《2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練專(zhuān)題19以三角形為背景的證明與計(jì)算含解析》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練專(zhuān)題19以三角形為背景的證明與計(jì)算含解析（23頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專(zhuān)題19 以三角形為背景的證明與計(jì)算 考點(diǎn)分析 【例1】（2019·山東中考真題）如圖，已知等邊，于，，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，連接，BF，于，連接． （1）求證：； （2）試說(shuō)明與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系． 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2），，理由詳見(jiàn)解析． 【解析】 （1）∵是等邊三角形， ，， ∵，， ∴，， ∵， ， ， ，且，， ， ， （2），.理由如下： 連接， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， 是等邊三角形， ∵， ，且， ，. 【點(diǎn)睛】 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理，熟練運(yùn)用三

2、角形中位線(xiàn)定理是本題的關(guān)鍵． 【例2】（2019·山東中考真題）小圓同學(xué)對(duì)圖形旋轉(zhuǎn)前后的線(xiàn)段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究. （一）猜測(cè)探究 在中，，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，將線(xiàn)段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與相等的角度，得到線(xiàn)段，連接． （1）如圖1，若是線(xiàn)段上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系是　 　，與的數(shù)量關(guān)系是　 ??； （2）如圖2，點(diǎn)是延長(zhǎng)線(xiàn)上點(diǎn)，若是內(nèi)部射線(xiàn)上任意一點(diǎn)，連接，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． （二）拓展應(yīng)用 如圖3，在中，，，，是上的任意點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到線(xiàn)段，連接．求線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值．

3、【答案】（一）（1）結(jié)論：，．理由見(jiàn)解析；（2）如圖2中，①中結(jié)論仍然成立．理由見(jiàn)解析；（二）的最小值為． 【解析】 （一）（1）結(jié)論：，． 理由：如圖1中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴≌（）， ∴． 故答案為，． （2）如圖2中，①中結(jié)論仍然成立． 理由：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴≌（）， ∴． （二）如圖3中，在上截取，連接，作于，作于． ∵， ∴， ∵，， ∴≌（）， ∴， ∴當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的值最小， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在，∵， ∴， 根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小， ∴的最

4、小值為． 【點(diǎn)睛】 本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，垂線(xiàn)段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用垂線(xiàn)段最短解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題． 考點(diǎn)集訓(xùn) 1．（2019·湖北中考真題）如圖，在中，是邊上的一點(diǎn)，，平分，交邊于點(diǎn)，連接． （1）求證：； （2）若，，求的度數(shù)． 【答案】(1)見(jiàn)解析；（2） 【解析】 （1）證明：平分， ， 在和中，， ； （2），， ， 平分， ， 在中，． 【點(diǎn)睛】 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義、三

5、角形內(nèi)角和定理；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線(xiàn)定義，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵． 2．（2019·浙江中考真題）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，E是AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交ED的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F， （1）求證：△BDE≌△CDF；（2）當(dāng)AD⊥BC，AE＝1，CF＝2時(shí)，求AC的長(zhǎng)． 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）. 【解析】 解：（1）∵， ∴. ∵是邊上的中線(xiàn)， ∴， ∴. （2）∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 【點(diǎn)睛】 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 3．（2019·天津）

6、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)．若等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰RtRt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°），記直線(xiàn)BD1與CE1的交點(diǎn)為P． （1）如圖1，當(dāng)α=90°時(shí)，線(xiàn)段BD1的長(zhǎng)等于 ，線(xiàn)段CE1的長(zhǎng)等于 ；（直接填寫(xiě)結(jié)果） （2）如圖2，當(dāng)α=135°時(shí)，求證：BD1=CE1 ，且BD1⊥CE1 ； （3）求點(diǎn)P到AB所在直線(xiàn)的距離的最大值．（直接寫(xiě)出結(jié)果） 【答案】（1）BD1=，CE1=；（2）見(jiàn)解析；（3）1 + 【解析】 解：（1）解：∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分別是邊

