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1、第17講直角三角形與銳角三角函數(shù),考點一,考點二,考點一直角三角形的性質(zhì)及判定,,,,,考點一,考點二,考點二解直角三角形 1.銳角三角函數(shù) (1)三角函數(shù)的定義及關(guān)系,,,考點一,考點二,(2)特殊角的三角函數(shù)的值:,考點一,考點二,2.解直角三角形及其應(yīng)用 (1)解直角三角形的類型:,考點一,考點二,(2)解直角三角形的實際應(yīng)用:,考點一,考點二,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,30角所對直角邊是斜邊的一半 含30角的直角三角形具有特殊的性質(zhì):在直角三角形中,30角所對的直角邊等于斜邊的一半. 此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出,它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角

2、的度數(shù). 注意:該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角(30)的特殊性質(zhì),在非直角三角形或一般直角三角形中不能應(yīng)用;應(yīng)用時,要注意找準(zhǔn)30的角所對的直角邊,以及斜邊.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例1(2018廣西)如圖,從甲樓底部A處測得乙樓頂部C處的仰角是30,從甲樓頂部B處測得乙樓底部D處的俯角是45,已知甲樓的高AB是120 m,則乙樓的高CD是 m(結(jié)果保留根號),解析:由題意可得:BDA=45, 則AB=AD=120 m, 又CAD=30, 在RtADC中,,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點撥在直角三角形中,如果一個銳角等于30,那么它所對的

3、直角邊等于斜邊的一半.本性質(zhì)適用的大前提是“在直角三角形中”.在題中如果有一個30的角,而無直角時,必須依條件構(gòu)造符合性質(zhì)特征的直角三角形,才能由角的大小關(guān)系,得出邊的倍分關(guān)系.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,直角三角形的性質(zhì)和判定 例2(2018廣西柳州)如圖,在RtABC中,C=90,BC=4,AC=3,則sin B= =(),答案:A 解析:C=90,BC=4,AC=3, AB=5,,故選A.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點撥直角三角形中線段和角之間的數(shù)量關(guān)系 (1)邊:直角三角形的三邊滿足勾股定理,是計算線段長度的重要工具,有時也用于證明線段

4、相等;(2)角:直角三角形的兩銳角互余,可用來計算角的大小,也是證明角相等的重要工具;(3)斜邊中線:直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半也是幾何證明或計算的重要工具.直角三角形的判定方法主要利用定義,即證明一個角是直角.另外還有兩種方法:一是勾股定理的逆定理,即證明“a2+b2=c2”,則C=90;二是利用“若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,則這個三角形是直角三角形”這一判定方法,但這一方法不常用.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,銳角三角函數(shù)值的求法 例3(2018山東德州)如圖,在44的正方形方格圖形中,小正方形的頂點稱為格點,ABC的頂點都在格點上,則BAC的正弦值是.

5、,解析:AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5, AC2+BC2=AB2, ABC為直角三角形,且ACB=90,,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點撥格點圖中求某個角的三角函數(shù)值的方法 通常的做法是構(gòu)造合適的直角三角形,然后根據(jù)格點來表示出各邊的長,從而求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.在構(gòu)造直角三角形時需注意,通常我們要去求的邊或角不要分割,另外就是構(gòu)造的直角三角形的邊盡可能的是整個的格點數(shù),這樣便于我們求值.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,有關(guān)特殊角三角函數(shù)值的計算,=5. 方法點撥1.本題考查實數(shù)的運算、指數(shù)冪、絕對值、特殊角

6、的三角函數(shù)值,解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計算方法.這是核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運算的基本要求. 2.特殊角的銳角三角函數(shù)值要記熟,或者把特殊角放置到直角三角形中利用相關(guān)定理與性質(zhì)直接推導(dǎo)計算也可;,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,銳角三角函數(shù)的應(yīng)用 例5(2018重慶)如圖,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā),先沿水平方向向右行走20米到達點C,再經(jīng)過一段坡度(或坡比)為i=10.75、坡長為10米的斜坡CD到達點D,然后再沿水平方向向右行走40米到達點E(A,B,C,D,E均在同一平面內(nèi)).在E處測得建筑物頂端A的仰角為24,則建筑物AB的高度約為(參考數(shù)據(jù):s

7、in 240.41,cos 240.91,tan 24=0.45)() A.21.7米B.22.4米 C.27.4米D.28.8米,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,答案:A 解析:作BMED交ED的延長線于點M,CNDM于點N. 在RtCDN中,,CD=10,(3k)2+(4k)2=100, k=2,CN=8,DN=6, 四邊形BMNC是矩形, BM=CN=8,BC=MN=20, EM=MN+DN+DE=66,,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點撥求直角三角形中某銳角的三角函數(shù)值,常需利用勾股定理求出有關(guān)邊長,有時還要通過作高把非直角三角形中的邊和角轉(zhuǎn)化到

