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1、
(福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第六章第5課時 合情推理與演繹推理課時闖關(guān)(含解析)
一、選擇題
1.下列平面圖形中與空間的平行六面體作為類比對象較合適的是( )
A.三角形 B.梯形
C.平行四邊形 D.矩形
解析:選C.因為平行六面體相對的兩個面互相平行,類比平面圖形,則相對的兩條邊互相平行,故選C.
2.推理“①矩形是平行四邊形;②三角形不是平行四邊形;③三角形不是矩形”中的小前提是( )
A.① B.②
C.③ D.①和②
解析:選B.由演繹推理三段論可知,①是大前提;②是小前提;③是結(jié)論.故選B.
3.(2011·
2、高考江西卷)觀察下列各式:則72=49,73=343,74=2401,…,則72011的末兩位數(shù)字為( )
A.01 B.43
C.07 D.49
解析:選B.∵f(x)=7x,f(1)=7,f(2)=49,f(3)=343,f(4)=2401,f(5)=16807,f(6)=117649,….所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn),且周期T=4,又因為2011=4×502+3,所以f(2011)的末兩位數(shù)與f(3)的末兩位數(shù)相同.
4.觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記
3、g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=( )
A.f(x) B.-f(x)
C.g(x) D.-g(x)
解析:選D.由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時,其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x).
5.(1)由“若a,b,c∈R,則(ab)c=a(bc)”類比“若a、b、c為三個向量,則(a·b)c=a(b·c)”;
(2)在數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,猜想an=2n-2;
(3)在平面內(nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中“四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積”.
上述三個推理中,正確的個數(shù)為
4、( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:選C.(1)三個實數(shù)之積滿足乘法的結(jié)合律,而三個向量之積是向量,而兩個向量相等要滿足方向和大小都相等,向量(a·b)c與向量a(b·c)不一定滿足,故(1)錯誤.
(2)由an+1=2an+2,可得an+1+2=2(an+2),故數(shù)列{an+2}為等比數(shù)列,易求得an=2n-2,故(2)正確;
(3)在四面體ABCD中,設(shè)點(diǎn)A在底面BCD上的射影是O,則三個側(cè)面的面積都大于其在底面上的投影的面積,三個側(cè)面的面積之和一定大于底面的面積,故(3)正確.
二、填空題
6.在平面內(nèi)有n(n∈N*,n≥3)條直線,其中任何兩條不平行,
5、任何三條不過同一點(diǎn),若這n條直線把平面分成f(n)個平面區(qū)域,則f(5)的值是________,f(n)的表達(dá)式是__________.
解析:由題意,n條直線將平面分成+1個平面區(qū)域,故f(5)=16,f(n)=.
答案:16 f(n)=
7.(2012·泉州調(diào)研)由圖(1)有面積關(guān)系:=,則由圖(2)有體積關(guān)系:=________.
圖(1) 圖(2)
解析:從二維到三維,面積是兩條邊的比,從而得到=.
答案:
8.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(n∈N*),則a3=________,a1·a2·a3·…·a2011=________.
解析:分別求出a
6、2=-3,a3=-,a4=,a5=2,
可以發(fā)現(xiàn)a5=a1,且a1·a2·a3·a4=1.
故a1·a2·a3·…·a2011=a1·a2·a3=3.
答案:- 3
三、解答題
9.已知函數(shù)f(x)=-(a>0且a≠1),
(1)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;
(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
解:(1)證明:函數(shù)f(x)的定義域為R,任取一點(diǎn)(x,y),它關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1-x,-1-y).
由已知得y=-,
則-1-y=-1+=-,
f(1-x)=-=-=-
=-,
∴-1-y=f(1-x),
即對稱
7、點(diǎn)(1-x,-1-y)也滿足函數(shù)y=f(x).
∴函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.
(2)由(1)有-1-f(x)=f(1-x),
即f(x)+f(1-x)=-1.
∴f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,
f(0)+f(1)=-1,
則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.
