《2013高考數(shù)學 秒殺必備 涂色問題的常見解法及策略》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2013高考數(shù)學 秒殺必備 涂色問題的常見解法及策略（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、高考數(shù)學中涂色問題的常見解法及策略 與涂色問題有關的試題新穎有趣,近年已經在高考題中出現(xiàn)，其中包含著豐富的數(shù)學思想。解決涂色問題方法技巧性強且靈活多變，因而這類問題有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利于開發(fā)學生的智力。本文擬總結涂色問題的常見類型及求解方法 一、 區(qū)域涂色問題 1、 根據分步計數(shù)原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。 例1、 用5種不同的顏色給圖中標①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？ ② ① ③ ④ 分析：先給①號區(qū)域涂色有5種方法

2、，再給②號涂色有4種方法，接著給③號涂色方法有3種，由于④號與①、②不相鄰，因此④號有4種涂法，根據分步計數(shù)原理，不同的涂色方法有 2、 根據共用了多少種顏色討論，分別計算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。 例2、四種不同的顏色涂在如圖所示的6個區(qū)域，且相鄰兩個區(qū)域不能同色。 ① ②2 ③ ④ ⑤ ⑥ 分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類： （1）②與⑤同色、④與⑥同色，則有； （2）③與⑤同色、④與⑥同色，則有； （3）②與⑤同色、③與⑥同色，則有； （4）③與⑤同色、② 與④同色，則有；（5）②與④同色、③與⑥同色，則有； 所

3、以根據加法原理得涂色方法總數(shù)為5=120 例3、如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？ 分析：依題意至少要用3種顏色 2 4 3 1 5 1) 當先用三種顏色時，區(qū)域2與4必須同色， 2) 區(qū)域3與5必須同色，故有種； 3) 當用四種顏色時，若區(qū)域2與4同色， 4) 則區(qū)域3與5不同色，有種；若區(qū)域3與5同色，則區(qū)域2與4不同色，有種，故用四種顏色時共有2種。由加法原理可知滿足題意的著色方法共有+2=24+224=72 3、 根據某兩個不相鄰區(qū)域是否同色分類討論，從某兩個不相

4、鄰區(qū)域同色與不同色入手，分別計算出兩種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同涂色方法總數(shù)。 例4用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示的四個區(qū)域內，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰兩個區(qū)域涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？ 分析：可把問題分為三類： 1 2 3 4 （1） 四格涂不同的顏色，方法種數(shù)為； （2） 有且僅兩個區(qū)域相同的顏色，即只 有一組對角小方格涂相同的顏色，涂法種數(shù)為 ； 5) 兩組對角小方格分別涂相同的顏色，涂法種數(shù)為， 因此，所求的涂法種數(shù)為 4、 根據相間區(qū)使用顏色的種類分類 A B C D E F 例5如圖，

5、6個扇形區(qū)域A、B、C、D、E、F，現(xiàn)給這6個區(qū)域著色，要求同一區(qū)域涂同一種顏色，相鄰的兩個區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種不同的顏色可解（1）當相間區(qū)域A、C、E著同一種顏色時， 有4種著色方法，此時，B、D、F各有3種著色方法， 此時，B、D、F各有3種著色方法故有 種方法。 （2）當相間區(qū)域A、C、E著色兩不同的顏色時，有種著色方法，此時B、D、F有種著色方法，故共有種著色方法。 （3）當相間區(qū)域A、C、E著三種不同的顏色時有種著色方法，此時B、D、F各有2種著色方法。此時共有種方法。 故總計有108+432+192=732種方法。 說明：關于扇形區(qū)域區(qū)域

6、涂色問題還可以用數(shù)列中的遞推公來解決。 ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ ⑤ 如：如圖，把一個圓分成個扇形，每個扇形用紅、白、藍、黑四色之一染色，要求相鄰扇形不同色，有多少種染色方法？ ⑤ 解：設分成n個扇形時染色方法為種 （1） 當n=2時、有=12種，即=12 （2） 當分成n個扇形，如圖，與不同色，與 不同色，， 與不同色，共有種染色方法， 但由于與鄰，所以應排除與同色的情形；與同色時，可把、 看成一個扇形，與前個扇形加在一起為個扇形，此時有種染色法，故有如下遞推關系： 二、 點的涂色問題 方法有：（1）可根據共用了多少種顏色分類討論，（2）根

