《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 理（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、函數(shù)綜合題分類復(fù)習(xí) 題型一：關(guān)于函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（若單調(diào)區(qū)間有多個用“和”字連接或用“逗號”隔開），極值，最值；不等式恒成立；此類問題提倡按以下三個步驟進行解決： 第一步：令得到兩個根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立問題的實質(zhì)是函數(shù)的最值問題，常見處理方法有四種： 第一種：變更主元（即關(guān)于某字母的一次函數(shù)）-----題型特征（已知誰的范圍就把誰作為主元）；第二種：分離變量求最值（請同學(xué)們參考例5）；第三種：關(guān)于二次函數(shù)的不等式恒成立；第四種：構(gòu)造函數(shù)求最值----題型特征恒成立 恒成立；參考例4； 例1.已知函數(shù)，是的一個極值點． （Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

2、 （Ⅱ）若當時，恒成立，求的取值范圍． 例2.已知函數(shù)的圖象過點. （Ⅰ）若函數(shù)在處的切線斜率為，求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 例3.設(shè)。 （1）求在上的值域； （2）若對于任意，總存在,使得成立,求的取值范圍。 例4.已知函數(shù)圖象上一點的切線斜率為， （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當時，求的值域； （Ⅲ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)t的取值范圍。 例5.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍. 例6.已知函數(shù)，在時有極值0，則 。 例7.

3、已知函數(shù)圖象上斜率為3的兩條切線間的距離為，函數(shù)． （1） 若函數(shù)在處有極值，求的解析式； （2） 若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，且在區(qū)間上都成立，求實數(shù)的取值范圍． 答案： 1、解：（Ⅰ）. ∵是的一個極值點， ∴是方程的一個根，解得. 令，則，解得或. ∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，. （Ⅱ）∵當時，時， ∴在（1，2）上單調(diào)遞減，在（2，3）上單調(diào)遞增. ∴是在區(qū)間[1，3]上的最小值，且 . 若當時，要使恒成立，只需， 即，解得 . 2、解：（Ⅰ）． 由題意知，得 ． ∴ ．

4、 （Ⅱ）． ∵ ，∴ ． 由解得或， 由解得． ……………10 ∴ 的單調(diào)增區(qū)間為：和； 的單調(diào)減區(qū)間為： ．……12分 3、解：(1)法一:(導(dǎo)數(shù)法) 在上恒成立. ∴在[0,1]上增，∴值域[0,1]。 法二:, 復(fù)合函數(shù)求值域. 法三:用雙勾函數(shù)求值域. (2)值域[0,1]，在上的值域. 由條件,只須，∴. 特別說明：要深刻理解本題的題意及子區(qū)間的解題思路，聯(lián)想2008年全國一卷第21題，那是單調(diào)區(qū)間的子區(qū)間問題； 4、解：（Ⅰ）∴， 解得 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減又

5、 ∴的值域是 （Ⅲ）令 ∴要使恒成立，只需，即 （1）當時 解得； （2）當時 ； （3）當時解得；綜上所述所求t的范圍是 特別說明：分類與整合，千萬別忘了整合即最后要寫“綜上可知”，分類一定要序號化； 5、解：（Ⅰ） 令=0,得 因為，所以可得下表： 0 + 0 - ↗ 極大 ↘ 因此必為最大值,∴因此， ， 即，∴，∴

6、 （Ⅱ）∵，∴等價于， 令，則問題就是在上恒成立時，求實數(shù)的取值范圍，為此只需，即， 解得，所以所求實數(shù)的取值范圍是[0，1]. 6、11 （ 特別說明：通過此題旨在提醒同學(xué)們“導(dǎo)數(shù)等于零”的根不一定都是極值點，但極值點一定是“導(dǎo)數(shù)等于零”方程的根；） 7、解：∵，∴由有，即切點坐標為， ∴切線方程為，或……………………2分 整理得或 ∴，解得，∴，∴ （1）∵，在處有極值，∴， 即，解得，∴……………………8分 （2）∵函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，∴，又∵在區(qū)間上恒成立，∴， 即，∴在上恒成立，∴ ∴的取值范圍是 題

