2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練專題18二次函數(shù)函數(shù)綜合題含解析
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1、專題18 二次函數(shù)綜合題 考點(diǎn)分析 【例1】(2019·遼寧中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=﹣x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于B點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點(diǎn),在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DC⊥x軸于點(diǎn)C,交直線AB于點(diǎn)E. (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式 (2)是否存在點(diǎn)D,使得△BDE和△ACE相似?若存在,請求出點(diǎn)D的坐標(biāo),若不存在,請說明理由; (3)如圖2,F(xiàn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)D重合),點(diǎn)G是線段AB上的動點(diǎn).連接DF,F(xiàn)G,當(dāng)四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時,請直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo). 【答案】(1)y
2、=﹣x2+x+3;(2)存在.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,3)或(,);(3)G(,). 【解析】 解:(1)在中,令,得,令,得, ,, 將,分別代入拋物線中,得:,解得:, 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:. (2)存在.如圖1,過點(diǎn)作于,設(shè),則,,; ,,,, 和相似, 或 ①當(dāng)時,, ,即: ,解得:(舍去),(舍去),, , ②當(dāng)時, , ,即: ,解得:(舍,(舍,, ,; 綜上所述,點(diǎn)的坐標(biāo)為,或,; (3)如圖3,四邊形是平行四邊形 , 設(shè),,,, 則:,, ,即:, ,即: 過點(diǎn)作于,則 ,即: ,即: 周長 , 當(dāng)時,周長最大
3、值, ,. 【點(diǎn)睛】 此題考查二次函數(shù)綜合題,綜合難度較大,解答關(guān)鍵在于結(jié)合函數(shù)圖形進(jìn)行計算,再利用待定系數(shù)法求解析式,配合輔助線利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答. 【例2】(2019·山東中考模擬)如圖,已知直線AB經(jīng)過點(diǎn)(0,4),與拋物線y=x2交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是. (1)求這條直線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo). (2)在x軸上是否存在點(diǎn)C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),若不存在請說明理由. (3)過線段AB上一點(diǎn)P,作PM∥x軸,交拋物線于點(diǎn)M,點(diǎn)M在第一象限,點(diǎn)N(0,1),當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時,MN+3MP的長度最大?最大值是
4、多少? 【答案】(1)直線y=x+4,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,16);(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣,0),(0,0),(6,0),(32,0);(3)當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時,MN+3PM的長度的最大值是18. 【解析】 (1)∵點(diǎn)A是直線與拋物線的交點(diǎn),且橫坐標(biāo)為-2, ,A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1), 設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b, 將(0,4),(-2,1)代入得 解得 ∴y=x+4 ∵直線與拋物線相交, 解得:x=-2或x=8, 當(dāng)x=8時,y=16, ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,16); (2)存在. ∵由A(-2,1),B(8,16)可求得AB2==325 .設(shè)點(diǎn)C(
5、m,0), 同理可得AC2=(m+2)2+12=m2+4m+5, BC2=(m-8)2+162=m2-16m+320, ①若∠BAC=90°,則AB2+AC2=BC2,即325+m2+4m+5=m2-16m+320,解得m=-; ②若∠ACB=90°,則AB2=AC2+BC2,即325=m2+4m+5+m2-16m+320,解得m=0或m=6; ③若∠ABC=90°,則AB2+BC2=AC2,即m2+4m+5=m2-16m+320+325,解得m=32, ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-,0),(0,0),(6,0),(32,0) (3)設(shè)M(a,a2), 則MN=, 又∵點(diǎn)
6、P與點(diǎn)M縱坐標(biāo)相同, ∴x+4=a2, ∴x= , ∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為, ∴MP=a-, ∴MN+3PM=a2+1+3(a-)=-a2+3a+9=- (a-6)2+18, ∵-2≤6≤8, ∴當(dāng)a=6時,取最大值18, ∴當(dāng)M的橫坐標(biāo)為6時,MN+3PM的長度的最大值是18 考點(diǎn)集訓(xùn) 1.(2019·湖南中考真題)已知拋物線過點(diǎn),兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,. (1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo); (2)過點(diǎn)A作,垂足為M,求證:四邊形ADBM為正方形; (3)點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動點(diǎn),當(dāng)面積最大時,求點(diǎn)P的坐標(biāo); (4)若點(diǎn)Q為線段O