8、直角三角形中.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,解直角三角形的實際應(yīng)用 例6(2018山東煙臺)汽車超速行駛是交通安全的重大隱患,為了有效降低交通事故的發(fā)生,許多道路在事故易發(fā)路段設(shè)置了區(qū)間測速,如圖,學(xué)校附近有一條筆直的公路l,其間設(shè)有區(qū)間測速,所有車輛限速40千米/小時.數(shù)學(xué)實踐活動小組設(shè)計了如下活動:在l上確定A,B兩點,并在AB路段進行區(qū)間測速,在l外取一點P,作PCl,垂足為點C.測得PC=30米,APC=71,BPC=35.上午9時測得一汽車從點A到點B用時6秒,請你用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明該車是否超速.(參考數(shù)據(jù):sin 350.57,cos 350.82,tan 3

9、50.70,sin 710.95,cos 710.33,tan 712.90),考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,解:在RtAPC中,AC=PCtan APC=30tan 71302.90=87, 在RtBPC中,BC=PCtan BPC=30tan 35300.70=21,則AB=AC-BC=87-21=66,,又40 km/h11.1 m/s, 該車沒有超速.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,方法點撥1.解決此類問題要了解角之間的關(guān)系,找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形,當(dāng)圖形中沒有直角三角形時,要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形,當(dāng)問題以一個實際問題的形式給出時

10、,要善于讀懂題意,把實際問題化歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決. 2.一般過程是:(1)將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題(畫出平面圖形,構(gòu)造出直角三角形,轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題).(2)先根據(jù)題目已知特點選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)(或邊角關(guān)系)去解直角三角形,得到數(shù)學(xué)問題的答案,再轉(zhuǎn)化得到實際問題的答案.,,2.(2014甘肅天水)如圖,方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形,每個小正方形的頂點叫格點.ABC的頂點都在方格的格點上,則cos A= .,,3.(2017甘肅武威)如圖是一張三角形紙片ABC,C=90,AC=8 cm,BC=6 cm.現(xiàn)將紙片折疊:使點A與點B重合,則折痕長等于_

11、__cm.,解析:取AB的中點M,過點M作MNAB交AC于點N,因為AC=8 cm,BC=6 cm, 所以AB=10 cm,,,4.(2017甘肅天水)一艘輪船位于燈塔P南偏西60方向的A處,點A與燈塔P的距離為20海里,它向東航行到達燈塔P南偏西45方向上的B處,求輪船航行的距離AB.(結(jié)果保留根號),解:如圖,過P作PCAC交AB延長線于點C,則APC=60,BPC=45,AP=20,,在PBC中,BPC=45, PBC為等腰直角三角形, BC=PC=10,,5.(2018甘肅)隨著中國經(jīng)濟的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高,中國高鐵正迅速崛起.高鐵大大縮短了時空距離,改變了人們的出行方式.

12、如圖,A,B兩地被大山阻隔,由A地到B地需要繞行C地,若打通穿山隧道,建成A,B兩地的直達高鐵可以縮短從A地到B地的路程.已知CAB=30,CBA=45,AC=640公里,求隧道打通后與打通前相比,從A地到B地的路程將約縮短多少公里?(參考數(shù)據(jù):,解:過點C作CDAB于點D,在RtADC和RtBCD中,,1 088-864=224(公里), 答:隧道打通后與打通前相比,從A地到B地的路程將約縮短224公里.,6.(2015甘肅甘南州)如圖,從熱氣球C上測得兩建筑物A,B底部的俯角分別為30和60.如果這時氣球的高度CD為90米.且點A,D,B在同一直線上,求建筑物A,B間的距離.,解:由已知,

13、得ECA=30,FCB=60,CD=90, EFAB,CDAB于點D. A=ECA=30,B=FCB=60.,7.(2015甘肅白銀)如圖所示,將直尺擺放在三角板ABC上,使直尺與三角板的邊分別交于點D,E,F,G,量得CGD=42. (1)求CEF的度數(shù); (2)將直尺向下平移,使直尺的邊緣通過三角板的頂點B,交AC邊于點H,如圖所示.點H,B在直尺上的讀數(shù)分別為4,13.4,求BC的長(結(jié)果保留兩位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90),解:(1)CGD=42,C=90, CDG=90-42=48, DGEF,CEF=CDG=48. (2)

14、點H,B的讀數(shù)分別為4,13.4, HB=13.4-4=9.4, BC=HBcos 429.40.746.96 答:BC的長為6.96.,8.(2016甘肅白銀)如圖是小明在健身器材上進行仰臥起坐鍛煉時的情景.圖是小明鍛煉時上半身由ON位置運動到與地面垂直的OM位置時的示意圖.已知AC=0.66米,BD=0.26米,=20(參考數(shù)據(jù):sin 200.342,cos 200.940,tan 200.364). (1)求AB的長;(精確到0.01米) (2)若測得ON=0.8米,試計算小明頭頂由N點運動到M點的路徑,解:(1)過點B作BFAC于點F.AF=AC-BD=0.4(米), AB=AFsin 201.17(米). (2)MON=90+20=110,,