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1、高中理科數(shù)學(xué)解題方法篇（定點定線定值） 1.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為． （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)． 【標(biāo)準(zhǔn)答案】(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， (II)設(shè)，由得， ，. 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，， (最好是用向量點乘來)， ， ，解得，且滿足. 當(dāng)時，，直線過定點與已知矛盾； 當(dāng)時，，直線過定點 綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為 2.已知橢圓過點，且離心率。 （Ⅰ）求

2、橢圓方程； （Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點、，且線段的垂直平分線過定點，求的取值范圍。 解：（Ⅰ）離心率，，即（1）； 又橢圓過點，則，（1）式代入上式，解得，，橢圓方程為。 （Ⅱ）設(shè)，弦MN的中點A 由得：， 直線與橢圓交于不同的兩點， ，即………………（1） 由韋達定理得：， 則， 直線AG的斜率為：， 由直線AG和直線MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，則。 3.過拋物線（＞0）上一定點＞0），作兩條直線分別交拋物線于，，求證：與的斜率存在且傾斜角互補時，直線的斜率為非零常數(shù)． 【解析】設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為． 由 相減得，

3、 故 同理可得， 由傾斜角互補知： ∴ ∴ 由 相減得， ∴ ∴直線的斜率為非零常數(shù)． 題型：動弦過定點的問題 例題5、（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3；最小值為1； （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。 分析：第一問，是待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，直線與橢圓C相交于A，B兩點，并且橢圓的右頂點和A、B的連線互相垂直，證明直線過定點

4、，就是通過垂直建立k、m的一次函數(shù)關(guān)系。 解（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， （II）設(shè)，由得 ， ， （注意：這一步是同類坐標(biāo)變換） （注意：這一步叫同點縱、橫坐標(biāo)間的變換） 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點且， ，， ， ，解得，且滿足 當(dāng)時，，直線過定點與已知矛盾； 當(dāng)時，，直線過定點 綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為 練習(xí)1.直線和拋物線相交于A、B，以AB為直徑的圓過拋物線的頂點，證明：直線過定點，并求定點的坐標(biāo)。 分析：以AB為直徑的圓過拋物線的頂點O，則OAOB，若設(shè)，則，再通過，將條件轉(zhuǎn)化為，再通過直線和拋物線聯(lián)立，計算判別式后，可以得到

5、，，解出k、m的等式，就可以了。 解：設(shè)，由得，，（這里消x得到的） 則………………（1） 由韋達定理，得：， 則， 以AB為直徑的圓過拋物線的頂點O，則OAOB，即， 可得，則， 即，又，則，且使（1）成立， 此時，直線恒過點。 名師指點：這個題是課本上的很經(jīng)典的題，例題5、（07山東理）就是在這個題的基礎(chǔ)上，由出題人遷移得到的，解題思維都是一樣的，因此只要能在平時，把我們騰飛學(xué)校老師講解的內(nèi)容理解透，在高考中考取140多分，應(yīng)該不成問題。 本題解決過程中，有一個消元技巧，就是直線和拋物線聯(lián)立時，要消去一次項，計算量小一些，也運用了同類坐標(biāo)變換——韋達定理，同點縱、橫

6、坐標(biāo)變換-------直線方程的縱坐標(biāo)表示橫坐標(biāo)。其實解析幾何就這么點知識，你發(fā)現(xiàn)了嗎？ 例題6、已知點A、B、C是橢圓E： 上的三點，其中點A是橢圓的右頂點，直線BC過橢圓的中心O，且，，如圖。 (I)求點C的坐標(biāo)及橢圓E的方程； (II)若橢圓E上存在兩點P、Q，使得直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱，求直線PQ的斜率。 解：(I) ，且BC過橢圓的中心O 又 點C的坐標(biāo)為。 A是橢圓的右頂點， ，則橢圓方程為： 將點C代入方程，得， 橢圓E的方程為 (II) 直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱， 設(shè)直線PC的斜率為，則直線QC的斜率為，從而直線PC

7、的方程為： ，即 ， 由消y，整理得： 是方程的一個根， 即 同理可得： ＝ ＝ ＝ 則直線PQ的斜率為定值。 方法總結(jié)：本題第二問中，由“直線PC與直線QC關(guān)于直線對稱”得兩直線的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線PC的斜率為k，就得直線QC的斜率為-k。利用是方程 的根，易得點P的橫坐標(biāo)： ，再將其中的k用-k換下來，就得到了點Q的橫坐標(biāo)： ，這樣計算量就減少了許多，在考場上就節(jié)省了大量的時間。 接下來，如果分別利用直線PC、QC的方程通過坐標(biāo)變換法將點P、Q的縱坐標(biāo)也求出來，計算量會增加許多。 直接計算、，就降低了計算量。總之，本題有兩處是需要同學(xué)們好