7、C上的一動點(diǎn),問:是否存在最小值?若存在,求岀這個最小值;若不存在,請說明理由. 【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為:,頂點(diǎn);(2)證明見解析;(3)點(diǎn);(4)存在,的最小值為. 【解析】 (1)函數(shù)的表達(dá)式為:, 即:,解得:, 故拋物線的表達(dá)式為:, 則頂點(diǎn); (2),, ∵A(1,0),B(3,0),∴ OB=3,OA=1, ∴AB=2, ∴, 又∵D(2,-1), ∴AD=BD=, ∴AM=MB=AD=BD, ∴四邊形ADBM為菱形, 又∵, 菱形ADBM為正方形; (3)設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n, 將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得:, 解得:,
8、 所以直線BC的表達(dá)式為:y=-x+3, 過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)N, 設(shè)點(diǎn),則點(diǎn)N, 則, ,故有最大值,此時, 故點(diǎn); (4)存在,理由: 如圖,過點(diǎn)C作與y軸夾角為的直線CF交x軸于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作,垂足為H,交y軸于點(diǎn)Q, 此時, 則最小值, 在Rt△COF中,∠COF=90°,∠FOC=30°,OC=3,tan∠FCO=, ∴OF=, ∴F(-,0), 利用待定系數(shù)法可求得直線HC的表達(dá)式為:…①, ∵∠COF=90°,∠FOC=30°, ∴∠CFO=90°-30°=60°, ∵∠AHF=90°, ∴∠FAH=90°-60°=30°, ∴OQ
9、=AO?tan∠FAQ=, ∴Q(0,), 利用待定系數(shù)法可求得直線AH的表達(dá)式為:…②, 聯(lián)立①②并解得:, 故點(diǎn),而點(diǎn), 則, 即的最小值為. 【點(diǎn)睛】 本題考查了二次函數(shù)的綜合題,涉及了待定系數(shù)法,解直角三角形的應(yīng)用,正方形的判定,最值問題等,綜合性較強(qiáng),有一定的難度,正確把握相關(guān)知識,會添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵. 2.(2019·遼寧中考模擬)如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(0,3)、B(1,0),其對稱軸為直線l:x=2,過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C,∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn),設(shè)其橫坐標(biāo)為m.
10、(1)求拋物線的解析式; (2)若動點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上,連結(jié)PE、PO,當(dāng)m為何值時,四邊形AOPE面積最大,并求出其最大值; (3)如圖②,F(xiàn)是拋物線的對稱軸l上的一點(diǎn),在拋物線上是否存在點(diǎn)P使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【答案】(1)y=x2-4x+3.(2)當(dāng)m=時,四邊形AOPE面積最大,最大值為.(3)P點(diǎn)的坐標(biāo)為 :P1(,),P2(,),P3(,),P4(,). 【解析】 (1)如圖1,設(shè)拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為D, 由對稱性得:D(3,0), 設(shè)拋
11、物線的解析式為:y=a(x-1)(x-3), 把A(0,3)代入得:3=3a, a=1, ∴拋物線的解析式;y=x2-4x+3; (2)如圖2,設(shè)P(m,m2-4m+3), ∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°, ∴∠AOE=45°, ∴△AOE是等腰直角三角形, ∴AE=OA=3, ∴E(3,3), 易得OE的解析式為:y=x, 過P作PG∥y軸,交OE于點(diǎn)G, ∴G(m,m), ∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3, ∴S四邊形AOPE=S△AOE+S△POE, =×3×3+PG?AE, =+×3×(-m2+5m-3), =-m2+m,
12、=(m-)2+, ∵-<0, ∴當(dāng)m=時,S有最大值是; (3)如圖3,過P作MN⊥y軸,交y軸于M,交l于N, ∵△OPF是等腰直角三角形,且OP=PF, 易得△OMP≌△PNF, ∴OM=PN, ∵P(m,m2-4m+3), 則-m2+4m-3=2-m, 解得:m=或, ∴P的坐標(biāo)為(,)或(,); 如圖4,過P作MN⊥x軸于N,過F作FM⊥MN于M, 同理得△ONP≌△PMF, ∴PN=FM, 則-m2+4m-3=m-2, 解得:x=或; P的坐標(biāo)為(,)或(,); 綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)是:(,)或(,)或(,)或(,). 點(diǎn)睛:本題屬于二次函
13、數(shù)綜合題,主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程的方法,解第(2)問時需要運(yùn)用配方法,解第(3)問時需要運(yùn)用分類討論思想和方程的思想解決問題. 3.(2019·四川中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與直線都經(jīng)過、兩點(diǎn),該拋物線的頂點(diǎn)為C. (1)求此拋物線和直線的解析式; (2)設(shè)直線與該拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E,在射線上是否存在一點(diǎn)M,過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N,使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點(diǎn)?若存在,求點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由; (3)設(shè)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動點(diǎn),當(dāng)面積最大時,求點(diǎn)P的坐標(biāo),并求面積的最大值.
