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1、
(福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章第6課時(shí) 橢圓課時(shí)闖關(guān)(含解析)
一、選擇題
1.(2012·廈門調(diào)研)橢圓+=1的右焦點(diǎn)到直線y=x的距離是( )
A. B.
C.1 D.
解析:選B.右焦點(diǎn)F(1,0),∴d=.選B.
2.已知橢圓+=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2+y2-6x+8=0的圓心,且短軸長(zhǎng)為8,則橢圓的左頂點(diǎn)為( )
A.(-3,0) B.(-4,0)
C.(-10,0) D.(-5,0)
解析:選D.∵圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=1,
∴圓心坐標(biāo)為(3,0),∴c=3,又b=4,
∴a==5.∵橢圓的
2、焦點(diǎn)在x軸上,
∴橢圓的左頂點(diǎn)為(-5,0).
3.已知橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)M在該橢圓上,且·=0,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為( )
A. B.
C. D.
解析:選C.設(shè)M(x,y),由·=0,
∴x2+y2=c2=3,又+y2=1,解得y2=,故選C.
4.在一橢圓中以焦點(diǎn)F1、F2為直徑兩端點(diǎn)的圓,恰好過短軸的兩端點(diǎn),則此橢圓的離心率e等于( )
A. B.
C. D.
解析:選B.∵以橢圓焦點(diǎn)F1、F2為直徑兩端點(diǎn)的圓,恰好過短軸的兩端點(diǎn),∴橢圓滿足b=c,∴e==,將b=c代入可得e=.
5.(2012·南平質(zhì)檢)已知F1
3、、F2為橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),若M為橢圓上一點(diǎn),且△MF1F2的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)等于3π,則滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.4
解析:選C.△MF1F2的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)等于3π,故半徑為,
所以△MF1F2面積為(2a+2c)r=12=·2c|yM|.
yM=±4.故選C.
二、填空題
6.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為A,且△F1AF2是頂角為120°的等腰三角形,則此橢圓的離心率為________.
解析:由已知得∠AF1F2=30°,故cos30°=,從而e=.
答案:
7.已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A(0,1),B(0,-1),動(dòng)
4、點(diǎn)M到兩定點(diǎn)A、B的距離之和為4,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是________.
解析:由橢圓的定義知,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,且c=1,2a=4,
∴a=2,b==.
∴橢圓方程為+=1.
答案:+=1
8.(2012·福州質(zhì)檢)設(shè)F1、F2分別是橢圓+=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),M是F1P的中點(diǎn),|OM|=3,則P點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)距離為________.
解析:|OM|=3,|PF2|=6,又|PF1|+|PF2|=10,∴|PF1|=4.
答案:4
三、解答題
9.橢圓+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(-c,0)、F2(c,0),M是橢圓上一點(diǎn),滿足·=0.求
5、離心率e的取值范圍.
解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則=(x+c,y),=(x-c,y).由·=0,
得x2-c2+y2=0,即y2=c2-x2.①
又由點(diǎn)M在橢圓上得y2=b2(1-),
代入①得b2(1-)=c2-x2,
所以x2=a2(2-),
∵0≤x2≤a2,∴0≤a2(2-)≤a2,
即0≤2-≤1,0≤2-≤1,
解得≤e≤1,又∵0
6、2+y2=1上,求m的值.
解:(1) 由題意,得解得
∴橢圓C的方程為+=1.
(2)設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),
由消y得,3x2+4mx+2m2-8=0,
Δ=96-8m2>0,∴-2<m<2.
∴x0==-,y0=x0+m=.
∵點(diǎn)M(x0,y0)在圓x2+y2=1上,
∴2+2=1,∴m=±.
一、選擇題
1.已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿足·=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是( )
A.(0,1) B.(0,]
C.(0,) D.[,1)
解析:選C.設(shè)橢圓的
7、半長(zhǎng)軸、半短軸、半焦距分別為a、b、c,
∵·=0,
∴M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心,半焦距c為半徑的圓.
