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1、數(shù)學(xué)專題三 函數(shù)與不等式 【考點精要】 考點一. 一元二次不等式及其應(yīng)用。主要考查一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程“三個二次”的關(guān)系。特別當一元二次不等式的解集是和R的情況的等價命題：的解集是R或。如：設(shè)為整數(shù)，方程在區(qū)間（0,1）內(nèi)有兩個不同實根，則的最小值為（D） A．-8 B. 8 C.12 D.13 考點二. 絕對值不等式。。解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號，將其等價轉(zhuǎn)化為一元一次（二次）不等式（組）進行求解； 如: (2011年高考山東卷理科4)不等式的解集為 A．[-5.7]

2、 B．[-4,6] C． D． 解答:D 考點三. 二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題。了解線性規(guī)劃的意義，了解線性約束條件、線性目標函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等知識點?？疾橛镁€性規(guī)劃的方法解決兩種重要的實際問題：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，怎樣運用這些資源能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項任務(wù)，怎樣統(tǒng)籌安排能使完成這項任務(wù)耗費的人力、物力資源最小。如：設(shè)實數(shù)滿足不等式組若為整數(shù)，則的最小值是 A．14 B．16 C．17 D．19 【答案】 B 考點四. 不等式

3、的性質(zhì)。一般不直接單獨命題，往往與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等結(jié)合進行考查。 如：（2009·湖南1）若，則（ ） A. B. C. D. 考點五. 利用不等式考查函數(shù)的性質(zhì)。利用不等式的性質(zhì)考查函數(shù)的性質(zhì)如單調(diào)性、周期性、參數(shù)的范圍等。此類題既可以是選擇題、填空題也可以是解答題，考查的范圍比較廣。如：（2010·江蘇11）已知函數(shù)，則滿足不等式的取值范圍是 。 考點六. 函數(shù)的最值。通過考查函數(shù)的最值進而考查學(xué)生對不等式的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)的理解和掌握。此類問題綜合性較強，多以解答題的形式進行考查，需要學(xué)

4、生具備較好的基礎(chǔ)知識，并且具有靈活分析問題、解決問題的能力。如：（2009·寧夏銀川）已知,其中。（1）當時，求函數(shù)的最大值與最小值；（2）求取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。 考點七. 無理不等式的解法。通常以不等式的性質(zhì)為依據(jù)，等價轉(zhuǎn)化為有理不等式組，對于某些特殊的無理不等式，可以考慮用數(shù)形結(jié)合的方法求解。如函數(shù)及等的圖像與性質(zhì)。 考點八. 利用函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題解不等式。利用函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題解不等式。此類問題多出現(xiàn)解答題中，這類問題較難把握，其關(guān)鍵是找到（列出）不等式（組），再解不等式（組），其中參變量是一種常用的策略：恒成立。

5、 考點九.分式不等式的解法.一般是將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式,如一元二次不等式組,在一些選擇題和填空題中,有時也用穿根法解.即： ， ， 用“穿根法”解不等式時應(yīng)注意：①各一次項中的系數(shù)必為正；②對于偶次或奇次重根可轉(zhuǎn)化為不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．如:（2011年高考上海卷理科4)不等式的解為 。 【答案】或 考點十.基本不等式的應(yīng)用. 基本不等式這幾年在高考題中時常出現(xiàn),主要是求一些函數(shù)的最值,注意一正、二定、三相等。特別注意的是，當?shù)忍柌荒艹闪r，用對號函數(shù)（有的資料叫勾函數(shù)）

6、的單調(diào)性。如：若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是________． 巧點妙撥 1．在復(fù)習不等式的解法時，加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練與復(fù)習，通過等價轉(zhuǎn)化可簡化不等式（組），以快速、準確求解．加強函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練．不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化．如求參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法．在不等式的證明中，加強化歸思想的復(fù)習，證不等式的過程是一個把已知條件向要證結(jié)論的一個轉(zhuǎn)化過程，既可考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識，又可考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，正因為證不等式是高考考查學(xué)生代數(shù)推理能力的重要素材，復(fù)習時應(yīng)引起我們的足夠重視

7、． 2．強化不等式的應(yīng)用,突出不等式的知識在解決實際問題中的應(yīng)用價值，借助不等式來考查學(xué)生的應(yīng)用意識．高考中除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實際應(yīng)用問題的試題中涉及不等式的知識，加強不等式應(yīng)用能力，是提高解綜合題能力的關(guān)鍵．因此，在復(fù)習時應(yīng)加強這方面訓(xùn)練，提高應(yīng)用意識，總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律，才能提高解決問題的能力． 【典題對應(yīng)】 一、線性規(guī)劃與基本不等式 例1.(2009·山東理12)設(shè)x，y滿足約束條件，若目標函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則的最小值為( ). A. B.