8、好想一想，如何解決此類問題，一是過曲線上的點的直線和曲線相交，點的坐標(biāo)是方程組消元后得到的方程的根；二是利用直線的斜率互為相反數(shù)，減少計算量，達到節(jié)省時間的目的。 練習(xí)1、已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求橢圓的方程； （II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。 解：（I）由已知橢圓C的離心率，,則得。 從而橢圓的方程為 （II）設(shè)，，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得 是方程的兩個根 則，， 即點

9、M的坐標(biāo)為 同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標(biāo)為 ， 直線MN的方程為：， 令y=0，得，將點M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得： 又， 橢圓的焦點為 ，即 故當(dāng)時，MN過橢圓的焦點。 方法總結(jié)：本題由點A1(-2,0)的橫坐標(biāo)－2是方程的一個根，結(jié)合韋達定理得到點M的橫坐標(biāo)： ，利用直線A1M的方程通過坐標(biāo)變換，得點M的縱坐標(biāo)：； 再將中的換下來，前的系數(shù)2用－2換下來，就得點N的坐標(biāo)，如果在解題時，能看到這一點，計算量將減少許多，并且也不易出錯，在這里減少計算量是本題的重點。否則，大家很容易陷入繁雜的運算中，并且算錯，費時耗精力，希望同學(xué)們認真體會其中的精

10、髓。 本題的關(guān)鍵是看到點P的雙重身份：點P即在直線上也在直線A2N上，進而得到，由直線MN的方程得直線與x軸的交點，即橫截距，將點M、N的坐標(biāo)代入，化簡易得，由解出，到此不要忘了考察是否滿足。 3、已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點的距離的最小值 為，離心率為﹒ （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）過點作直線交于、兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，為定值？若存在，求出這個定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由﹒ 解：（I）設(shè)橢圓E的方程為,由已知得： 。。。。。2分 橢圓E的方程為。。。。 3分 （Ⅱ）法一：假設(shè)存在符合條件的點，又設(shè)，則： 。。

11、。。。 5分 ①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，則 由得 7分 所以 9分 對于任意的值，為定值，所以，得， 所以； 11分 ②當(dāng)直線的斜率不存在時，直線 由得 綜上述①②知，符合條件的點存在，起坐標(biāo)為﹒ 13分 法二：假設(shè)存在點，又設(shè)則： =…. 5分 ①當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為， 由得 7分 9分 設(shè)則 11分 ②當(dāng)直線的斜率為0時，直線，由得： 綜上述①②知，符合條件的點存在，其坐標(biāo)為 。。。。13分 定點——定值 過定點問題 直線與曲線相交與兩點，求證

12、 變式： ① ② ③ x A y O B M ④如圖，拋物線上有兩點A（）、B（），且·＝0， 又＝（0，－2）， （1）求證：∥ 1.（07山東理）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3；最小值為1； （Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點。求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)。 解：(I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ， (II)設(shè)，由得， ，. 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點， ，， ， ，解得 ，且滿足.

13、當(dāng)時，，直線過定點與已知矛盾； 當(dāng)時，，直線過定點 綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為 ☆2. 已知橢圓C：的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求橢圓的方程； （II）若直線與x軸交于點T,點P為直線上異于點T的任一點，直線PA1,PA2分別與橢圓交于M、N點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結(jié)論。 （I）由已知橢圓C的離心率，,則得。 從而橢圓的方程為 （II）設(shè)，，直線的斜率為,則直線的方程為，由消y整理得 是方程的兩個根， 則，， 即點M的坐標(biāo)為， 同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2，則得點N的坐標(biāo)為 ，

14、直線MN的方程為：， 令y=0，得，將點M、N的坐標(biāo)代入，化簡后得： 又， 橢圓的焦點為 ，即 故當(dāng)時，MN過橢圓的焦點。 3.☆（2010江蘇）18.（16分）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左右頂點為A,B，右焦點為F，設(shè)過點的直線TA,TB與橢圓分別交于點，，其中. ⑴設(shè)動點P滿足PF2－PB2=4,求點P的軌跡 ⑵設(shè)x1=2,x2=，求點T的坐標(biāo) ⑶設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標(biāo)與m無關(guān)) 圓過定點 4.（08江蘇）18．設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點，經(jīng)過這三個交點的圓記為C．