又M點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部,
∴該圓內(nèi)含于橢圓,即c<b,c2<b2=a2-c2.
∴e2=<,∴0<e<.選C.
2.(2012·三明調(diào)研)如圖,A、B、C分別為橢圓+=1(a>b>0)的頂點(diǎn)與焦點(diǎn),若∠ABC=90°,則該橢圓的離心率為( )
A. B.1-
C.-1 D.
解析:選A.|AB|2=a2+b2,|BC|2=b2+c2,|AC|2=(a+c)2.∵∠ABC=90°,∴|AC|2=|AB|2+|BC|2,
即(a+c)2=a2+2b2+c2,
∴2a
8、c=2b2,即b2=ac.
∴a2-c2=ac.∴-=1.
即-e=1,解之得e=.
又∵e>0,∴e=.選A.
二、填空題
3.如圖,Rt△ABC中,AB=AC=1,以點(diǎn)C為一個(gè)焦點(diǎn)作一個(gè)橢圓,使這個(gè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在AB邊上,且這個(gè)橢圓過A、B兩點(diǎn),則這個(gè)橢圓的焦距長(zhǎng)為________.
解析:設(shè)另一焦點(diǎn)為D,則由定義可知AC+AD=2a,AC+AB+BC=4a.
又∵AC=1,∴BC=,∴a=+.∴AD=.在Rt△ACD中焦距CD=.
答案:
4.(2011·高考江西卷)若橢圓+=1的焦點(diǎn)在x軸上,過點(diǎn)M作圓x2+y2=1的切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB恰好經(jīng)過橢圓的
9、右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn),則橢圓方程是________.
解析:AM垂直O(jiān)A, BM垂直O(jiān)B,所以AB在以O(shè)M為直徑圓上,即2+2=
又A、B在已知圓x2+y2=1上,所以直線AB方程2x+y=2,依題意,c=1,b=2,則橢圓方程是+=1
答案:+=1
三、解答題
5.已知橢圓+=1(常數(shù)m、n∈R+,且m>n)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,M、N為短軸的兩個(gè)端點(diǎn),且四邊形F1MF2N是邊長(zhǎng)為2的正方形.
(1)求橢圓方程;
(2)過原點(diǎn)且斜率分別為k和-k(k≥2)的兩條直線與橢圓+=1的交點(diǎn)為A、B、C、D(按逆時(shí)針順序排列,且點(diǎn)A位于第一象限內(nèi)),求四邊形ABCD的面積S的最大值.
10、
解:(1)依題意:,∴,
所求橢圓方程為+=1.
(2)設(shè)A(x,y),由得A.
根據(jù)題設(shè)直線圖象與橢圓的對(duì)稱性,
知S=4××=(k≥2).
∴S=(k≥2).
設(shè)M(k)=2k+,則M′(k)=2-,
當(dāng)k≥2時(shí),M′(k)=2->0,
∴M(k)在k∈(2,+∞)是時(shí)單調(diào)遞增,
∴[M(k)]min=M(2)=,
∴當(dāng)k≥2時(shí),Smax==.
6.(2012·廈門質(zhì)檢)已知B(-1,1)是橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn),且點(diǎn)B到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4.
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn),直線AB交y軸于點(diǎn)C,過C作直線l交橢圓于D、E兩點(diǎn),問:是否存在直線l,使得△CBD與△CAE的面積之比為1∶7.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
解:(1)由已知得:?,
即橢圓方程為+=1.
(2)由A(-2,0)、B(-1,1)有l(wèi)AB:y=x+2,∴C(0,2).
設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2),因?yàn)閤1=x2不合題意,故可設(shè)l:y=kx+2,
代入x2+3y2=4得:(3k2+1)x2+12kx+8=0(*)
.
又==.
而=,∴=,
從而x1=x2 (3).
結(jié)合(1)(2)(3)三式,得k=±3,均滿足(*)式的Δ>0.
即:l:y=±3x+2.