7、據相對頂點是否同色分類討論，（3）將空間問題平面化，轉化成區(qū)域涂色問題。 例6、將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？ 解法一：滿足題設條件的染色至少要用三種顏色。 （1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。 （2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D

8、與C中另一個只需染與其相對頂點同色即可，故有種方法。 （3）若恰用五種顏色染色，有種染色法 綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種。 解法二：設想染色按S—A—B—C—D的順序進行，對S、A、B染色，有種染色方法。 由于C點的顏色可能與A同色或不同色，這影響到D點顏色的選取方法數(shù)，故分類討論： C與A同色時（此時C對顏色的選取方法唯一），D應與A（C）、S不同色，有3種選擇；C與A不同色時，C有2種選擇的顏色，D也有2種顏色可供選擇，從而對C、D染色有種染色方法。 由乘法原理，總的染色方法是 S

9、C D A B 解法三：可把這個問題轉化成相鄰區(qū)域不同色問題：如圖， 對這五個區(qū)域用5種顏色涂色，有多少種不同的涂色方法？ 解答略。 三、 線段涂色問題 對線段涂色問題，要注意對各條線段依次涂色，主要方法有： 1) 根據共用了多少顏色分類討論 2) 根據相對線段是否同色分類討論。 例7、用紅、黃、藍、白四種顏色涂矩形ABCD的四條邊，每條邊只涂一種顏色　，且使相鄰兩邊涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同的涂色方法？ 解法一：（1）使用四顏色共有種 　　　?。?）使用三種顏色涂色，則必須將一組對邊染成同色，故有種， 　　　?。?）使用二種顏色時，則兩組對

10、邊必須分別同色，有種 　　　　因此，所求的染色方法數(shù)為種 解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的順序進行，對AB、BC涂色有種涂色方法。 由于CD的顏色可能與AB同色或不同色，這影響到DA顏色的選取方法數(shù)，故分類討論： 　　　　當CD與AB同色時，這時CD對顏色的選取方法唯一，則DA有3種顏色可供選擇CD與AB不同色時，CD有兩種可供選擇的顏色，DA也有兩種可供選擇的顏色，從而對CD、DA涂色有種涂色方法。 由乘法原理，總的涂色方法數(shù)為種 　　　　例8、用六種顏色給正四面體的每條棱染色，要求每條棱只染一種顏色且共頂點的棱涂不同的顏色，問有多少種不同的涂色方法？ 解：（

11、1）若恰用三種顏色涂色，則每組對棱必須涂同一顏色，而這三組間的顏色不同， 故有種方法。 （2）若恰用四種顏色涂色，則三組對棱中有二組對棱的組內對棱涂同色，但組與組之間不同色，故有種方法。 （3）若恰用五種顏色涂色，則三組對棱中有一組對棱涂同一種顏色，故有種方法。 （4）若恰用六種顏色涂色，則有種不同的方法。 綜上，滿足題意的總的染色方法數(shù)為種。 四、 面涂色問題 例9、從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個正方體的6個面涂色，每兩個具有公共棱的面涂成不同的顏色，則不同的涂色方案共有多少種？ 分析：顯然，至少需要3三種顏色，由于有多種不同情況，仍應考慮利用加法原理

12、分類、乘法原理分步進行討論 解：根據共用多少種不同的顏色分類討論 （1）用了六種顏色，確定某種顏色所涂面為下底面，則上底顏色可有5種選擇，在上、下底已涂好后，再確定其余4種顏色中的某一種所涂面為左側面，則其余3個面有3！種涂色方案，根據乘法原理 （2）共用五種顏色，選定五種顏色有種方法，必有兩面同色（必為相對面），確定為上、下底面，其顏色可有5種選擇，再確定一種顏色為左側面，此時的方法數(shù)取決于右側面的顏色，有3種選擇（前后面可通過翻轉交換） ；(3)共用四種顏色,仿上分析可得 ；(4)共用三種顏色, 例10、四棱錐，用4種不同的顏色涂在四棱錐的各個面上，要求相鄰不同色，有多少種涂法？ A B C D P 5 3 2 1 4 解：這種面的涂色問題可轉化為區(qū)域涂色問題，如右圖，區(qū)域1、2、3、4相當于四個側面，區(qū)域5相當于底面；根據共用顏色多少分類： （1） 最少要用3種顏色，即1與3同色、2與4同色，此時有種； （2） 當用4種顏色時，1與3同色、2與4兩組中只能有一組同色，此時有； 故滿足題意總的涂色方法總方法交總數(shù)為