14、 【答案】(1)拋物線的解析式為,直線的解析式為,(2)或.(3)當(dāng)時,面積的最大值是,此時P點(diǎn)坐標(biāo)為. 【解析】 解:(1)∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn), ∴, ∴, ∴拋物線的解析式為, ∵直線經(jīng)過、兩點(diǎn), ∴,解得:, ∴直線的解析式為, (2)∵, ∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為, ∵軸, ∴, ∴, ①如圖,若點(diǎn)M在x軸下方,四邊形為平行四邊形,則, 設(shè),則, ∴, ∴, 解得:,(舍去), ∴, ②如圖,若點(diǎn)M在x軸上方,四邊形為平行四邊形,則, 設(shè),則, ∴, ∴, 解得:,(舍去), ∴, 綜合可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為或. (3)如圖,作
15、軸交直線于點(diǎn)G, 設(shè),則, ∴, ∴, ∴當(dāng)時,面積的最大值是,此時P點(diǎn)坐標(biāo)為. 【點(diǎn)睛】 本題是二次函數(shù)綜合題,考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,二次函數(shù)求最值問題,以及二次函數(shù)與平行四邊形、三角形面積有關(guān)的問題. 4.(2019·內(nèi)蒙古中考真題)已知,如圖,拋物線的頂點(diǎn)為,經(jīng)過拋物線上的兩點(diǎn)和的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn). (1)求拋物線的解析式和直線的解析式. (2)在拋物線上兩點(diǎn)之間的部分(不包含兩點(diǎn)),是否存在點(diǎn),使得?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. (3)若點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)在軸上,當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時,直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
16、 【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為:,直線的表達(dá)式為:;(2)存在,理由見解析;點(diǎn)或或或. 【解析】 解:(1)二次函數(shù)表達(dá)式為:, 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式并解得:, 故拋物線的表達(dá)式為:…①, 則點(diǎn), 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得: 直線的表達(dá)式為:; (2)存在,理由: 二次函數(shù)對稱軸為:,則點(diǎn), 過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn), 設(shè)點(diǎn),點(diǎn), ∵, 則, 解得:或5(舍去5), 故點(diǎn); (3)設(shè)點(diǎn)、點(diǎn),, ①當(dāng)是平行四邊形的一條邊時, 點(diǎn)向左平移4個單位向下平移16個單位得到, 同理,點(diǎn)向左平移4個單位向下平移16個單位為,即為點(diǎn), 即:,,而, 解得
17、:或﹣4, 故點(diǎn)或; ②當(dāng)是平行四邊形的對角線時, 由中點(diǎn)公式得:,,而, 解得:, 故點(diǎn)或; 綜上,點(diǎn)或或或. 【點(diǎn)睛】 本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計算等,其中(3),要注意分類求解,避免遺漏. 5.(2019·青海中考真題)如圖1(注:與圖2完全相同),在直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點(diǎn)三點(diǎn),,. (1)求拋物線的解析式和對稱軸; (2)是拋物線對稱軸上的一點(diǎn),求滿足的值為最小的點(diǎn)坐標(biāo)(請在圖1中探索); (3)在第四象限的拋物線上是否存在點(diǎn),使四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形?若存在,請求出點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請說明理
18、由.(請在圖2中探索) 【答案】(1),函數(shù)的對稱軸為:;(2)點(diǎn);(3)存在,點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 【解析】 解:根據(jù)點(diǎn),的坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為:, ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn), 則,解得:, 拋物線的表達(dá)式為: , 函數(shù)的對稱軸為:; 連接交對稱軸于點(diǎn),此時的值為最小, 設(shè)BC的解析式為:, 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:得: 解得: 直線的表達(dá)式為:, 當(dāng)時,, 故點(diǎn); 存在,理由: 四邊形是以為對角線且面積為的平行四邊形, 則 , 點(diǎn)在第四象限,故:則, 將該坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得: , 解得:或, 故點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 【點(diǎn)睛】 本題考查二次函數(shù)綜
