《(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第3課時(shí) 等比數(shù)列課時(shí)闖關(guān)(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第3課時(shí) 等比數(shù)列課時(shí)闖關(guān)(含解析)(4頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章第3課時(shí) 等比數(shù)列 課時(shí)闖關(guān)(含解析)
[A級 雙基鞏固]
一、填空題
1.(2010·高考福建卷)在等比數(shù)列{an}中,若公比q=4,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式an=________.
解析:∵S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=21a1=21,
∴a1=1,∴an=1·4n-1=4n-1.
答案:4n-1
2.在等比數(shù)列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,則m等于________.
解析:a1=1,am=a1a2a3a4a5=aq10=a1q10=a11.
∴m
2、=11.
答案:11
3.(2012·無錫調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a3·a9=2a,a2=2,則a1等于________.
解析:由題意可知,a3·a9=a=2a,∴公比q=,
∴a1===.
答案:
4.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,8a2+a5=0,則=________.
解析:由8a2+a5=0,∴=-8,即q3=-8,q=-2.
∴====-11.
答案:-11
5.已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,Sn是{an}的前n項(xiàng)和,且9S3=S6,則數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為________.
解析:易知公比q≠1,由9S3=S6得9=,解得q=2,
3、
∴{}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,
∴其前5項(xiàng)和為=.
答案:
6.已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an},滿足2a3-a+2a11=0,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,且b7=a7,則b6b8等于________.
解析:由題意可知,b6b8=b=a=2(a3+a11)=4a7.
∵a7≠0,∴a7=4,∴b6b8=16.
答案:16
7.在等比數(shù)列{an}中,a9+a10=a(a≠0),a19+a20=b,則a99+a100等于________.
解析:令a9+a10=b1,a19+a20=b2,…,a99+a100=b10.它們構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列.所以a99+a100=a·(
4、)9=.
答案:
8.關(guān)于數(shù)列有下面四個(gè)判斷:
①若a,b,c,d成等比數(shù)列,則a+b,b+c,c+d也成等比數(shù)列;
②若數(shù)列{an}既是等差數(shù)列也是等比數(shù)列,則{an}為常數(shù)列;
③數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=an-1(a∈R),則{an}為等差或等比數(shù)列;
④數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差不為零,則數(shù)列{an}中不會(huì)有am=an(m≠n).
其中正確判斷的序號是________.(注:把你認(rèn)為是正確判斷的序號都填上)
解析:①中,若a=2,b=-2,c=2,d=-2不滿足條件,③中,若a=0,則Sn=-1,a1=-1,an=0(n≥2),∴{an}既不是等差也不是
5、等比數(shù)列.
答案:②④
二、解答題
9.(2011·高考江西卷)已知兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{an}惟一,求a的值.
解:(1)設(shè){an}的公比為q,則b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.
由b1,b2,b3成等比數(shù)列得(2+q)2=2(3+q2),
即q2-4q+2=0,
解得q1=2+,q2=2-,
所以{an}的通項(xiàng)公式為an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.
(2)設(shè){an}的公比為q,則
6、由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.()
由a>0,得Δ=4a2+4a>0,故方程()有兩個(gè)不同的實(shí)根,
由{an}惟一,知方程()必有一根為0,代入()得a=.
10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)的和Sn;
(2)設(shè)bn=(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.
解:(1)由條件可知?jiǎng)td=2, 故an=2n-1+,Sn=n(n+).
(2)證明:由(1)得bn==n+,假設(shè){bn}中存在三項(xiàng)bp,bq,br(p,q,r∈N*且互
7、不相等)成等比數(shù)列,則b=bpbr,即(q+)2=(p+)(r+).
化簡得(q2-pr)+(2q-p-r)=0.
因?yàn)閜,q,r均為正整數(shù),所以所以()2=pr,即(p-r)2=0,所以p=r.
故{bn}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列.
[B級 能力提升]
一、填空題
1.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,bn=,且{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,若對一切正整數(shù)n都有Sn>Tn,則數(shù)列{an}的公比q的取值范圍是________.
