得選項B是正確的，∵∥a，⊥β，則a⊥β．如選項A：∥a，∥β時，a⊥β或a∥β；選項C：若a⊥β，⊥a，∥β或；選項D：若若a⊥β, ⊥a，∥β或⊥β．故選B 例5．（2012高考四川卷理6）下列命題正確的是（ ） A、若兩條直線和同一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行 B、若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行 C、若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行 D、若兩個平面都垂直于第三個平面，則這兩個平面平行 本題以空間幾何體線面位置關(guān)系為載體，通過對線面角、點面距、線線平行、線面平行、面

15、面平行、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力推理論證能力。A.兩直線可能平行，相交，異面故A不正確；B.兩平面平行或相交；C.正確；D.這兩個平面平行或相交。選C。 若把此題改為多項選擇，比如正確的命題有幾個？或有哪些？難度會加大很多的。 4．3 對圖形的處理 對圖形常見的處理有：分割、補形、展開、平移和對稱；添加輔助線輔助面；將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題等。通過處理，使得復(fù)雜圖形簡單化、非標(biāo)準(zhǔn)圖形標(biāo)準(zhǔn)化。對空間圖形的處理能力是空間想象能力深化的標(biāo)志，是高考從深層次上考查空間想象能力的主要方面。 例6．（2012高考上海卷理14）如圖，與是四面體中互相垂直的棱，，若，且

16、，其中、為常數(shù)，則四面體的體積的最大值是 。 本題主要考查空間四面體的體積公式、空間中點線面的關(guān)系.本題主要考慮根據(jù)已知條件構(gòu)造體積表達(dá)式，這是解決問題的關(guān)鍵，本題綜合性強，運算量較大.屬于中高檔試題. 過點A做AE⊥BC，垂足為E，連接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE，所以=， 當(dāng)AB=BD=AC=DC=a時，四面體ABCD的體積最大。過E做 EF⊥DA，垂足為點F，∴EF=， ∴==，得體積的最大值= 例7．（2012高考遼寧卷理16 ）已知正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為__

17、______ 本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強，難度較大。該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱錐看作為一個正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對角線為球的直徑，球心為正方體對角線的中點。球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐ABC在面ABC上的高。已知球的半徑為，所以正方體的棱長為2，可求得正三棱錐ABC在面ABC上的高為，所以球心到截面ABC的距離為。 例8．（2102高考福建卷文19）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M為棱D

18、D1上的一點。 ⑴求三棱錐A-MCC1的體積； ⑵當(dāng)A1M+MC取得最小值時，求證：B1M⊥平面MAC。 本題以長方體為載體，主要考查了直線和直線直線和平面的位置關(guān)系及幾何體的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、計算求解能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想和化歸轉(zhuǎn)化思想。（2）中將側(cè)面繞轉(zhuǎn)展開，與側(cè)面共面，當(dāng)共線時A1M+MC取得最小值，也即為中點時…. 個人感覺對文科生來說“當(dāng)A1M+MC取得最小值時”這個條件有點難,若把條件直接改為“當(dāng)為的中點時”,平均得分會高2-3分. 例9．（2012高考湖北卷理19 ）如圖1，，，過動點A作，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB

19、，沿將△折起，使（如圖2所示）． （Ⅰ）當(dāng)?shù)拈L為多少時，三棱錐的體積最大； （Ⅱ）當(dāng)三棱錐的體積最大時，設(shè)點，分別為棱，的中點，試在 棱上確定一點，使得,并求與平面所成角的大?。? D A B C A C D B 圖2 圖1 M E . · 本題以三角形折疊后的三棱錐為載體，主要考查直線和平面的位置關(guān)系、幾何體的體積、空間向量的運算、函數(shù)的最值等基本知識，考查空間想象能力、推理論證能力、計算求解能力，考查了數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想和化歸轉(zhuǎn)化思想。 以向量為工具解空間幾何題，仍需對圖形進(jìn)行觀察、

20、思考、推理、判斷，做到“眼里有圖，腦中有圖”，把圖形和概念、圖形和條件聯(lián)系起來。解題過程中，空間想象是前提，代數(shù)運算是保證。 例10．（2012高考江西理19）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，在A1在底面ABC的投影是線段BC的中點O。 （1）證明在側(cè)棱AA1上存在一點E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的長； （2）求平面與平面BB1C1C夾角的余弦值。 本題以三棱柱為載體，考查線面垂直，二面角、向量法在解決立體幾何問題中的應(yīng)用以及空間想象的能力. 高考中，立體幾何解答題一般有以下三大方向的考查.一、考查與垂直，平行有關(guān)的線面關(guān)系的證明；二、

21、考查空間幾何體的體積與表面積；三、考查異面角，線面角，二面角等角度問題.前兩種考查多出現(xiàn)在第1問，第3種考查多出現(xiàn)在第2問；對于角度問題，一般有直接法與空間向量法兩種求解方法。 5．幾種常見題型復(fù)習(xí)基本策略的分享 5．1基本題型一：空間幾何體的認(rèn)識及表面積與體積的計算（選填題） 基本策略：涉及柱、錐、臺、球及其簡單組合體的側(cè)面積和體積的計算問題，要在正確理解概念的基礎(chǔ)上，畫出符合題意的圖形或輔助線(面)，分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，選擇合適的公式，進(jìn)行計算．另外要重視空間問題平面化的思想和割補法、等積轉(zhuǎn)換法的運用． 5．2基本題型二：空間中點線面位置關(guān)系的判斷（選填題） 基本策略：正確轉(zhuǎn)

22、換符號語言、圖形語言與文字語言；構(gòu)造并利用具體模型(比如長方體)，直觀感知，操作確認(rèn)；熟練運用4條公理、3條推論和8條判定與性質(zhì)定理來判斷空間位置關(guān)系，通過證明或舉反例來確定命題的真假．注意不要把平面幾何結(jié)論簡單類比到空間． 5．3基本題型三：線線、線面、面面平行與垂直的證明（解答題） 基本策略：證明或探究空間中線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系，一要熟練掌握所有判定定理與性質(zhì)定理，梳理好幾種位置關(guān)系的常見證明方法，如證明線面平行，既可以構(gòu)造線線平行，也可以構(gòu)造面面平行．而證明線線平行常用的是三角形中位線性質(zhì)，或構(gòu)造平行四邊形；二要用分析與綜合相結(jié)合的方法來尋找證明的思路；三要注意表述

23、規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)，避免使用一些雖然正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論．有條件時，可以適當(dāng)涉及一些簡單的計算，或是添加探究性的小問，或是在圖形上作一點變化，但一定要控制難度，且最終的落腳點一定是平行與垂直． 5．4基本題型四：運用空間向量證明與計算（解答題） 基本策略：空間向量的基礎(chǔ)知識可以類比于《必修4》中平面向量的相關(guān)知識進(jìn)行整理與記憶；通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用向量來表示點，刻畫直線和平面的“方向”；理解用向量判定空間位置關(guān)系、求角的原理，并掌握一般解題步驟，其中，線線角、線面角與二面角是本類題型中的重點考查對象，應(yīng)加強訓(xùn)練．此外，在計算平面的法向量、探究點的位置等問題中，要善于運用“待定系數(shù)法”合理設(shè)出坐標(biāo)，尋找滿足條件的方程（組）來解決問題． 7