7、型二：已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍及函數(shù)與x軸即方程根的個數(shù)問題； （1）已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常用方法有三種： 第一種：轉(zhuǎn)化為恒成立問題即在給定區(qū)間上恒成立，然后轉(zhuǎn)為不等式恒成立問題；用分離變量時要特別注意是否需分類討論（看是否在0的同側(cè)），如果是同側(cè)則不必分類討論；若在0的兩側(cè)，則必須分類討論，要注意兩邊同處以一個負數(shù)時不等號的方向要改變呀！有時分離變量解不出來，則必須用另外的方法； 第二種：利用子區(qū)間（即子集思想）；首先求出函數(shù)的單調(diào)增或減區(qū)間，然后讓所給區(qū)間是求的增或減區(qū)間的子集；參考08年高考題； 第三種方法：利用二次方程根的分布，著重考慮端點

8、函數(shù)值與0的關(guān)系和對稱軸相對區(qū)間的位置；可參考第二次市統(tǒng)考試卷； 特別說明：做題時一定要看清楚“在（a,b）上是減函數(shù)”與“函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（a,b）”，要弄清楚兩句話的區(qū)別；請參考資料《高考教練》83頁第3題和清明節(jié)假期作業(yè)上的第20題（金考卷第5套）； （2）函數(shù)與x軸即方程根的個數(shù)問題解題步驟 第一步：畫出兩個圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨勢圖”即三次函數(shù)的大致趨勢“是先增后減再增”還是“先減后增再減”； 第二步：由趨勢圖結(jié)合交點個數(shù)或根的個數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系； 第三步：解不等式（組）即可； 例8．已知函數(shù)，，且在區(qū)間上為增函數(shù)．

9、 （1） 求實數(shù)的取值范圍； （2） 若函數(shù)與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍． 例9.已知函數(shù) （I）討論函數(shù)的單調(diào)性。 （II）若函數(shù)在A、B兩點處取得極值，且線段AB與x軸有公共點，求實數(shù)a的取值范圍。 例10．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，其中a為實數(shù)． (Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)(x)； (Ⅱ)若(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值； (Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是遞增的，求a的取值范圍 例11.已知：函數(shù) （I）若函數(shù)的圖像上存在點，使點處的切線與軸平行，求實數(shù) 的關(guān)系式； （II）若

10、函數(shù)在和時取得極值且圖像與軸有且只有3個交點，求實數(shù)的取值范圍. 例12．設(shè)為三次函數(shù)，且圖像關(guān)于原點對稱，當時， 的極小值為． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）證明：當時，函數(shù)圖像上任意兩點的連線的斜率恒大于0． 例13．在函數(shù)圖像在點（1，f（1））處的切線與直線平行，導(dǎo)函數(shù)的最小值為－12。 （1）求a、b的值； （2）討論方程解的情況（相同根算一根）。 例14．已知定義在R上的函數(shù)，當時，取得極大值3，. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）已知實數(shù)能使函數(shù)上既能取到極大值，又能取到極小值，記所有的實數(shù)組成的集合為M.請判斷函數(shù)的零點個數(shù). 例15

11、.已知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，4） （I）求的值； （II）若對任意的總有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍。 例16.已知函數(shù)是常數(shù)，且當和時，函數(shù) 取得極值. （Ⅰ）求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）若曲線與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍. 例17.已知函數(shù)正項數(shù)列滿足：，，點在圓上， （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）若，求證：是等比數(shù)列； （Ⅲ）求和： 例18.函數(shù)（、為常數(shù)）是奇函數(shù)。 （Ⅰ）求實數(shù)的值和函數(shù)的圖像與軸交點坐標； （Ⅱ）設(shè)，，求的最大值. 例19.已知f (x)＝x3＋bx2＋cx＋2． ⑴若f(x)在x＝1時有極值－1，求b、c的值