7、AB，AC的中點(diǎn)， ∴AE=AD=2， ∵等腰Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到等腰Rt△AD1E1，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α≤180°）， ∴當(dāng)α=90°時(shí)，AE1=2，∠E1AE=90°， ; （2）證明：當(dāng)α=135°時(shí)，如下圖： 由旋轉(zhuǎn)可知∠D1AB=E1AC=135° 又AB=AC，AD1=AE1， ∴△D1AB ≌ △E1AC ∴BD1=CE1且 ∠D1BA=E1CA 設(shè)直線(xiàn)BD1與AC交于點(diǎn)F，有∠BFA=∠CFP ∴∠CPF=∠FAB=90°， ∴BD1⊥CE1； （3）解：如圖3，作PG⊥AB，交AB所在直線(xiàn)于點(diǎn)G， ∵D1，E1在以A為圓心，

8、AD為半徑的圓上， 當(dāng)BD1所在直線(xiàn)與⊙A相切時(shí)，直線(xiàn)BD1與CE1的交點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離最大， 此時(shí)四邊形AD1PE1是正方形，PD1=2，則， 故∠ABP=30°， 則， 故點(diǎn)P到AB所在直線(xiàn)的距離的最大值為：． 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)變換，直角三角形，勾股定理，三角形全等，正方形的性質(zhì) 4．（2019·江西初二期末）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，BD⊥直線(xiàn)m, CE⊥直線(xiàn)m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明:DE=BD+CE. （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線(xiàn)m上,并且有∠BDA=

9、∠AEC=∠BAC=,其中為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請(qǐng)你給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由. （3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線(xiàn)m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D、A、E三點(diǎn)互不重合）,點(diǎn)F為∠BAC平分線(xiàn)上的一點(diǎn),且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀. 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）成立（3）△DEF為等邊三角形 【解析】 解：（1）證明：∵BD⊥直線(xiàn)m，CE⊥直線(xiàn)m，∴∠BDA＝∠CEA=900． ∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900． ∵∠BAD+∠ABD=9

10、00，∴∠CAE=∠ABD． 又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE． ∴DE="AE+AD=" BD+CE． （2）成立．證明如下： ∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—．∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE． （3）△DEF為等邊三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均為等邊三角形，∴∠ABF=∠CAF=600

11、． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（AAS）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600． ∴△DEF為等邊三角形． （1）因?yàn)镈E=DA+AE，故由AAS證△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，從而證得DE=BD+CE． （2）成立，仍然通過(guò)證明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD． （3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等邊三角形，得∠ABF=∠CAF=60

12、0，F(xiàn)B=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根據(jù)∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等邊三角形． 5．（2019·貴州中考真題）（1）如圖①，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線(xiàn)，試判斷，，之間的等量關(guān)系． 解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，易證得到，從而把，，轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷． ，，之間的等量關(guān)系________； （2）問(wèn)題探究：如圖②，在四邊形中，，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若是的平分線(xiàn)，試探究，，之間的等量關(guān)系，并證明

13、你的結(jié)論． 【答案】（1）；（2），理由詳見(jiàn)解析. 【解析】 解：（1）. 理由如下：如圖①，∵是的平分線(xiàn)，∴ ∵，∴，∴，∴. ∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴， 又∵， ∴≌（AAS），∴. ∴. 故答案為：. （2）. 理由如下：如圖②，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn). ∵，∴， 又∵，， ∴≌（AAS），∴， ∵是的平分線(xiàn)，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴. 【點(diǎn)睛】 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線(xiàn)的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義和等角對(duì)等邊等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵． 6．（2019·江蘇初二期中）如圖，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊BC

14、上，BE=CF，點(diǎn)D在AF的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AD=AC， （1）求證：△ABE≌△ACF； （2）若∠BAE=30°，則∠ADC=　 　°． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）75． 【解析】 （1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）； （2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°， ∴∠CAF=∠BAE=30°， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴∠ADC==75°， 故答案為75． 【點(diǎn)睛】 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵. 7．

15、（2019·江蘇中考真題）如圖，中，點(diǎn)在邊上，，將線(xiàn)段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接，與交于點(diǎn) (1)求證：； (2)若，，求的度數(shù). 【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)78°. 【解析】 (1) (2) 【點(diǎn)睛】 本題主要考查全等三角形證明與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，比較簡(jiǎn)單，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)是解題關(guān)鍵 8．（2019·江蘇中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于點(diǎn)0； 求證：（

