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1、專題03 不等式(組)
必考點(diǎn)1 不等式的基本性質(zhì)
①不等式的兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子,不等號(hào)的方向不變,
即:若a>b,那么a±m(xù)>b±m(xù);
?②不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,
即:若a>b,且m>0,那么am>bm或am>bm;
?③不等式的兩邊同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變,
即:若a>b,且m<0,那么am<bm或am<bm;
【典例1】(2019·四川中考真題)若,下列不等式不一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解:A、不等式的兩邊都加3,不等
2、號(hào)的方向不變,故A錯(cuò)誤;
B、不等式的兩邊都乘以﹣3,不等號(hào)的方向改變,故B錯(cuò)誤;
C、不等式的兩邊都除以3,不等號(hào)的方向不變,故C錯(cuò)誤;
D、如;故D正確;
故選:D.
【點(diǎn)睛】
主要考查了不等式的基本性質(zhì),“0”是很特殊的一個(gè)數(shù),因此,解答不等式的問(wèn)題時(shí),應(yīng)密切關(guān)注“0”存在與否,以防掉進(jìn)“0”的陷阱.
【舉一反三】
1.(2019·廣西中考真題)如果,那么下列不等式成立的是( ?。?
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
解:∵,
∴,
∵,
∴,
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題考查不等式的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用不等式的性質(zhì),本題屬于中等題型.
3、
必考點(diǎn)2 一元一次不等式的解
【典例2】(2019·四川中考真題)關(guān)于的不等式只有2個(gè)正整數(shù)解,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解不等式2x+a≤1得:,
不等式有兩個(gè)正整數(shù)解,一定是1和2,
根據(jù)題意得:
解得:-5<a≤-3.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了不等式的整數(shù)解,正確解不等式,求出解集是解答本題的關(guān)鍵.解不等式應(yīng)根據(jù)不等式的基本性質(zhì).
【舉一反三】
1.(2019·內(nèi)蒙古中考真題)若不等式的解集中的每一個(gè)值,都能使關(guān)于的不等式成立,則的取值范圍是( ?。?
A. B. C. D.
【答案】C
【解
4、析】
解:解不等式得:,
不等式的解集中的每一個(gè)值,都能使關(guān)于的不等式成立,
,
,
解得:,
故選:.
【點(diǎn)睛】
本題主要對(duì)解一元一次不等式組,不等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能根據(jù)已知得到關(guān)于m的不等式是解此題的關(guān)鍵.
必考點(diǎn)3 一元一次不等式的應(yīng)用
(1)由實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系列出不等式,建立解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,通過(guò)解不等式可以得到實(shí)際問(wèn)題的答案.
(2)列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低于”等詞來(lái)體現(xiàn)問(wèn)題中的不等關(guān)系.因此,建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.
(3)列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟:
①弄清題中數(shù)量
5、關(guān)系,用字母表示未知數(shù).
②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式.
③解不等式,求出解集.
④寫出符合題意的解
【典例3】(2019·重慶中考真題)某次知識(shí)競(jìng)賽共有20題,答對(duì)一題得10分,答錯(cuò)或不答扣5分,小華得分要超過(guò)120分,他至少要答對(duì)的題的個(gè)數(shù)為( )
A.13 B.14 C.15 D.16
【答案】C
【解析】
解:設(shè)要答對(duì)x道.
,
,
,
解得:,
根據(jù)x必須為整數(shù),故x取最小整數(shù)15,即小華參加本次競(jìng)賽得分要超過(guò)120分,他至少要答對(duì)15道題.
故選:C.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用,得到得分的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵.
必考點(diǎn)
6、4 一元一次不等式組的解
【典例4】(2019·江西中考模擬)已知不等式組其解集在數(shù)軸上表示正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
解一元一次不等式組,先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集,再利用口訣求出這些解集的公共部分:同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小解不了(無(wú)解).因此,
.
不等式組的解集在數(shù)軸上表示的方法:把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)(>,≥向右畫(huà);<,≤向左畫(huà)),數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段,如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣,那么這段就是不等式組的解集.有幾個(gè)就要幾個(gè).在表示解集時(shí)“≥”,“≤”要用實(shí)心圓
7、點(diǎn)表示;“<”,“>”要用空心圓點(diǎn)表示.故選D.
【舉一反三】
1.(2019·云南中考真題)若關(guān)于x的不等式組的解集為x>a,則a的取值范圍是( )
A.a(chǎn)<2 B.a(chǎn)≤2 C.a(chǎn)>2 D.a(chǎn)≥2
【答案】D
【解析】
,
由①得,
由②得,
又不等式組的解集是x>a,
根據(jù)同大取大的求解集的原則,∴,
當(dāng)時(shí),也滿足不等式的解集為,
∴,故選D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元一次不等式組,不等式組的解集,熟練掌握不等式組解集的確定方法“同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小無(wú)解了”是解題的關(guān)鍵.