19、合運(yùn)用,涉及到一次函數(shù)、平行四邊形性質(zhì)、圖形的面積計算等,其中,求線段和的最小值,采取用的是點(diǎn)的對稱性求解,這也是此類題目的一般解法. 6.(2019·遼寧中考模擬)如圖,拋物線(a≠0)交x軸于A、B兩點(diǎn),A點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),以O(shè)C、OA為邊作矩形OADC交拋物線于點(diǎn)G. (1)求拋物線的解析式; (2)拋物線的對稱軸l在邊OA(不包括O、A兩點(diǎn))上平行移動,分別交x軸于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)P,若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,請用含m的代數(shù)式表示PM的長; (3)在(2)的條件下,連結(jié)PC,則在CD上方的拋物線部分是否存在這樣的點(diǎn)P,使得
20、以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似?若存在,求出此時m的值,并直接判斷△PCM的形狀;若不存在,請說明理由. 【答案】(1)拋物線的解析式為;(2)PM=(0<m<3);(3)存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似.此時m的值為或1,△PCM為直角三角形或等腰三角形. 【解析】 解:(1)∵拋物線(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(0,4), ∴,解得. ∴拋物線的解析式為. (2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b, ∵A(3,0),點(diǎn)C(0,4), ∴,解得. ∴直線AC的解析式為. ∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,點(diǎn)M在AC上, ∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,). ∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為
21、m,點(diǎn)P在拋物線上, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,). ∴PM=PE-ME=()-()=. ∴PM=(0<m<3). (3)在(2)的條件下,連接PC,在CD上方的拋物線部分存在這樣的點(diǎn)P,使得以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似.理由如下: 由題意,可得AE=3﹣m,EM=,CF=m,PF==, 若以P、C、F為頂點(diǎn)的三角形和△AEM相似,分兩種情況: ①若△PFC∽△AEM,則PF:AE=FC:EM,即():(3-m)=m:(), ∵m≠0且m≠3,∴m=. ∵△PFC∽△AEM,∴∠PCF=∠AME. ∵∠AME=∠CMF,∴∠PCF=∠CMF. 在直角△CMF中,∵∠
22、CMF+∠MCF=90°,∴∠PCF+∠MCF=90°,即∠PCM=90°. ∴△PCM為直角三角形. ②若△CFP∽△AEM,則CF:AE=PF:EM,即m:(3-m)=():(), ∵m≠0且m≠3,∴m=1. ∵△CFP∽△AEM,∴∠CPF=∠AME. ∵∠AME=∠CMF,∴∠CPF=∠CMF.∴CP=CM. ∴△PCM為等腰三角形. 綜上所述,存在這樣的點(diǎn)P使△PFC與△AEM相似.此時m的值為或1,△PCM為直角三角形或等腰三角形. 7.(2019·貴州中考真題)如圖,拋物線C1:y=x2﹣2x與拋物線C2:y=ax2+bx開口大小相同、方向相反,它們相交于O,C
23、兩點(diǎn),且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)A,OA=2OB. (1)求拋物線C2的解析式; (2)在拋物線C2的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使PA+PC的值最小?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,說明理由; (3)M是直線OC上方拋物線C2上的一個動點(diǎn),連接MO,MC,M運(yùn)動到什么位置時,△MOC面積最大?并求出最大面積. 【答案】(1)y=﹣x2+4x;(2)線段AC′的長度;(3)S△MOC最大值為. 【解析】 (1)令:y=x2﹣2x=0,則x=0或2,即點(diǎn)B(2,0), ∵C1、C2:y=ax2+bx開口大小相同、方向相反,則a=﹣1, 則點(diǎn)A(4,0),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入C2
24、的表達(dá)式得: 0=﹣16+4b,解得:b=4, 故拋物線C2的解析式為:y=﹣x2+4x; (2)聯(lián)立C1、C2表達(dá)式并解得:x=0或3, 故點(diǎn)C(3,3), 作點(diǎn)C關(guān)于C1對稱軸的對稱點(diǎn)C′(﹣1,3), 連接AC′交函數(shù)C2的對稱軸與點(diǎn)P, 此時PA+PC的值最小為:線段AC′的長度; (3)直線OC的表達(dá)式為:y=x, 過點(diǎn)M作y軸的平行線交OC于點(diǎn)H, 設(shè)點(diǎn)M(x,﹣x2+4x),則點(diǎn)H(x,x), 則S△MOCMH×xC(﹣x2+4x﹣x)x2, ∵0,故x, S△MOC最大值為. 【點(diǎn)睛】 本題考查了待定系數(shù)法求解析式,還考查了三角形的面積,要