15、（Ⅰ）求實數(shù)b 的取值范圍； （Ⅱ）求圓C 的方程； （Ⅲ）問圓C 是否經(jīng)過某定點（其坐標(biāo)與b 無關(guān)）？請證明你的結(jié)論． 解：（Ⅰ）令＝0，得拋物線與軸交點是（0，b）； 令，由題意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0． （Ⅱ）設(shè)所求圓的一般方程為 令＝0 得這與＝0 是同一個方程，故D＝2，F(xiàn)＝． 令＝0 得＝0，此方程有一個根為b，代入得出E＝―b―1． 所以圓C 的方程為. （Ⅲ）圓C 必過定點（0，1）和（－2，1）． 證明如下：將（0，1）代入圓C 的方程，得左邊＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0， 所以圓C 必過定點（0，1）． 同理可證圓

16、C 必過定點（－2，1）． 5.已知橢圓,點是橢圓上異于頂點的任意一點,過點作橢圓的切線,交軸與點直線過點且垂直與,交軸與點試判斷以為直徑的圓能否經(jīng)過定點？若能,求出定點坐標(biāo);若不能,請說明理由. 解:設(shè)點,直線的方程為代入, 整理得. 是方程的兩個相等實根, 解得[或根據(jù)求導(dǎo)解得] 直線的方程為令,得點的坐標(biāo)為 又點的坐標(biāo)為 又直線的方程為令,得點的坐標(biāo)為 以為直徑的圓方程為 整理得由得 以為直徑的圓恒過定點和 6.如圖，點A，B，C是橢圓的三個頂點，D是OA的中點，P、Q是直線上的兩個動點。 （Ⅰ）當(dāng)點P的縱坐標(biāo)為1時，求證：直線CD與BP的交點在橢圓

17、上； （Ⅱ）設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，，試判斷以線段PQ為直徑的圓是否恒過定點，請說明理由。 解：（Ⅰ）由題意，時，直線CD方程為， 直線BP方程為, --------------2分 由方程組 解得， -----------------------------------3分 +=+=1， ∴在橢圓上， ∴直線 CD 與BP的交點在橢圓上． -------------------------------5分 （Ⅱ）∵∴，∴， ∴焦點，． -----------6分 設(shè)，，

18、 -------------8分 ， ， 線段PQ為直徑的圓圓心是的中點（4，），半徑為， 圓的方程為 ----------10分 ------------------------------------------12分 令，得 ∴ 或 ， 以線段為直徑的圓恒過定點． ----------13分 定值 7.已知定點C(－1,0)及橢圓x2＋3y2＝5，過點C的動直線與橢圓相交于A，B兩點，在x軸上是否存在點M，使·為常數(shù)？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明

19、理由． 解析　假設(shè)在x軸上存在點M(m,0)，使·為常數(shù)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①當(dāng)直線AB與x軸不垂直時，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)，將y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0. 則 所以·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1) ＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2. 整理得·＝＋m2＝＋m2 ＝m2＋2m－－. 注意到·是與k無關(guān)的常數(shù)，從而有6m＋14＝0，m＝－， 此時·＝. ②當(dāng)

20、直線AB與x軸垂直時，此時點A，B的坐標(biāo)分別為A(－1，)、 B(－1，－)， 當(dāng)m＝－時，亦有·＝. 綜上，在x軸上存在定點M(－，0)，使·為常數(shù)． 8.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交于兩點． （I）若動點滿足（其中為坐標(biāo)原點），求點的軌跡方程； （II）在軸上是否存在定點，使·為常數(shù)？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：由條件知，，設(shè)，． 解法一：（I）設(shè)，則則，， ，由得 即 于是的中點坐標(biāo)為． 當(dāng)不與軸垂直時，，即． 又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得 ，即． 將代入上式，化簡得． 當(dāng)與軸垂直時，，求得

21、，也滿足上述方程． 所以點的軌跡方程是． （II）假設(shè)在軸上存在定點，使為常數(shù)． 當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是． 代入有． 則是上述方程的兩個實根，所以，， 于是 ． 因為是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時=． 當(dāng)與軸垂直時，點的坐標(biāo)可分別設(shè)為，， 此時． 故在軸上存在定點，使為 .9.已知橢圓:點的坐標(biāo)為,過橢圓右焦點且斜率為的直線與橢圓相交于兩點,對于任意的是否為定值？若是求出這個定值;若不是,請說明理由. 解析:由已知得直線的方程為由消去得 設(shè) 則 由此可知,為定值. 10.（07湖北理科）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過定點C（0，p）作直線

22、與拋物線x2=2py（p>0）相交于A、B兩點。 （Ⅰ）若點N是點C關(guān)于坐標(biāo)原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值； （Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。（此題不要求在答題卡上畫圖） Ⅰ）依題意，點N的坐標(biāo)為N（0,-p）,可設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2），直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得消去y得x2-2pkx-2p2=0. 由韋達定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2. 于是 ＝ ＝ . （Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點為徑的圓相交于點P、Q，PQ的中點為H，則 ＝. = ＝ = 令，得為定值，故滿足條件的直線l存在， 其方程為，即拋物線的通徑所在的直線.