16、1） （2） 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析. 【解析】 (1)∵AB=AC， ∴∠ECB=∠DBC， 在 ， ∴ ； (2)由(1) ， ∴∠DCB=∠EBC， ∴OB=OC. 【點(diǎn)睛】 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵. 9．（2019·江蘇中考真題）如圖，中，，，． （1）用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線(xiàn)；（保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法） （2）若（1）中所作的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)． 【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）． 【解析】 （1）如圖直線(xiàn)即為所求． （

17、2）∵垂直平分線(xiàn)段，∴， 設(shè)，在中， ∵，∴， 解得，∴． 【點(diǎn)睛】 本題考查作圖﹣基本作圖，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型． 10．（2019·湖北初二期中）（問(wèn)題提出） 如圖①，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，且ED=EC，將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF連接EF 試證明：AB=DB+AF （類(lèi)比探究） （1）如圖②，如果點(diǎn)E在線(xiàn)段AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其他條件不變，線(xiàn)段AB，DB，AF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由 （2）如果點(diǎn)E在線(xiàn)段BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，其他條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D③的基礎(chǔ)上將

18、圖形補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系，不必說(shuō)明理由． 【答案】證明見(jiàn)解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD． 【解析】 （1）證明：DE=CE=CF，△BCE 由旋轉(zhuǎn)60°得△ACF， ∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF， ∴△CEF是等邊三角形， ∴EF=CE， ∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°， ∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°， ∵∠DBE=120°， ∴∠EAF=∠DBE， 又∵A，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓， ∴∠AEF=∠ACF， 又∵ED=DC， ∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF， ∴∠D=∠AE

19、F， ∴△EDB≌FEA， ∴BD=AF，AB=AE+BF， ∴AB=BD+AF． 類(lèi)比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋轉(zhuǎn)60°得△ACF， ∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF， ∴△CEF是等邊三角形， ∴EF=CE， ∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°， ∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA， ∴∠FCG=∠FEA， 又∠FCG=∠EAD ∠D=∠EAD， ∴∠D=∠FEA， 由旋轉(zhuǎn)知∠CBE=∠CAF=120°， ∴∠DBE=∠FAE=60° ∴△DEB≌△EFA， ∴BD=AE， EB=AF， ∴BD=FA

20、+AB． 即AB=BD-AF． （2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD） 如圖③， ， ED=EC=CF， ∵△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△ACF， ∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC， ∴△CEF是等邊三角形， ∴EF=EC， 又∵ED=EC， ∴ED=EF， ∵AB=AC，BC=AC， ∴△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=60°， 又∵∠CBE=∠CAF， ∴∠CAF=60°， ∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC =180°-60°-60° =60° ∴∠DBE=∠EAF； ∵ED=EC， ∴∠ECD=∠E

21、DC， ∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC， 又∵∠EDC=∠EBC+∠BED， ∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC， ∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC， ∴∠BDE=∠AEF， 在△EDB和△FEA中， ∴△EDB≌△FEA（AAS）， ∴BD=AE，EB=AF， ∵BE=AB+AE， ∴AF=AB+BD， 即AB，DB，AF之間的數(shù)量關(guān)系是： AF=AB+BD． 考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)變化，等邊三角形，三角形全等， 11．（2019·浙江中考真題）如圖，在中，. ⑴已知線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)與BC邊交于點(diǎn)P，

22、連結(jié)AP，求證：； ⑵以點(diǎn)B為圓心，線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC邊交于點(diǎn)Q，連結(jié)AQ，若，求的度數(shù). 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）∠B=36°. 【解析】 （1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)P在AB的垂直平分線(xiàn)上， 所以PA=PB， 所以∠PAB=∠B， 所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B. （2）根據(jù)題意，得BQ=BA， 所以∠BAQ=∠BQA， 設(shè)∠B=x， 所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x， 所以∠BAQ=∠BQA=2x， 在△ABQ中，x+2x+2x=180°， 解得x=36°，即∠B=36°. 【點(diǎn)睛】 本題考查垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵

