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1、,,第十一章 彎曲應(yīng)力,11-1 引言, 橫力彎曲, 純彎曲,梁橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。,梁橫截面上只有正應(yīng)力無(wú)切應(yīng)力。,常數(shù),11-2 截面（平面圖形）的幾何性質(zhì),一、截面的靜矩與形心,截面對(duì)z軸的靜矩,,,注意：截面對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸過(guò)截面形心；反之，軸過(guò)截面形心，則截面對(duì)該軸的靜矩為零。所以截面對(duì)形心軸的靜矩恒等于零。,截面對(duì)y軸的靜矩,二、慣性積,截面對(duì)y、z軸的慣性積,若y、z軸中有一軸為截面的 對(duì)稱(chēng)軸，則 Iyz = 0,主慣性軸：Iyz0的一對(duì)y、z軸。 形心主（慣性）軸：Iyz0且都過(guò)形心 的一對(duì)y、z軸,三、慣性矩,1.截面對(duì)軸的慣性矩,截面對(duì)z軸

2、的慣性矩,慣性矩與極慣性矩的關(guān)系,截面對(duì)y軸的慣性矩,2.慣性半徑,分別稱(chēng)為圖形對(duì)y、z軸的慣性半徑。,3.常見(jiàn)截面對(duì)形心主軸慣性矩的計(jì)算, 矩形截面,（矩形截面高h(yuǎn) ，寬b ，z軸過(guò)截面形心平行矩形底邊）,,類(lèi)似地：, 圓形截面,（直徑為d ，y、z軸過(guò)圓心）,,,,,類(lèi)似地：, 圓環(huán)截面,（內(nèi)徑為d ，外徑為D ，y、z軸過(guò)圓心）, 組合截面,截面對(duì)軸的慣性矩等于該截面各部分對(duì)同一軸的慣性矩之和。, 型鋼截面,可以查閱有關(guān)工程手冊(cè)（型鋼表）得到。,四、平行移軸定理,截面對(duì)任一坐標(biāo)軸的慣性矩，等于對(duì)與其平行的形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。,類(lèi)似地：,（yC軸過(guò)形心）,例：

3、計(jì)算圖示T 形截面對(duì)其形心軸yC 的慣性矩。,解：確定形心軸的位置，坐標(biāo)系如圖,截面對(duì)形心軸yC的慣性矩,11-3 對(duì)稱(chēng)彎曲正應(yīng)力,在梁的縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)作用一對(duì)等值反向的力偶，梁處于純彎曲狀態(tài)。,一、純彎曲時(shí)的正應(yīng)力,1.變形幾何關(guān)系,實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象,(1)縱向線由直線變成曲線，且ab伸長(zhǎng)、cd縮短。 (2)橫向線仍為直線，且仍垂直于變形后的軸線，但相對(duì) 其原方位有一微小的偏轉(zhuǎn)。,,,平面假設(shè),變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，但繞截面的某一軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)小角度。,中性層：在彎曲變形時(shí)梁中既 不伸長(zhǎng)也不縮短的一層 纖維,中性軸：中性層與橫截面的交線。,由于載荷作用于

4、縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)，故中性軸z與橫截面對(duì)稱(chēng)軸y垂直。,距離中性層為y處的纖維ab變形前長(zhǎng)度,纖維縱向線應(yīng)變?yōu)?距離中性層為y處的纖維ab變形后長(zhǎng)度,變形規(guī)律,設(shè)中性層的曲率半徑為,變形規(guī)律：,2.物理關(guān)系,,,,公式中中性層的曲率半徑未知，其與內(nèi)力、材料、截面的尺寸、形狀有關(guān)。,時(shí),橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律圖,中性軸z必過(guò)截面形心，同時(shí)中性軸z與截面縱向?qū)ΨQ(chēng)軸y垂直，故中性軸位置可確定。y、z軸之交點(diǎn)為形心，x軸即為軸線，且軸線在中性層內(nèi)。,,,,,,,,,3.靜力關(guān)系,(1),,,,,,,,,y、z軸為截面的形心主慣性軸.,(2),,,,,,,,,抗彎剛度：截面抵抗彎曲變形的能力,,(3),純彎曲時(shí)