12、； ⑵若函數(shù)y＝x2＋x－5的圖象與函數(shù)y＝的圖象恰有三個不同的交點，求實數(shù)k的取值范圍． 例20. 設(shè)函數(shù)，，當時，取得極值. （1）求的值，并判斷是函數(shù)的極大值還是極小值； （2）當時，函數(shù)與的圖象有兩個公共點，求的取值范圍. 例21.已知在R上單調(diào)遞增，記的三內(nèi)角A、B、C的對應(yīng)邊分別為a、b、c，若時，不等式恒成立． （Ⅰ）求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）求角的取值范圍；（Ⅲ）求實數(shù)的取值范圍。 答案： 8解：（1）由題意 ∵在區(qū)間上為增函數(shù)， ∴在區(qū)間上恒成立 即恒成立，又，∴，故∴的取值范圍為 （2）設(shè)， 令得或由（1）知， ①當時，，在R上遞

13、增，顯然不合題意…②當時，，隨的變化情況如下表： — ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 由于，欲使與的圖象有三個不同的交點，即方程有三個不同的實根，故需，即 ∴，解得 綜上，所求的取值范圍為 9、解：（1） 當a>0時，遞增； 當a<時，遞減…………………………5分 （2）當a>0時 0 + 0 － 0 + 增 極大值 減 極小值 增 此時，極大值為…………7分 當a<0時 0 － 0 + 0 － 減 極小值 增 極大值

14、 減 此時，極大值為因為線段AB與x軸有公共點所以解得 10、解：（Ⅰ） （Ⅱ）由， 由得或x=又 在[-2，2]上最大值，最小值..……………………………8分 （Ⅲ）， 由題意知 11、解：（I）設(shè)切點, , 因為存在極值點，所以，即-------（4分） （II）因為，是方程的根， 所以，.----------------------(6分) ,；在處取得極大值，在處取得極小值. 函數(shù)圖像與軸有3個交點，， 12解：（Ⅰ）設(shè) 其圖像關(guān)于原點對稱，即 得 ∴， 則有 由 ， 依題意得 ∴ ①

15、 ② 由①②得 故所求的解析式為：. ---------------8分 （Ⅱ）由解得：或 -------------------------------10分 ∴時，函數(shù)單調(diào)遞增； ---------------12分 設(shè)是時，函數(shù)圖像上任意兩點，且，則有 ∴過這兩點的直線的斜率. 13、解：（1） 又直線 （2）由（1）知，列表如下： x f′ + 0 － 0 + f（x） 極大值 極小值 所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是和 14、解：（1）由得c=1 ，

16、 得∴ （2）得，時取得極值.由， 得∴. ，，∴當時，， ∴在上遞減. 又∴函數(shù)的零點有且僅有1個 15、解：（I） 又…………4分 （II） 且 …………12分 16、解：（Ⅰ）， 依題意，即解得∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線與有兩個不同的 交點，即在上有兩個不同的實數(shù)解…5分 設(shè)，則， 由0的或 當時，于是在上遞增； 當時，于是在上遞減. 依題意有∴實數(shù)的取值范圍是. 17、解：（Ⅰ）由題意： ∴……………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： 數(shù)列滿足：，故……………8分 （Ⅲ）令 相減得：

17、 ∴……………12分 18、解：（Ⅰ），與軸交點為， ……………4分 （Ⅱ）………6分 當時，由，得或（舍） ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。 當時，由得在上單調(diào)遞增。 如圖所示，為在上的圖像?！?0分 ∵當時， ∴當時，由 故的最大值的情形如下： 當時， 當時， 當時， ∴ 19、解：⑴f '(x)＝3x2＋2bx＋c，由題知f '(1)＝03＋2b＋c＝0，f(1)＝－11＋b＋c＋2＝－1∴b＝1，c＝－5，f(x)＝x3＋x2－5x＋2，f'(x)＝3x2＋2x－5 f(x)在[－，1]為減函數(shù)，f (x)在(1，＋∞)為增函數(shù)

18、∴b＝1，c＝－5符合題意 ⑵即方程：恰有三個不同的實解：x3＋x2－5x＋2＝k(x≠0) 即當x≠0時，f (x)的圖象與直線y＝k恰有三個不同的交點，由⑴知f (x)在為增函數(shù)，f (x)在為減函數(shù)，f (x)在(1，＋∞)為增函數(shù)，又，f (1)＝－1，f (2)＝2∴且k≠2 20、解：（1）由題意 當時，取得極值， 所以 即 此時當時，，當時，， 是函數(shù)的最小值。 （2）設(shè)，則 ，……8分 設(shè)， ，令解得或列表如下： __ 0 + 函