23、是掌握垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì). 12．（2019·山東初三）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，小明畫(huà)了一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外側(cè)分別以AB，AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD，ACE，分別取BD，CE，BC的中點(diǎn)M，N，G，連接GM，GN．小明發(fā)現(xiàn)了：線(xiàn)段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是__________；位置關(guān)系是__________． （2）類(lèi)比思考： 如圖②，小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考．把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB＞AC，其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． （3）深入研究： 如圖③，小明在（2）的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)

24、一步的探究．向△ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD，ACE，其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給與證明． 【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案見(jiàn)解析 【解析】 （1）連接BE，CD相交于H，如圖1， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90° ∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD=BE，∠ADC=∠ABE， ∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BHD=

25、90°， ∴CD⊥BE， ∵點(diǎn)M，G分別是BD，BC的中點(diǎn)， ∴MG∥CD且MG=CD， 同理：NG∥BE且NG=BE， ∴MG=NG，MG⊥NG， （2）連接CD，BE，相交于H，如圖2， 同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG； （3）連接EB，DC并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H，如圖3. 同（1）的方法得，MG=NG， 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD， ∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°， ∴∠DHE=90°， 同（1）的方法得，MG⊥NG．

26、∴△GMN是等腰直角三角形. 點(diǎn)睛：此題是三角形綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，三角形的中位線(xiàn)定理，正確作出輔助線(xiàn)用類(lèi)比的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵． 13．（2019·山東）（提出問(wèn)題） （1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN． （類(lèi)比探究） （2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． （拓展延伸） （3）如圖3，在等腰△AB

27、C中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【答案】見(jiàn)解析 【解析】 解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，， ∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （2）結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下： ∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°． ∴∠BAM=∠C

28、AN． ∵在△BAM和△CAN中，， ∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （3）∠ABC=∠ACN．理由如下： ∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN． ∴△ABC∽△AMN．∴． 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN. ∴△BAM∽△CAN．∴∠ABC=∠ACN． 14．（2019·遼寧中考真題）如圖，是具有公共邊AB的兩個(gè)直角三角形，其中，AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°． (1)如圖1，若延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，使AE=BD，連接CD，CE． ①求證：CD=CE，CD

29、⊥CE； ②求證：AD+BD=CD； (2)若△ABC與△ABD位置如圖2所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AD，BD，CD的數(shù)量關(guān)系． 【答案】(1)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；(2)AD-BD=CD. 【解析】 (1)證明：①在四邊形ADBC中，∠DAC+∠DBC+∠ADB+∠ACB=360°， ∵∠ADB+∠ACB=180°， ∴∠DAC+∠DBC=180°， ∵∠EAC+∠DAC=180°， ∴∠DBC=∠EAC， ∵BD=AE，BC=AC， ∴△BCD≌△ACE(SAS)， ∴CD=CE，∠BCD=∠ACE， ∵∠BCD+∠DCA=90°， ∴∠ACE+∠DCA=

30、90°， ∴∠DCE=90°， ∴CD⊥CE； ②∵CD=CE，CD⊥CE， ∴△CDE是等腰直角三角形， ∴DE=CD， ∵DE=AD+AE，AE=BD， ∴DE=AD+BD， ∴AD+BD=CD； (2)解：AD-BD=CD； 理由：如圖2，在AD上截取AE=BD，連接CE， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠BAC=∠ABC=45°， ∵∠ADB=90°， ∴∠CBD=90°-∠BAD-∠ABC=90°-∠BAD-45°=45°-∠BAD， ∵∠CAE=∠BAC-∠BAD=45°-∠BAD， ∴∠CBD=∠CAE，∵BD=AE，BC=AC， ∴△CBD≌△CAE(SAS)， ∴CD=CE，∠BCD=∠ACE， ∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=90°， ∴∠BCD+∠BCE=90°， 即∠DCE=90°， ∴DE===CD， ∵DE=AD-AE=AD-BD， ∴AD-BD=CD． 【點(diǎn)睛】 本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．