5、正應(yīng)力計(jì)算公式,,,,橫截面上的彎矩,橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩,所求應(yīng)力的點(diǎn)距中性軸的垂直距離,,,,上述公式適用于任何截面形式的梁發(fā)生平面彎曲的情形。,梁彎曲變形凸出一側(cè)為拉應(yīng)力 凹入一側(cè)為壓應(yīng)力,二、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力,彎曲平面假設(shè)不成立,應(yīng)用時(shí)肯定有誤差，但誤差在允許范圍內(nèi)。 特別是對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，誤差更小。,橫力彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式：,三、最大彎曲正應(yīng)力,同一橫截面上距離中性軸最遠(yuǎn)處正應(yīng)力最大。,,, 矩形截面, 實(shí)心圓截面, 空心圓截面,抗彎截面系數(shù),,例：圖所示懸臂梁，承受的集中力偶M = 20kNm作用。梁采用No.18工字鋼，鋼的彈性模量E = 200GPa。計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲

6、正應(yīng)力與梁軸的曲率半徑。,解：截面的彎矩,查型鋼表,梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力,梁軸的曲率半徑,例：寬度b = 6mm、厚度= 2mm的鋼帶環(huán)繞在直徑D = 1400mm的帶輪上，已知鋼帶的彈性模量為E = 200GPa。試求鋼帶內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力與鋼帶承受的彎矩。,解：鋼帶的變形狀態(tài)同彎曲，其軸線的曲率半徑,橫截面離中性軸最遠(yuǎn)距離,11-4 對(duì)稱(chēng)彎曲切應(yīng)力,一、矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力,,假設(shè) (1)橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力方向平行于剪力. (2)切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。,左右兩個(gè)面上由正應(yīng)力引起的軸力：,頂面有切向力,由切應(yīng)力互等定理, 矩形截面,,切應(yīng)力沿截面高度拋物線分布,,最外緣處切應(yīng)力等于零

7、,中性軸處切應(yīng)力最大,,,,,,二、工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力,1.腹板的切應(yīng)力,,最大切應(yīng)力在中性軸上,腹板內(nèi)切應(yīng)力沿高度拋物線分布,最小切應(yīng)力在腹板與翼緣的交界處,,,,2.翼緣的切應(yīng)力,翼緣部分切應(yīng)力分布復(fù)雜且數(shù)值很小，一般不作計(jì)算，認(rèn)為翼緣主要承受截面的彎矩。,腹板的面積,,腹板厚度 遠(yuǎn)小于翼緣寬度 b 時(shí)， ， ，可認(rèn)為腹板上的切應(yīng)力均勻分布,三、圓形、環(huán)形截面梁的彎曲切應(yīng)力,圓形截面：,環(huán)形截面：,例：圖所示矩形截面懸臂梁承受均布載荷q作用，比較梁的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。,解：梁的最大剪力、最大彎矩為,,,,11-5 梁的彎曲強(qiáng)度條件,一、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件,對(duì)于塑性材料

8、的等直梁：,對(duì)于塑性材料的變截面梁：,對(duì)于脆性材料的梁：,, 確定危險(xiǎn)截面：充分考慮彎矩、截面尺寸 、材料。,, 當(dāng)材料抗拉、抗壓強(qiáng)度不同（如脆性材料）時(shí)，應(yīng)分別進(jìn)行抗拉、抗壓的強(qiáng)度計(jì)算。, 對(duì)于等直梁，當(dāng)中性軸為截面對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，危險(xiǎn)截面在,當(dāng)中性軸不為截面對(duì)稱(chēng)軸時(shí)，,危險(xiǎn)截面在,處；,處（兩個(gè)截面）。,根據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可討論三類(lèi)強(qiáng)度問(wèn)題（強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計(jì)、許可載荷確定）。具體計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：,例：圖示圓截面軸AD，中段BC承受均布載荷q = 10kN/m作用，材料許用應(yīng)力=140MPa。試確定軸徑。,解： 確定支座約束力，作彎矩圖,,, 確定軸徑,AB、CD段最大彎矩,,,,