19、數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。 當時，有極大值；當時,有極小值 函數(shù)與的圖象有兩個公共點，函數(shù)與的圖象有兩個公共點 或 21、解：(1)由知，在R上單調(diào)遞增，恒成立，且，即且，． （2），由余弦定理：，， （3） 在R上單調(diào)遞增，且， 所以 ， 故，即，，即，即． 題型三：函數(shù)的切線問題； 問題1：在點處的切線，易求； 問題2：過點作曲線的切線需四個步驟； 第一步：設(shè)切點，求斜率；第二步：寫切線（一般用點斜式）；第三步：根據(jù)切點既在曲線上又在切線上得到一個三次方程；第四步：判斷三次方程根的個數(shù)； 例

20、22.已知函數(shù)在點處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求： （1）的解析式； （2）若過點可作曲線的三條切線，求實數(shù)的取值范圍． 例23. 已知（為常數(shù)）在時取得一個極值， （1）確定實數(shù)的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)； （2）若經(jīng)過點A（2，c）（）可作曲線的三條切線，求的取值范圍． 答案： 22、解：（1）由題意得： ∴在上；在上；在上 因此在處取得極小值 ∴①，②，③ 由①②③聯(lián)立得：，∴ （2）設(shè)切點Q， 過 令， 求得：，方程有三個根。 需： 故：；因此所求實數(shù)的范圍為：

21、23、解：（1）∵函數(shù)在時取得一個極值，且， ， ． 或時，或時，時， ， 在上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)． ∴使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)的的取值范圍是 （2）由（1）知．設(shè)切點為，則切線的斜率，所以切線方程為：． 將點代人上述方程，整理得：． ∵經(jīng)過點可作曲線的三條切線，∴方程有三個不同的實根． 設(shè)，則 ，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 故 得：． 題型四：函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式線性規(guī)劃精彩交匯； 例24.設(shè)函數(shù)，在其圖象上一點處的切線的斜率記為． (1)若方程有兩個實根分別為-2和4，求的表達式； (2)若在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求的

22、最小值。 例25.已知函數(shù) （1）若圖象上的是處的切線的斜率為的極大值。 （2）在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求的最小值。 例26. 已知函數(shù)（，，且）的圖象在處的切線與軸平行. (I) 試確定、的符號； n 0 2 3 (II) 若函數(shù)在區(qū)間上有最大值為，試求的值. 答案： 24、解：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知由已知-2，4是方程的兩個實根由韋達定理， ∴， （2）在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在區(qū)間上恒有 ，即在區(qū)間上恒成立 這只需滿足即可，也即而可視為平面區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方由圖知當時，有最小值13； 25、解：（1） 由題意得

23、 令 由此可知 －1 3 + 0 － 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值－9 ↗ 時取極大值 （2）上是減函數(shù) 上恒成立 作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖 當直線經(jīng)過點時 取最小值 26、解：(I)由圖象在處的切線與軸平行， 知，∴① …………3分 又，故，. ………… 4分 (II)令, 得或 …………………… 6分 易證是的極大值點，是極小值點（如圖）. ………… 7分 令，得或. …………………………………………8分 分類：(I)當時，，∴ . ② 由①，②解得，符合前提 .

24、 (II)當時，,∴. ③ 由①，③得 . 記, ∵, ∴在上是增函數(shù)，又，∴, ∴在上無實數(shù)根.綜上，的值為. 題型五：函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式數(shù)列的精彩交匯 例2 7.已知函數(shù)滿足且有唯一解。 （1） 求的表達式； （2）記，且＝，求數(shù)列的通項公式。 （３）記 ，數(shù)列｛｝的前ｎ項和為，求證 例28.已知函數(shù)，其中. （Ⅰ）若曲線在點處的切線方程為，求函數(shù)的解析式； （Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍. 例29.在數(shù)列中，，且已知函（）在時取得極值.高考學(xué)習(xí)網(wǎng)Ⅰ）求數(shù)列的通項；高考學(xué)習(xí)網(wǎng)Ⅱ）設(shè)，且對于恒