8、C. D. 4 x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 命題意圖：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.，要求能準確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標函數(shù)的最值。 解析：A 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直線ax+by=z（a>0，b>0），過直線x-y+2

9、=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時,目標函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大值12,即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A. 名師坐堂：本題應(yīng)先畫出可行域，根據(jù)條件求出2a+3b=6,利用均值不等式求出最小值。求線性目標函數(shù)的最值關(guān)鍵是將目標函數(shù)進行平移，以確定最優(yōu)解所對應(yīng)的點的坐標。 二、含絕對值不等式的解法 例2. (2011年高考廣東卷理科9)不等式的解集是______. 命題意圖：本題綜合考查了含絕對值不等式的解法及去掉絕對值號的方法，并會解答簡單的一元二次不等式。 解析：。由題得 所以不等式的解集為。 名師坐堂：解含絕對值的不等式，關(guān)鍵是

10、要把它化為不含絕對值的不等式，然后把不等式等價轉(zhuǎn)化為不等式組，變成求不等式組的解．運用零點討論法時，要注意找零點去絕對值符號最好畫數(shù)軸，零點分段，然后從左向右逐段討論，這樣做條理分明、不重不漏． 三、分式不等式的解法 例3.解下列分式不等式： ； 命題意圖：主要考查分式不等式與其他不等式的轉(zhuǎn)化，主要轉(zhuǎn)化為一元二次不等式組，特別在一些選擇和填空題中也可運用穿根法。 解析：原不等式等價于 用“穿根法”其解集如下圖的陰影部分： ∴原不等式解集為． 名師坐堂：當分式不等式化為時，要注意它的等價變形 ① ② 【授之以漁】 1. 不等式的恒成立問題與函數(shù)最值有密切的關(guān)系，

11、解決不等式恒成立問題，通常先分離參數(shù)，再轉(zhuǎn)化 為最值問題來解：恒成立；恒成立。 2. 由求的取值范圍，可利用待定系數(shù)法， 即設(shè)，用恒等變形求得，再利用不等式的性質(zhì)求得的范圍。 【直擊高考】 1．已知a＞0，b＞0，a+b=2，則y=的最小值是( ) A． B．4 C． D．5 2．設(shè)實數(shù)滿足不等式組若為整數(shù)，則的最小值是( )A．14 B．16 C．17 D．19 3．設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是( ) A．[—1,2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+）

12、4．（安徽理4）設(shè)變量的最大值和最小值分別為( )A．1，－1 B．2，－2 C． 1，－2 D．2，－1 5． 設(shè)a＞1,且,則的大小關(guān)系為( ) A．n＞m＞p B．m＞p＞n C．m＞n＞p D．p＞m＞n 6．不等式對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為( ) A．（-∞，-1] B．[-∞，-2）∪[5，+∞） C．[1，2] D．（-∞，1]∪[2，+∞） 7．(湖北理17） 提高過江大橋的車輛通

13、行能力可改善整個城市的交通狀況。在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)。當橋上的的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明；當時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． （Ⅰ）當時，求函數(shù)的表達式; （Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀點的車輛數(shù)，單位：輛/每小時） 可以達到最大，并求出最大值（精確到1輛/小時）。 數(shù)學(xué)專題三 函數(shù)與不等式 【直擊高考】 1.解析：，故選C.

14、 2.解析：根據(jù)題意劃出可行域，注意可行域不是面而是一系列的點，根據(jù)線性規(guī)劃求最值的方法易求得答案為B. 3.解析：分兩種情況討論最后求并集，答案為D. 4.解析：根據(jù)題意劃出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值的方法易求得答案為B. 5． 解析：設(shè)a＞1, ∴ ，，,∴ 的大小關(guān)系為m＞p＞n，選B。 6． 解析：函數(shù)的最大值為4，由已知條件，即，解得，或，選A。 7． 解析：（Ⅰ）由題意：當；當 再由已知得 故函數(shù)的表達式為 （Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得 當為增函數(shù)，故當時，其最大值為60×20=1200； 當時， 當且僅當，即時，等號成立。 所以，當在區(qū)間[20，200]上取得最大值 綜上，當時，在區(qū)間[0，200]上取得最大值。 即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時。