9、確定AB、CD段軸徑,,,確定BC段軸徑,BC段最大彎矩,例：T 形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖示。鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為 t = 30MPa，抗壓許用應(yīng)力為 c = 160MPa，試校核梁的強(qiáng)度。,解： 求支座約束力，作彎矩圖,解得：,, 截面幾何性質(zhì),形心位置,,截面對(duì)中性軸的慣性矩,, 強(qiáng)度校核,最大拉應(yīng)力校核，B截面上邊緣和C截面下邊緣可能是最大拉應(yīng) 力發(fā)生位置,C截面,B截面,,,,C截面應(yīng) 力分布圖,,B截面應(yīng) 力分布圖,,最大壓應(yīng)力校核，最大壓應(yīng)力發(fā)生在B截面下邊緣各點(diǎn),B截面,所以此梁的強(qiáng)度滿(mǎn)足要求。,B截面應(yīng) 力分布圖,,例：?jiǎn)瘟旱踯?chē)跨度l = 10.5m，由No.45a工字

10、鋼制成，材料的=140MPa 。 試計(jì)算能否起吊F = 85kN的重物； 若不能，則在上下翼緣各焊接一塊10010的鋼板，鋼板長(zhǎng)a = 7m，再校核其強(qiáng)度； 求加固鋼板的經(jīng)濟(jì)安全長(zhǎng)度。,解： 校核未加固梁的強(qiáng)度,當(dāng)小車(chē)位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大,查型鋼表,所以此梁不能起吊F = 85kN的重物。, 校核加固梁的強(qiáng)度,加固處截面強(qiáng)度校核,,,當(dāng)小車(chē)位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大,,未加固處截面強(qiáng)度校核,設(shè)加固鋼板長(zhǎng)度為a，當(dāng)小車(chē)作用在梁中點(diǎn)位置處，未加固截面的最大彎矩,當(dāng)小車(chē)作用在加固鋼板邊緣處，未加固截面的最大彎矩,所以未加固截面的最大彎矩,未加固截面,,,所以加固以后

11、該梁是安全的。, 計(jì)算加固鋼板的經(jīng)濟(jì)安全長(zhǎng)度，設(shè)加固鋼板為x,,,二、彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件,不同截面形式的等直梁，其最大切應(yīng)力計(jì)算公式：,矩形截面：,工字型截面：,圓形截面：,環(huán)形截面：,注意：若為變截面梁，則還要考慮截面尺寸對(duì)最大切應(yīng)力的影響,,一般情況下，梁的強(qiáng)度主要由正應(yīng)力控制，切應(yīng)力一般會(huì)滿(mǎn)足要求，但以下情況必須復(fù)核切應(yīng)力強(qiáng)度：,1.梁的最大彎矩較小，而最大剪力卻很大時(shí)（粗短梁、支座附近有很大集中力作用）。,3.各向異性材料（木梁順紋、組合截面梁膠粘層抗剪強(qiáng)度計(jì)算）。,2.在焊接或鉚接的組合截面鋼梁中，橫截面腹板部分的寬度與梁高之比小于型鋼截面的相應(yīng)比值。,例：圖示起重機(jī)梁用工字鋼制成，

12、已知荷載F = 20kN，并可沿梁軸移動(dòng)，梁的跨度l = 6m，許用正應(yīng)力 = 100MPa，許用切應(yīng)力 = 60MPa。試選擇工字鋼型號(hào)。,解： 按梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件初步選擇工字鋼型號(hào),當(dāng)小車(chē)位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大,查型鋼表選擇No.22a工字鋼,查型鋼表選擇No.22a工字鋼,, 按梁彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件復(fù)核初步選擇的工字鋼型號(hào),當(dāng)小車(chē)位于支座位置時(shí)，在此位置剪力最大,,,所以選擇工字鋼滿(mǎn)足彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。,例：圖示左端嵌固，右端用螺栓聯(lián)結(jié)的懸臂梁，在自由端作用一集中力F。不考慮上下層梁的摩擦，試分析螺栓的受力。,解：螺栓聯(lián)結(jié)后，兩根梁看成一個(gè)整體（高2a