2. (2019·湖南中考真題)若關(guān)于x的不等式組有解,
8、則在其解集中,整數(shù)的個(gè)數(shù)不可能是( ?。?
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】
解不等式2x﹣6+m<0,得:x,
解不等式4x﹣m>0,得:x,
∵不等式組有解,
∴,
解得m<4,
如果m=2,則不等式組的解集為m<2,整數(shù)解為x=1,有1個(gè);
如果m=0,則不等式組的解集為0<m<3,整數(shù)解為x=1,2,有2個(gè);
如果m=﹣1,則不等式組的解集為m,整數(shù)解為x=0,1,2,3,有4個(gè);
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是解一元一次不等式組,正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ),熟知“同大取大;同小取??;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題
9、的關(guān)鍵.
(2019·山東中考真題)若不等式組無(wú)解,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
解不等式,得:x>8,
∵不等式組無(wú)解,
∴4m≤8,
解得m≤2,
故選A.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是解一元一次不等式組,正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ),熟知“同大取大;同小取??;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.
必考點(diǎn)5 不等式組的應(yīng)用
【典例5】(2019·貴州中考真題)某校計(jì)劃組織240名師生到紅色教育基地開(kāi)展革命傳統(tǒng)教育活動(dòng).旅游公司有A,B兩種客車可供租用,A型客車每輛載客量45人,B型客車每輛載客量30人.若租用
10、4輛A型客車和3輛B型客車共需費(fèi)用10700元;若租用3輛A型客車和4輛B型客車共需費(fèi)用10300元.
(1)求租用A,B兩型客車,每輛費(fèi)用分別是多少元;
(2)為使240名師生有車坐,且租車總費(fèi)用不超過(guò)1萬(wàn)元,你有哪幾種租車方案?哪種方案最省錢?
【答案】(1)租用A,B兩型客車,每輛費(fèi)用分別是1700元、1300元;(2)共有三種租車方案,方案一:租用A型客車2輛,B型客車5輛,費(fèi)用為9900元,方案二:租用A型客車4輛,B型客車2輛,費(fèi)用為9400元,方案三:租用A型客車5輛,B型客車1輛,費(fèi)用為9800元,方案二:租用A型客車4輛,B型客車2輛最省錢.
【解析】
(1)設(shè)租用
11、A,B兩型客車,每輛費(fèi)用分別是x元、y元,
,
解得,,
答:租用A,B兩型客車,每輛費(fèi)用分別是1700元、1300元;
(2)設(shè)租用A型客車a輛,租用B型客車b輛,
,
解得,,,,
∴共有三種租車方案,
方案一:租用A型客車2輛,B型客車5輛,費(fèi)用為9900元,
方案二:租用A型客車4輛,B型客車2輛,費(fèi)用為9400元,
方案三:租用A型客車5輛,B型客車1輛,費(fèi)用為9800元,
由上可得,方案二:租用A型客車4輛,B型客車2輛最省錢.
【點(diǎn)睛】
本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用不等式的性質(zhì)和方程的知識(shí)解答.
12、
1.已知,則下列不等式不成立的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
-3x3y,
∴?3x+63y+6,
故D錯(cuò)誤;
故選D.
點(diǎn)睛:不等式的性質(zhì)3:不等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變.
2. (2019·江蘇中考真題)下列各數(shù)軸上表示的的取值范圍可以是不等式組的解集的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
由x+2>a得x>a-2,
A.由數(shù)軸知x>-3,則a=-1,∴-3x-6<0,解得x>-2,與數(shù)軸不符;
B.由數(shù)軸知x>0,則a=2,∴3x-6<0,解得x<2,與數(shù)軸相符
13、合;
C.由數(shù)軸知x>2,則a=4,∴7x-6<0,解得x<,與數(shù)軸不符;
D.由數(shù)軸知x>-2,則a=0,∴-x-6<0,解得x>-6,與數(shù)軸不符;
故選B.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查解一元一次不等式組,解題的關(guān)鍵是掌握不等式組的解集在數(shù)軸上的表示及解一元一次不等式的能力.
3.某次知識(shí)競(jìng)賽共有20道題,每一題答對(duì)得10分,答錯(cuò)或不答都扣5分.小明得分要超過(guò)90分,他至少要答對(duì)多少道題?若設(shè)小明答對(duì)了x道題,則由題意可列出的不等式為( )
A.10x+5(20﹣x)>90 B.10x+5(20﹣x)<90
C.10x﹣5(20﹣x)>90 D.10x﹣5(20﹣x)<90
14、
【答案】C
【解析】
解:由題意可列出的不等式為10x﹣5(20﹣x)>90,
故選:C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式,掌握:答錯(cuò)或不答都扣5分,至少即大于或等于是解題的關(guān)鍵.
