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1、
(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第4課時(shí) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 課時(shí)闖關(guān)(含解析)
[A級(jí) 雙基鞏固]
一、填空題
1.圓C:x2+y2+6x+5=0被直線l:x-y+5=0所截得的弦長為________.
解析:⊙C:(x+3)2+y2=4,則圓心到直線的距離d==,∴弦長l=×2=2.
答案:2
2.兩圓x2+y2-6x+6y-48=0與x2+y2+4x-8y-44=0公切線的條數(shù)是________.
解析:圓x2+y2-6x+6y-48=0配成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y+3)2=64,
圓心坐標(biāo)(3,-3)半徑r1=8.
而圓x2+y2+
2、4x-8y-44=0配成標(biāo)準(zhǔn)方程
為(x+2)2+(y-4)2=64,
∴圓心坐標(biāo)(-2,4),半徑r2=8,
圓心距d=<r1+r2,
從而兩圓相交,故公切線有兩條.
答案:2
3.與圓x2+(y-2)2=1相切,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線共有________條.
解析:有兩條相互垂直的直線,另兩條直線過原點(diǎn).
答案:4
4.若直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點(diǎn),∠POQ=120°(其中O為原點(diǎn)),則k的值為________.
解析:設(shè)直線PQ與x軸交于M點(diǎn),易知∠OMP=60°,∴k=tan60°或tan120°,即k=±.
答案:-或
5.過點(diǎn)(
3、-4,0)作直線l與圓x2+y2+2x-4y-20=0交于A、B兩點(diǎn),如果|AB|=8,則l的方程為________.
解析:圓的方程可化為(x+1)2+(y-2)2=25,所以圓心(-1,2),半徑r=5.由于弦長|AB|=8,解圓中的直角三角形可得圓心到弦所在直線的距離d==3.直線l過點(diǎn)(-4,0),當(dāng)直線斜率不存在時(shí),方程為x+4=0,顯然成立.當(dāng)斜率存在時(shí),可設(shè)為k,則直線方程可化為kx-y+4k=0,d==3,解之可得k=-.代回方程化簡(jiǎn)得5x+12y+20=0.綜上,直線l的方程為x+4=0或5x+22y+20=0.
答案:x+4=0或5x+12y+20=0
6.(2010
4、·高考江西卷改編)直線y=kx+3與圓(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|≥2,則k的取值范圍是________.
解析:如圖,記題中的圓的圓心為C(2,3),作CD⊥MN于D,則|CD|=,
于是有|MN|=2|MD|
=2
=2≥2,即4-≥3,
解得-≤k≤.
答案:[-,]
7.若直線y=x+b與曲線y=3-有公共點(diǎn),則b的取值范圍是________.
解析:曲線y=3-表示圓(x-2)2+(y-3)2=4的下半圓,如圖所示,當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)(0,3)時(shí),b取最大值3,當(dāng)直線與半圓相切時(shí),b取最小值,由=2?b=1-2或1+2(舍).
5、
答案:[1-2,3]
8.(2010·高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且只有四個(gè)點(diǎn)到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是________.
解析:如圖,圓x2+y2=4的半徑為2,圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1,問題轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)(0,0)到直線12x-5y+c=0的距離小于1.
即<1,<13,
∴-13
6、B(不同于點(diǎn)A),滿足:對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)P,都有為一常數(shù),求所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo).
解:(1)設(shè)所求直線方程為y=-2x+b,即2x+y-b=0,
∵直線與圓相切,
∴=3,
得b=±3,
∴所求直線方程為y=-2x±3.
(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B(t,0),當(dāng)P為圓C與x軸左交點(diǎn)(-3,0)時(shí),=;
當(dāng)P為圓C與x軸右交點(diǎn)(3,0)時(shí),=,
依題意,=,
解得,t=-5(舍去),或t=-.
下面證明點(diǎn)B(-,0)對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P,都有為一常數(shù).設(shè)P(x,y),則y2=9-x2,
∴==
==,
從而=為常數(shù).
10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C1
7、:(x+3)2+(y-1)2=4和圓C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直線l過點(diǎn)A(4,0),且被圓C1截得的弦長為2,求直線l的方程;
(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn),滿足:存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等.試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:(1)由于直線x=4與圓C1不相交,所以直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),圓C1的圓心到直線l的距離為d,因?yàn)閳AC1被直線l截得的弦長為2,所以d==1.
由點(diǎn)到直線的距離公式得
d=,
從而k(24k+7)=0
8、,即k=0或k=-,
所以直線l的方程為
y=0或7x+24y-28=0.
(2)設(shè)點(diǎn)P(a,b)滿足條件,不妨設(shè)直線l1的方程為y-b=k(x-a),k≠0,則直線l2的方程為y-b=-(x-a).因?yàn)閳AC1和C2的半徑相等,且圓C1被直線l1截得的弦長與圓C2被直線l2截得的弦長相等,所以圓C1的圓心到直線l1的距離和圓C2的圓心到直線l2的距離相等,即=,
整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|,從而1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk,即(a+b-2)k=b-a+3或(a-b+8)k=a+b-5,因?yàn)閗的取值有無窮多個(gè),
9、所以或
解得或
這樣點(diǎn)P只可能是點(diǎn)P1或點(diǎn)P2.
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1和P2滿足題目條件.