25、注意將三角形分解成兩個三角形求解;還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù). 8.(2019·山東中考真題)若二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)、,且過點(diǎn). (1)求二次函數(shù)表達(dá)式; (2)若點(diǎn)為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn),且,求點(diǎn)的坐標(biāo); (3)在拋物線上(下方)是否存在點(diǎn),使?若存在,求出點(diǎn)到軸的距離;若不存在,請說明理由. 【答案】(l) ;(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為;(3)點(diǎn)到軸的距離為 . 【解析】 (l)因為拋物線過點(diǎn),∴, 又因為拋物線過點(diǎn), ∴ 解,得 所以,拋物線表達(dá)式為 (2)連接,設(shè)點(diǎn). 則 由題意得 ∴或(舍) ∴ ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.
26、 (3)設(shè)直線的表達(dá)式為,因直線過點(diǎn)、 , ∴ 解,得 所以的表達(dá)式為 設(shè)存在點(diǎn)滿足題意,點(diǎn)的坐標(biāo)為,過點(diǎn)作軸,垂足為,作軸交于點(diǎn),則的坐標(biāo)為,,. 又軸 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴. 在中 解得: 所以點(diǎn)到軸的距離為 【點(diǎn)睛】 本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合性問題,難度系數(shù)高,但是是中考的必考知識點(diǎn),應(yīng)當(dāng)熟練地掌握. 9.(2019·江蘇中考模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)交軸于點(diǎn)、,交軸于點(diǎn),在軸上有一點(diǎn),連接. (1)求二次函數(shù)的表達(dá)式; (2)若點(diǎn)為拋物線在軸負(fù)半軸上方的一個動點(diǎn),求面積的最大值; (3)拋物線對稱
27、軸上是否存在點(diǎn),使為等腰三角形,若存在,請直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在請說明理由. 【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為;(2)當(dāng)時,的面積取得最大值;(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,. 【解析】 (1)∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣4,0)、B(2,0),C(0,6), ∴, 解得:, 所以二次函數(shù)的解析式為:y=; (2)由A(﹣4,0),E(0,﹣2),可求AE所在直線解析式為y=, 過點(diǎn)D作DN⊥x軸,交AE于點(diǎn)F,交x軸于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EH⊥DF,垂足為H,如圖, 設(shè)D(m,),則點(diǎn)F(m,), ∴DF=﹣()=, ∴S△ADE=S△ADF+S
28、△EDF=×DF×AG+DF×EH =×DF×AG+×DF×EH =×4×DF =2×() =, ∴當(dāng)m=時,△ADE的面積取得最大值為. (3)y=的對稱軸為x=﹣1,設(shè)P(﹣1,n),又E(0,﹣2),A(﹣4,0),可求PA=,PE=,AE=,分三種情況討論: 當(dāng)PA=PE時,=,解得:n=1,此時P(﹣1,1); 當(dāng)PA=AE時,=,解得:n=,此時點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1,); 當(dāng)PE=AE時,=,解得:n=﹣2,此時點(diǎn)P坐標(biāo)為:(﹣1,﹣2). 綜上所述:P點(diǎn)的坐標(biāo)為:(﹣1,1),(﹣1,),(﹣1,﹣2
29、). 點(diǎn)睛:本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題,會求拋物線解析式,會運(yùn)用二次函數(shù)分析三角形面積的最大值,會分類討論解決等腰三角形的頂點(diǎn)的存在問題時解決此題的關(guān)鍵. 10.(2019·四川中考真題)如圖,頂點(diǎn)為的二次函數(shù)圖象與x軸交于點(diǎn),點(diǎn)B在該圖象上,交其對稱軸l于點(diǎn)M,點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱,連接、. (1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式. (2)若點(diǎn)B在對稱軸l右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運(yùn)動,請解答下列問題: ①連接,當(dāng)時,請判斷的形狀,并求出此時點(diǎn)B的坐標(biāo). ②求證:. 【答案】(1)二次函數(shù)的關(guān)系式為;(2)①是等腰直角三角形,此時點(diǎn)B坐標(biāo)為;②見解析 【解析】 解:(1)∵二次函數(shù)頂