10.已知等式:sin25°+cos235°+sin5°cos35°=;
sin215°+cos245°+sin15°cos45°=;
sin230°+cos260°+sin30°cos60°=;….
由此可歸納出對任意角度θ都成立的一個等式,并予以
8、證明.
解:歸納已知可得:
sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθcos(θ+30°)=.
證明如下:
sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθcos(θ+30°)
=sin2θ+2+sinθ
=sin2θ+cos2θ+sin2θ-sin2θ=.
一、選擇題
1.如圖,圓周上按順時針方向標(biāo)有1,2,3,4,5五個點(diǎn).一只青蛙按順時針方向繞圓從一個點(diǎn)跳到另一點(diǎn).若它停在奇數(shù)點(diǎn)上,則下一次只能跳一個點(diǎn);若停在偶數(shù)點(diǎn)上,則下一次跳兩個點(diǎn).該青蛙從5這點(diǎn)跳起,經(jīng)2012次跳后它將停在的點(diǎn)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選B.an表示青蛙第n
9、次跳后所在的點(diǎn)數(shù),則a1=1,a2=2,a3=4,a4=1,a5=2,a6=4,…,顯然{an}是一個周期為3的數(shù)列,故a2012=a2=2.
2.古希臘人常用小石頭在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù),比如:
他們研究過圖(1)中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似的,稱圖(2)中的1,4,9,16,…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是( )
A.289 B.1024
C.1225 D.1378
解析:選C.設(shè)圖(1)中數(shù)列1,3,6,10,…的通項公式為an,
其解法如下:a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a
10、3=4,…,an-an-1=n.故an-a1=2+3+4+…+n,∴an=.
而圖(2)中數(shù)列的通項公式為bn=n2,因此所給的選項中只有1225滿足a49==b35=352=1225.
二、填空題
3.(2012·廈門市質(zhì)檢)若f(n)為n2+1(n∈N*)的各位數(shù)字之和,如:62+1=37,f(6)=3+7=10.
又f1(m)=f(n),f2(n)=f(f1(n)),…,fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N*,則f2015(4)=________.
解析:∵42+1=17,f1(4)=8,82+1=65,f2(4)=f(8)=11,
112+1=122,f3(4)=f(1
11、1)=5,52+1=26,f4(4)=f(5)=8,f5(4)=11,…,則f2015(4)=8.
答案:8
4.(2012·皖南八校聯(lián)考)在圓中有結(jié)論:如圖所示,“AB是圓O的直徑,直線AC,BD是圓O過A,B的切線,P是圓O上任意一點(diǎn),CD是過P的切線,則有PO2=PC·PD”.類比到橢圓:“AB是橢圓的長軸,直線AC,BD是橢圓過A,B的切線,P是橢圓上任意一點(diǎn),CD是過P的切線,則有________.”
解析:橢圓中的焦半徑類比圓中的半徑.
答案:PF1·PF2=PC·PD
三、解答題
5.已知橢圓具有性質(zhì):若M、 N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)
12、,當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時,那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.試對雙曲線-=1寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明.
解:類似的性質(zhì)為:若M、N是雙曲線-=1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn),點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM,kPN時,那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.
證明如下:
設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為(m,n),(x,y),則N(-m,-n).
因為點(diǎn)M(m,n)在已知雙曲線上,
所以n2=m2-b2.同理y2=x2-b2.
則kPM·kPN=·=
=·=(定值).
6.定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足
(ⅰ)對任意x、y∈(-1,1)有f(x)+f(y)=f;
(ⅱ)當(dāng)x∈(-1,0)時,有f(x)>0,試研究f+f+…+f與f的關(guān)系.
解:由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(-1,1)上的奇函數(shù)且是減函數(shù).
f=f
=f
=f+f=f-f,
∴f+f+…+f
=++…+
=f-f.
∵0<<1,∴f<0.
∴f-f>f.
∴f+f+…+f>f.