25、成立，求實數(shù)的取值范圍．學(xué) 例30.已知函數(shù)，為實數(shù)）有極值，且在處的切線與直線平行. （1）求實數(shù)a的取值范圍； （2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)的極小值為1，若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由； 例31.已知函數(shù)（a、c、d∈R）滿足且在R上恒成立。 （1）求a、c、d的值；（2）若，解不等式； （3）是否存在實數(shù)m，使函數(shù)在區(qū)間[m，m+2]上有最小值－5？若存在，請求出實數(shù)m的值，若不存在，請說明理由。 例32.設(shè)函數(shù)（），其中 （1）當時，求曲線在點（2，）處的切線方程； （2）當時，求函數(shù)的極大值和極小值； （3）當時，證明存在，

26、使得不等式對任意的恒成立。 例33. 已知函數(shù)為常數(shù)） （Ⅰ）若 （Ⅱ）若在和處取得極值，且在時，函數(shù) 的圖象在直線的下方，求的取值范圍？ 答案： 27、解：(1)由 即 有唯一解 又 (2)由 又 數(shù)列是以首項為，公差為 (3)由 = 28、解：（Ⅰ），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，于是．由切點在直線上可得，解得． 所以函數(shù)的解析式為． （Ⅱ）解：． 當時，顯然（）．這時在，上內(nèi)是增函數(shù)． 當時，令，

27、解得． 當變化時，，的變化情況如下表： ＋ 0 － － 0 ＋ ↗ 極大值 ↘ ↘ 極小值 ↗ 所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值為與的較大者，對于任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，對任意的成立．從而得，所以滿足條件的的取值范圍是． 科網(wǎng) 29、解： (Ⅰ) ∵(1)＝0∴(an＋2－an＋1)－(3a n＋1－4an)＝0 即an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an) 又a2－2a1＝4 ∴數(shù)列｛an＋1－2an｝是以2為公比，以4為首項的等比數(shù)列?！郺n＋1－2an

28、＝4×2n－1＝2 n＋1∴ 且∴數(shù)列｛｝是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴＝＋(n－1)×1＝n∴ （Ⅱ）由， 令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＋2()2＋3()3＋…＋n()n 　　　　　Sn＝()2＋2()3＋…＋(n－1)()n＋n()n＋1 得Sn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n()n+1＝－n()n+1＝2[1－()n]－n()n+1 ∴ Sn＝6[1－()n]－3n()n+1＜ 要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m對于n∈N＊恒成立,只須，所以實數(shù)的取值范圍是. 30、解：（1）由題意 ①

29、 ② 由①、②可得，故 （2）存在 由（1）可知， + 0 － 0 + 單調(diào)增 極大值 單調(diào)減 極小值 單調(diào)增 ， . 的極小值為1. 31、解：（1），，，即， 從而。在R上恒成立，， 即，解得。 （2）由（1）知，，， ∴不等式化為， 即，∴ （a）若，則不等式解為； （b）若，則不等式解為空集； （c）若，則不等式解為。 （3）。該拋物線開口向上，對稱軸為。 若，即時，在[m，m+2]上為增函數(shù)。 當時，由已知得，解得。 若，即時，當時，。 由已知得，無解。 若，即時，在[

30、m，m+2]上為減函數(shù)。 當時，。 由已知得，解得。 綜上所述，存在實數(shù)或，使函數(shù)在區(qū)間[m，m+2]上有最小值－5。 32、解：（Ⅰ）當時，，得，且 ，． 所以，曲線在點處的切線方程是，整理得 ． （Ⅱ）解：． 令，解得或．由于，以下分兩種情況討論． （1）若，當變化時，的正負如下表： 因此，函數(shù)在處取得極小值，且； 函數(shù)在處取得極大值，且． （2）若，當變化時，的正負如下表： 因此，函數(shù)在處取得極小值，且； 函數(shù)在處取得極大值，且． （Ⅲ）證明：由，得，當時，，． 由（Ⅱ）知，在上是減函數(shù)，要使， 只要即　　　　　① 設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為． 要使①式恒成立，必須，即或．所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立． 33、解：（1） 又x1，x2是函數(shù)f（x）的兩個極值點，則x1，x2是的兩根， （2）由題意，