4.(2019·江蘇中考真題)不等式的非負(fù)整數(shù)解有( ?。?
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
【答案】D
【解析】
解:,
解得:,
則不等式的非負(fù)整數(shù)解有:0,1,2,3共4個(gè).
故選:D.
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了一元一次不等式的整數(shù)解,正確把握非負(fù)整數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.
5.(2019·湖北中考真題)不等式組的解集在數(shù)軸上用陰影表示正確的是( ?。?/p>
15、
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解:不等式組整理得:,
∴不等式組的解集為,
故選:C.
【點(diǎn)睛】
此題考查了解一元一次方程組,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
6.(2019·四川中考真題)若關(guān)于的代等式組恰有三個(gè)整數(shù)解,則的取值范圍是( ?。?
A. B. C. D.或
【答案】B
【解析】
解不等式,得:,
解不等式,得:,
∵不等式組恰有三個(gè)整數(shù)解,
∴這三個(gè)整數(shù)解為0、1、2,
∴,
解得,
故選:B.
【點(diǎn)睛】
此題考查一元一次不等式組的整數(shù)解,解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算法則
7. (2019·浙江中考真題)不等式組的解為_(kāi)_
16、___________________.
【答案】
【解析】
解:,
由①得,x>1,
由②得,x≤9.
故不等式組的解集為:.
【點(diǎn)睛】
本題考查的是解一元一次不等式組,熟知“同大取大;同小取??;大小小大中間找;大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵.
8. (2019·黑龍江中考真題)若關(guān)于的一元一次不等式組的解集為,則的取值范圍是_____.
【答案】
【解析】
解不等式,得:,
解不等式,得:,
不等式組的解集為,
,
故答案為:.
【點(diǎn)睛】
此題考查解一元一次不等式組,掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵
9. (2019·甘肅中考真題)不等式組 的最小整數(shù)解
17、是_____.
【答案】0
【解析】
解:不等式組整理得: ,
∴不等式組的解集為﹣1<x≤2,
則最小的整數(shù)解為0,
故答案為:0
【點(diǎn)睛】
此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.
10. (2019·四川中考真題)若關(guān)于x的不等式組有且只有兩個(gè)整數(shù)解,則m的取值范圍是_____.
【答案】.
【解析】
解:
解不等式①得:,
解不等式②得:,
∴不等式組的解集為,
∵不等式組只有兩個(gè)整數(shù)解,
∴,
解得:,
故答案為.
【點(diǎn)睛】
本題考查了解一元一次不等式,解一元一次不等式組,不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用,解此題的關(guān)鍵是求出
18、關(guān)于m的不等式組,難度適中.
11. (2019·四川中考真題)解不等式組:,把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái),并寫出其整數(shù)解.
【答案】,x的整數(shù)解為﹣2,﹣1,0,1,2.
【解析】
解:
解不等式①,,
解不等式②,,
∴,
解集在數(shù)軸上表示如下:
∴x的整數(shù)解為﹣2,﹣1,0,1,2.
【點(diǎn)睛】
本題考查不等式組和數(shù)軸,解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式組的求解和有理數(shù)在數(shù)軸上的表示.
12. (2019·四川中考真題)為了參加西部博覽會(huì),資陽(yáng)市計(jì)劃印制一批宣傳冊(cè).該宣傳冊(cè)每本共10頁(yè),由A、B兩種彩頁(yè)構(gòu)成.已知A種彩頁(yè)制版費(fèi)300元/張,B種彩頁(yè)制版費(fèi)200元/張,共計(jì)
19、2400元.(注:彩頁(yè)制版費(fèi)與印數(shù)無(wú)關(guān))
(1)每本宣傳冊(cè)A、B兩種彩頁(yè)各有多少?gòu)垼?
(2)據(jù)了解,A種彩頁(yè)印刷費(fèi)2.5元/張,B種彩頁(yè)印刷費(fèi)1.5元/張,這批宣傳冊(cè)的制版費(fèi)與印刷費(fèi)的和不超過(guò)30900元.如果按到資陽(yáng)展臺(tái)處的參觀者人手一冊(cè)發(fā)放宣傳冊(cè),預(yù)計(jì)最多能發(fā)給多少位參觀者?
【答案】(1)每本宣傳冊(cè)A、B兩種彩頁(yè)各有4和6張;(2)最多能發(fā)給1500位參觀者.
【解析】
解:(1)設(shè)每本宣傳冊(cè)A、B兩種彩頁(yè)各有x,y張,
,
解得:,
答:每本宣傳冊(cè)A、B兩種彩頁(yè)各有4和6張;
(2)設(shè)最多能發(fā)給a位參觀者,可得:,
解得:,
答:最多能發(fā)給1500位參觀者.
【點(diǎn)睛】
此題考查一元一次不等式的應(yīng)用,關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組和不等式解答.