[B級(jí) 能力提升]
一、填空題
1.(2011·高考全國卷改編)設(shè)兩圓C1,C2都和兩坐標(biāo)軸相切,且都過點(diǎn)(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|=________.
解析:∵兩圓都和兩坐標(biāo)軸相切且都經(jīng)過點(diǎn)(4,1),∴兩圓圓心均在第一象限且橫縱坐標(biāo)相等,設(shè)兩圓圓心分別為(a,a)(b,b).則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2.
即a,b是方程(4-x)2+(1-x)2=x2的兩個(gè)根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17,∴(a-b)2=(a
10、+b)2-4ab=100-4×17=32.
∴|C1C2|===8.
答案:8
2.圓x2+y2+2x-4y+1=0關(guān)于直線2ax-by+2=0(a,b∈R)對(duì)稱,則ab的取值范圍是________.
解析:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=4,由題意知圓心(-1,2)在直線2ax-by+2=0上,因此-2a-2b+2=0,即a+b=1,a2+b2+2ab≥4ab.
∴4ab≤1,即ab≤.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立.
答案:(-∞,]
3.設(shè)有一組圓Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4(k∈N*)下列四個(gè)命題:
①存在一條定直線與所有的圓均相切;
②存在一
11、條定直線與所有的圓均相交;
③存在一條定直線與所有的圓均不相交;
④所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn).
其中真命題的序號(hào)是________.
解析;圓心為(k-1,3k),圓心在y=3(x+1)上移動(dòng),半徑也隨k增大而增大,故y=3(x+1)一定與所有的圓均相交.故②正確,③不正確.
對(duì)于選項(xiàng)①,設(shè)存在定直線Ax+By+C=0與圓相切.
∴d=r,則與k無關(guān).
又k2=
顯然該式中k不可能消去,故①不正確.
對(duì)于選項(xiàng)④.只需代入坐標(biāo)原點(diǎn)驗(yàn)證即可.
答案:②④
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)直線y=x+2m和圓x2+y2=n2相切,其中m,n∈N*,0<≤1,若函數(shù)f(x)=mx+1
12、-n的零點(diǎn)x0∈(k,k+1),k∈Z,則k=________.
解析:∵直線y=x+2m和圓x2+y2=n2相切,
∴=n,即2m=2n.
∵m,n∈N*,0<≤1,∴m=3,n=4.
∴f(x)=3x+1-4.
令3x+1-4=0,得x=log34-1∈(0,1),故k=0.
答案:0
二、解答題
5.(2012·鹽城質(zhì)檢)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知F1(-4,0),F(xiàn)2(4,0),A(0,8),直線y=t(0<t<8)與線段AF1、AF2分別交于點(diǎn)P、Q.
(1)當(dāng)t=3時(shí),求以F1,F(xiàn)2為焦點(diǎn),且過PQ中點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)Q作直線QR∥A
13、F1交F1F2于點(diǎn)R,記△PRF1的外接圓為圓C.
①求證:圓心C在定直線7x+4y+8=0上;
②圓C是否恒過異于點(diǎn)F1的一個(gè)定點(diǎn)?若過,求出該點(diǎn)的坐標(biāo);若不過,請(qǐng)說明理由.
解:(1)設(shè)橢圓的方程為+=1(a>b>0),當(dāng)t=3時(shí),PQ的中點(diǎn)為(0,3),所以b=3而a2-b2=16,所以a2=25,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)①證明:法一:易得直線AF1:y=2x+8;AF2:y=-2x+8,
所以可得P(,t),Q(,t),再由QR∥AF1,得R(4-t,0),
則線段F1R的中垂線方程為x=-,線段PF1的中垂線方程為y=-x+,
由,解得△PRF1的外接圓的圓心
14、坐標(biāo)為(-,-2).
經(jīng)驗(yàn)證,該圓心在定直線7x+4y+8=0上.
法二:易得直線AF1:y=2x+8;AF2:y=-2x+8,所以可得P(,t),Q(,t),
再由QR∥AF1,得R(4-t,0)
設(shè)△PRF1的外接圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則y=,
解得,
所以圓心坐標(biāo)為(-,-2),經(jīng)驗(yàn)證,該圓心在定直線7x+4y+8=0上.
②由①可得圓C的方程為x2+y2+tx+(4-t)y+4t-16=0.
該方程可整理為(x2+y2+4y-16)+t(x-y+4)=0,
則由,解得或.
所以圓C恒過異于點(diǎn)F1的一個(gè)定點(diǎn),該點(diǎn)坐標(biāo)為(,).
6.已知正三
15、角形OAB的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2=2x上,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)圓C是△OAB的外接圓(點(diǎn)C為圓心).
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)圓M的方程為(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1,過圓M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線PE,PF,切點(diǎn)為E,F(xiàn),求·的最大值和最小值.
解:(1)設(shè)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(,y1),(,y2),由題設(shè)知
+
=2 .
解得y=y(tǒng)=12,
所以A(6,2),B(6,-2)或A(6,-2),B(6,2).
設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(r,0),則r=×6=4,所以圓C的方程為(x-4)2+y2=16.
(2)設(shè)∠ECF=2α,則·=||·||cos2α=16cos2α=32cos2α-16.
在Rt△PCE中,cosα==,由圓的幾何性質(zhì)得
|PC|≤|MC|+1=7+1=8,|PC|≥|MC|-1=7-1=6,
所以≤cosα≤,由此可得-8≤·≤-.
則·的最大值為-,最小值為-8.