30、點(diǎn)為 ∴設(shè)頂點(diǎn)式 ∵二次函數(shù)圖象過點(diǎn) ∴,解得: ∴二次函數(shù)的關(guān)系式為 (2)設(shè) ∴直線解析式為: ∵交對稱軸l于點(diǎn)M ∴當(dāng)時, ∴ ∵點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱 ∴, ∴,即 ①∵ ∴ ∴ 解得: ∴ ∴, ∴,,B ∴, ∴是等腰直角三角形,此時點(diǎn)B坐標(biāo)為. ②證明:如圖,設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)D ∵、 設(shè)直線解析式為 ∴ 解得: ∴直線: 當(dāng)時,,解得: ∴ ∵,軸 ∴垂直平分 ∴ ∴ 【點(diǎn)睛】 本題考查二次函數(shù)綜合,解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式,再由題意得到等式進(jìn)行計算. 11.(2019·山西中考真題)綜合與探究
31、 如圖,拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線上一個動點(diǎn),設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為.連接AC,BC,DB,DC, (1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式; (2)△BCD的面積等于△AOC的面積的時,求的值; (3)在(2)的條件下,若點(diǎn)M是軸上的一個動點(diǎn),點(diǎn)N是拋物線上一動點(diǎn),試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【答案】(1);(2)3;(3). 【解析】 (1)拋物線經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0), ∴, 解得, ∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為; (2)作直線
32、DE⊥軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)G,作CF⊥DE,垂足為F, ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),∴OA=2, 由,得,∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6),∴OC=6, ∴S△OAC=, ∵S△BCD=S△AOC, ∴S△BCD =, 設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為, 由B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得,解得, ∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為, ∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為, ∴, ∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),∴OB=4, ∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=, ∴S△BCD =, ∴, 解得(舍),, ∴的值為3; (3)存在,如下圖所示,以BD為邊或者以BD為對角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖, 以BD為邊時,有3種情況
33、, ∵D點(diǎn)坐標(biāo)為,∴點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為±, 當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時,如點(diǎn)N2, 此時,解得:(舍), ∴,∴; 當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為時,如點(diǎn)N3,N4, 此時,解得: ∴,, ∴,; 以BD為對角線時,有1種情況,此時N1點(diǎn)與N2點(diǎn)重合, ∵,D(3,), ∴N1D=4, ∴BM1=N1D=4, ∴OM1=OB+BM1=8, ∴M1(8,0), 綜上,點(diǎn)M的坐標(biāo)為:. 【點(diǎn)睛】 本題考查的是二次函數(shù)的綜合題,涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)等知識,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想,熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵. 1
34、2.(2019·四川中考真題)如圖,拋物線過點(diǎn),且與直線交于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為. (1)求拋物線的解析式; (2)點(diǎn)D為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn),過點(diǎn)D作軸交直線于點(diǎn)E,點(diǎn)P為對稱軸上一動點(diǎn),當(dāng)線段的長度最大時,求的最小值; (3)設(shè)點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn),在y軸上是否存在點(diǎn)Q,使?若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 【答案】(1)拋物線的解析式;(2)的最小值為;(3)點(diǎn)Q的坐標(biāo):、. 【解析】 解:(1)將點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入, , ∴B的坐標(biāo)為, 將,代入, 解得,, ∴拋物線的解析式; (2)設(shè),則, , ∴當(dāng)時,有最大值為2, 此時,