13、，寬b）在F作用下整體彎曲，兩根梁的接觸面相當(dāng)于整個(gè)梁的中性層,各橫截面中性軸處切應(yīng)力,中性層面上切應(yīng)力,中性層面上的剪力,實(shí)際中性層間的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力,中性層面上切應(yīng)力,11-6 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì),一、梁的合理截面形狀,1. 合理的截面形狀應(yīng)該是截面面積較小，抗彎截面系數(shù)較大。, 定量分析,矩形,矩形比方形合理,方形比圓形合理,方形,圓形,,,假設(shè)矩形、方形和圓形的面積相同，即：, 定性分析,Wz 與截面面積對(duì)于中性軸的分布有關(guān)。材料分布越遠(yuǎn)離中性軸，截面的Wz 越大。,梁橫截面上正應(yīng)力沿高度線性分布，中性軸附近正應(yīng)力值很小，該處的材料未發(fā)揮作用，可以將材料移置距中性軸較

14、遠(yuǎn)處，使之充分利用。,2.考慮材料的特性來(lái)選擇截面的合理形狀, 抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料，宜采用中性軸為對(duì)稱(chēng)軸的截面（如矩形、工字形、圓形等）。, 抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料，宜采用中性軸偏向一側(cè)（許用應(yīng)力較小的一側(cè)）的截面，使 y1 和 y2 之比接近于下列關(guān)系,,例：圖示梯形截面承受正彎矩作用。已知材料的許用拉應(yīng)力 t=45MPa，許用壓應(yīng)力 c=80MPa ，為使梁重量最輕，試確定截面的頂邊寬度a 與底邊寬度b 的最佳比值。,解：截面形心距底邊距離是,為使截面合理，滿(mǎn)足下列條件,解得：,二、變截面梁和等強(qiáng)度梁,1.變截面梁,2.等強(qiáng)度梁,,改變截面尺寸，使抗彎截面系數(shù)隨彎矩而變化。,變截

15、面梁各橫截面的最大正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力。,例：圖示集中力F 作用下的簡(jiǎn)支梁，截面為矩形，設(shè)寬度b 不變，設(shè)計(jì)等強(qiáng)度梁。,解：,,,在支座附近，按切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面最小高度,,三、梁的合理受力,1.合理布置梁的支座,2.盡量將載荷分散作用,,,11-7 平面彎曲組合, 斜彎曲,彎矩作用平面與慣性主軸平面不重合的彎曲。,外力都作用在通過(guò)梁軸線的兩個(gè)不同的主軸平面內(nèi),外力作用在通過(guò)軸線的非慣性主軸平面內(nèi),斜彎曲為若干平面彎曲的組合變形,,,一、內(nèi)力與應(yīng)力的計(jì)算,,,xy平面內(nèi)的彎曲，中性軸為z,xz平面內(nèi)的彎曲，中性軸為y,,任意截面x上的內(nèi)力,,,,,( xy平面內(nèi)的彎曲 ),( xz平面內(nèi)的

16、彎曲）,任取截面x上任意點(diǎn)，坐標(biāo)為( y ,z ),,,,,,中性軸方程,,,二、最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件,設(shè)危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)（正應(yīng)力最大點(diǎn)）的坐標(biāo)為( y0 ,z0),,,,,1.矩形截面,,,2.圓截面,,,正應(yīng)力分布規(guī)律同前，離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)應(yīng)力最大。對(duì)于圓形截面兩個(gè)最大正應(yīng)力值的位置不重合在一點(diǎn)，但圓截面對(duì)于任意直徑軸的抗彎截面系數(shù)是一樣的，同時(shí)有一根直徑軸必為截面中性軸，所以截面的最大正應(yīng)力可求出截面的合彎矩后采用上述公式計(jì)算。,,,例：圖所示一矩形截面懸臂梁，截面寬度b = 90mm ，高度h = 180mm ，兩在兩個(gè)不同的截面處分別承受水平力F1和鉛垂力F2。已知F1 = 800N