解析:由于{an}是等比數(shù)列,公比為q,所以bn==an,于是b1+b2+…+bn=(a1+a2+…+an),
即Tn=·Sn.
又Sn
8、>Tn,且Tn>0,所以q2=>1.
因?yàn)閍n>0對任意n∈N*都成立,所以q>0,因此公比q的取值范圍是q>1.
答案:q>1
2.在等差數(shù)列{an}中,若a10=0則有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,類比上述性質(zhì),相應(yīng)地:在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1,則有等式________成立.
答案: b1b2…bn=b1b2…b17-n
3.若干個(gè)能惟一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.設(shè){an}是公比為q的無窮等比數(shù)列,下列{an}的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第________組.(寫出所有符合要求的組號)
①S1
9、與S2;②a2與S3;③a1與an;④q與an.
(其中n為大于1的整數(shù),Sn為{an}的前n項(xiàng)和)
解析:①∵a1=S1,a2=S2-S1,q確定,∴等比數(shù)列{an}確定.②由S3=a1+a2+a3=+a2+a2q,q++1-=0,即q2+(1-)q+1=0.不能惟一確定q,從而該數(shù)列不能惟一確定.
③qn-1=,n為奇數(shù)時(shí),n-1為偶數(shù),q不能惟一確定.
④a1=惟一確定,即{an}惟一確定.
∴①④滿足題意.
答案:①④
4.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列,|q|>1,令bn=an+1(n=1,2,…).若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{-53,-23,19,37,82}中,
10、則6q=________.
解析:∵bn=an+1,∴an=bn-1,
而{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{-53,-23,19,37,82}中,
∴{an}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{-54,-24,18,36,81}中.
∵{an}是公比為q的等比數(shù)列,|q|>1.
∴{an}中的連續(xù)四項(xiàng)為-24,36,-54,81,
∵q==-,∴6q=-9.
答案:-9
二、解答題
5.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,求證:S+S=Sn(S2n+S3n).
證明:法一:當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1,S2n=2na1,S3n=3na1,
則S+S=n2a+4n2a=5n2a,Sn(S2n+S3n)
11、=na1(2na1+3na1)=5n2a,所以q=1時(shí),等式成立.
當(dāng)q≠1時(shí),則Sn=,
S2n==(1-qn)(1+qn),
S3n==(1+qn+q2n).
所以S+S=[]2+[(1+qn)]2
=[1+(1+qn)2]=(2+2qn+q2n).
Sn(S2n+S3n)=[(1-qn)(1+qn)+(1-qn)(1+qn+q2n)]
=(2+2qn+q2n).
所以當(dāng)q≠1時(shí),等式成立,綜上所述:等式成立.
法二:設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則S2n=(a1+a2+…+an)+(an+1+an+2+…+a2n)=(a1+a2+…+an)+(a1qn+a2qn+…+anq
12、n)=(a1+a2+…+an)(1+qn)=Sn(1+qn).
同理S3n=(1+qn+q2n)Sn.所以
S+S-Sn(S2n+S3n)=S+S(1+qn)2-S[(1+qn)+(1+qn+q2n)]
=S+S(1+qn)2-S[1+(1+qn)2]=0.
所以S+S=Sn(S2n+S3n).
6.按所給流程,可打印出一個(gè)數(shù)列,設(shè)這個(gè)數(shù)列為{xn}.
(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前四項(xiàng);
(2)建立數(shù)列{xn}的遞推公式;
(3)證明{xn+1-xn}是等比數(shù)列;
(4)求通項(xiàng)xn.
解:(1)x1==,x2==,x3==,x4==.
(2)遞推公式為
(3)證明:由(2),得===-,又x2-x1=,
∴{xn+1-xn}是首項(xiàng)為,公比為-的等比數(shù)列.
(4)由(3),xn+1-xn=(-)n-1.
∴xn=x1+(xi+1-xi)=+(-)i-1.