35、 作點(diǎn)A關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn),連接,與對稱軸交于點(diǎn)P. ,此時最小, ∵, ∴, , 即的最小值為; (3)作軸于點(diǎn)H,連接、、、、, ∵拋物線的解析式, ∴, ∵, ∴, ∵, , ∴, 可知外接圓的圓心為H, ∴ 設(shè), 則, 或 ∴符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo):、. 【點(diǎn)睛】 本題考查了二次函數(shù),熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵. 13.(2019·湖南中考真題)如圖,拋物線與x軸交于點(diǎn),點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且過點(diǎn).點(diǎn)P、Q是拋物線上的動點(diǎn). (1)求拋物線的解析式; (2)當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時,求面
36、積的最大值. (3)直線OQ與線段BC相交于點(diǎn)E,當(dāng)與相似時,求點(diǎn)Q的坐標(biāo). 【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為:;(2)有最大值,當(dāng)時,其最大值為;(3)點(diǎn)或. 【解析】 解:(1)函數(shù)的表達(dá)式為:,將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得:, 故拋物線的表達(dá)式為:…①; (2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn), 將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:并解得: 直線PD的表達(dá)式為:,則, , ∵,故有最大值,當(dāng)時,其最大值為; (3)∵,∴, ∵,故與相似時,分為兩種情況: ①當(dāng)時, ,,, 過點(diǎn)A作AH⊥BC與點(diǎn)H, ,解得:, 則,則, 則直線OQ的表達(dá)式為:…②
37、, 聯(lián)立①②并解得:(舍去負(fù)值), 故點(diǎn) ②時, , 則直線OQ的表達(dá)式為:…③, 聯(lián)立①③并解得:, 故點(diǎn); 綜上,點(diǎn)或. 【點(diǎn)睛】 本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用,涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計算等,其中(3),要注意分類求解,避免遺漏. 14.(2019·山東中考模擬)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個動點(diǎn). (1)求拋物線的解析式; (2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,△PAB的面積有最大值? (3)過點(diǎn)P作x軸的垂線,交線段AB于點(diǎn)D,再過點(diǎn)P做PE∥x軸交
38、拋物線于點(diǎn)E,連結(jié)DE,請問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由. 【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6;(2)當(dāng)t=3時,△PAB的面積有最大值;(3)點(diǎn)P(4,6). 【解析】 (1)∵拋物線過點(diǎn)B(6,0)、C(﹣2,0), ∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣6)(x+2), 將點(diǎn)A(0,6)代入,得:﹣12a=6, 解得:a=﹣, 所以拋物線解析式為y=﹣(x﹣6)(x+2)=﹣x2+2x+6; (2)如圖1,過點(diǎn)P作PM⊥OB與點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N,作AG⊥PM于點(diǎn)G, 設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,
39、將點(diǎn)A(0,6)、B(6,0)代入,得: , 解得:, 則直線AB解析式為y=﹣x+6, 設(shè)P(t,﹣t2+2t+6)其中0<t<6, 則N(t,﹣t+6), ∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t, ∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN?AG+PN?BM =PN?(AG+BM) =PN?OB =×(﹣t2+3t)×6 =﹣t2+9t =﹣(t﹣3)2+, ∴當(dāng)t=3時,△PAB的面積有最大值; (3)△PDE為等腰直角三角形, 則PE=PD, 點(diǎn)P(m,-m2+2m+6), 函數(shù)的對稱軸為:x=2,則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為:4-m, 則PE=|2m-4|, 即-m2+2m+6+m-6=|2m-4|, 解得:m=4或-2或5+或5-(舍去-2和5+) 故點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(4,6)或(5-,3-5). 【點(diǎn)睛】 本題考查了二次函數(shù)的綜合問題,涉及到待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等,熟練掌握和靈活運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵.
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