17、 ，F(xiàn)2 = 1650N ，l = 1m ，求梁內(nèi)的最大正應(yīng)力并指出其作用位置。,解：經(jīng)分析固定端處A 點(diǎn)拉 應(yīng)力最大，B 點(diǎn)壓應(yīng)力最大,,,例：圖示吊車(chē)梁，跨度l = 4m ，用No.20a 工字鋼制成。當(dāng)起吊時(shí)，由于被吊物體位置偏斜，致使載荷偏離梁截面的鉛垂對(duì)稱(chēng)軸。若載荷F = 20kN ，偏斜角=5o，試計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。,,,解：當(dāng)載荷位于梁中點(diǎn)時(shí)，梁截面的彎矩My 、Mz 在中點(diǎn)位置同時(shí)有最大值,,,查型鋼表,,,,,,11-8 彎拉（壓）組合,軸向力與橫向力同時(shí)作用, 拉（壓）與彎曲的組合,不通過(guò)截面形心的縱向力，即偏心拉伸與壓縮,,,一、軸向力與橫向力同時(shí)作用引起的彎拉（

18、壓）組合,1.內(nèi)力與應(yīng)力的計(jì)算,軸向力,橫向力,（對(duì)實(shí)心截面引起切應(yīng)力很小，忽略）,,,,,,,,,2.最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件,軸力為拉力,軸力為壓力,危險(xiǎn)點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)（忽略彎曲切應(yīng)力），強(qiáng)度條件：,,,二、偏心載荷引起的彎拉（壓）組合,1.內(nèi)力與應(yīng)力的計(jì)算,偏心力F 向截面形心平移,,,,,,,,2.最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件, 矩形截面,軸力為拉力,,,軸力為壓力,危險(xiǎn)點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)，強(qiáng)度條件：,,,例：小型壓力機(jī)的鑄鐵框架如圖，已知材料的許用拉應(yīng)力t = 30MPa ，許用壓應(yīng)力c = 160MPa 。試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的最大許用壓力F 。,解： 計(jì)算截面的幾何性質(zhì),,,,,, 求截

19、面內(nèi)力,由平衡條件可得截面的軸力和彎矩分別為, 求截面最大拉、壓應(yīng)力，以抗拉、壓強(qiáng)度條件求最大許用壓力,解得：,解得：,所以壓力機(jī)的最大許用壓力 F = 45.1kN 。,,,例：圖示梁承受集中載荷F 作用，已知載荷F = 10kN ，梁長(zhǎng)l = 2m ，載荷作用點(diǎn)與梁軸的距離e = l / 10 ，方位角=30o ，許用應(yīng)力=160MPa 。試選擇合適的工字鋼型號(hào)。,解： 計(jì)算簡(jiǎn)圖確定,,,,軸向拉伸,xy 平面內(nèi)彎曲,,,,,, 作各變形對(duì)應(yīng)的內(nèi)力圖,由內(nèi)力圖及強(qiáng)度公式可判斷A 截面為危險(xiǎn)截面,FN 圖,M 圖,,, 根據(jù)彎曲強(qiáng)度條件初步選擇工字鋼型號(hào),查型鋼表初步選擇No.12.6 工字鋼,按彎拉組合受力校核強(qiáng)度,所以選擇No.12.6 工字鋼滿(mǎn)足強(qiáng)度要求。,例：?jiǎn)伪垡簤簷C(jī)機(jī)架的橫截面尺寸如圖，計(jì)算該截面對(duì)形心軸yC的慣性矩。,解：確定形心軸的位置，坐標(biāo)系如圖,截面對(duì)形心軸yC的慣性矩,