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(福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時(shí) 立體幾何中的向量方法課時(shí)闖關(guān)(含解析)

上傳人:xian****hua 文檔編號(hào):147617358 上傳時(shí)間:2022-09-02 格式:DOC 頁(yè)數(shù):9 大?。?31KB
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1、 (福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第8課時(shí) 立體幾何中的向量方法課時(shí)闖關(guān)(含解析) 一、選擇題 1.(原創(chuàng)題)如果平面的一條斜線和它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a=(0,2,1),b=(,,),那么這條斜線與平面的夾角是(  ) A.90°          B.60° C.45° D.30° 解析:選D.cosθ==,因此a與b的夾角為30°.從而可得斜面與平面的夾角為30°. 2.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是正方形ADD1A1和ABCD的中心,G是CC1的中點(diǎn),設(shè)GF、C1E與AB所成的角分別為α、β,則α+β等于(

2、  ) A.120°     B.60° C.75° D.90° 解析:選D.建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則B(2,0,0),A(2,2,0),G(0,0,1),F(xiàn)(1,1,0),C1(0,0,2),E(1,2,1). 則=(0,2,0),=(1,1,-1),=(1,2,-1), ∴cos〈,〉=, cos〈,〉=,∴cosα=,sinα=, cosβ=,sinβ=,∴α+β=90°, 故選D. 3.(2010·高考大綱全國(guó)卷Ⅰ)正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的余弦值為(  ) A.            B. C.

3、 D. 解析:選D.如圖,連接BD交AC于O,連接D1O.由于BB1∥DD1,∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角.易知∠DD1O即為所求.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則DD1=1,DO=, D1O=,∴cos∠DD1O===. ∴BB1與平面ACD1所成角的余弦值為. 4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是CC1的中點(diǎn),則異面直線AB1與A1M所成的角為(  ) A.60° B.45° C.30° D.90° 解析:選D.建立坐標(biāo)系如圖所示, 易得M(0,0,),A1(0,,0), A(

4、0,,),B1(1,0,0), ∴=(1,-,-),=(0,-,). ∴·=1×0+3-=0, ∴⊥.即AB1⊥A1M. 5.已知在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為4,則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離是(  ) A. B. C. D. 解析:選C.如圖建立坐標(biāo)系Dxyz, 則A1(2,0,4),A(2,0,0), B1(2,2,4),D1(0,0,4), =(-2,0,4),=(0,2,4),=(0,0,4), 設(shè)平面AB1D1的法向量為n=(x,y,z), 則 即 解得x=2z且y=-2z,不妨設(shè)n=(2,-2,1), 設(shè)點(diǎn)

5、A1到平面AB1D1的距離為d, 則d==,故選C. 二、填空題 6.(2012·漳州調(diào)研)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為__________. 解析:建立坐標(biāo)系如圖, 則A(1,0,0),E(0,2,1), B(1,2,0),C1(0,2,2), ∴=(-1,0,2), =(-1,2,1), ∴cos〈,〉= =. 答案: 7.如圖所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等,D是A1C1的中點(diǎn),則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為________. 解析:不妨設(shè)

6、正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)為2,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(x軸垂直于AB), 則C(0,0,0),A(,-1,0),B1(,1,2),D(,-,2), 則=(,-,2),=(,1,2). 設(shè)平面B1DC的法向量為n=(x,y,1), 由解得n=(-,1,1). 又∵=(,-,-2),∴sinθ=|cos〈,n〉|=. 答案: 8.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AA1=2,則二面角C1-AB-C的余弦值為__________. 解析:如圖建立空間直角坐標(biāo)系, 則A(0,0,0),=(0,1,2), =(,,0). 設(shè)n=(x,y,z)為平

7、面ABC1的法向量, 則取n=(-,2,-1), 同理取m=(0,0,1)作為平面ABC的法向量. 則cos〈m,n〉=-=-. ∴二面角C1-AB-C的余弦值為. 答案: 三、解答題 9.(2010·高考天津卷)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱BC,CC1上的點(diǎn),CF=AB=2CE,AB∶AD∶AA1=1∶2∶4. (1)求異面直線EF與A1D所成角的余弦值; (2)證明AF⊥平面A1ED; (3)求二面角A1-ED-F的正弦值. 解:如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)AB=1,依題意得D(0,2,0),F(xiàn)(1,2,1),A1(0

8、,0,4),E(1,,0). (1)易得=(0,,1),=(0,2,-4),于是cos〈,〉==-. 所以異面直線EF與A1D所成角的余弦值為. (2)證明:易知=(1,2,1),=(-1,-,4),=(-1,,0),于是·=0,·=0.因此,AF⊥EA1,AF⊥ED. 又EA1∩ED=E,所以AF⊥平面A1ED. (3)設(shè)平面EFD的法向量u=(x,y,z),則 即不妨令x=1,可得u=(1,2,-1), 由(2)可知,為平面A1ED的一個(gè)法向量,于是cos〈u,〉==,從而sin〈u,〉=. 所以二面角A1-ED-F的正弦值為. 10.四棱錐P-ABCD的底面與四個(gè)側(cè)

9、面的形狀和大小如圖所示. (1)寫出四棱錐P-ABCD中四對(duì)線面垂直關(guān)系(不要求證明); (2)在四棱錐P-ABCD中,若E為PA的中點(diǎn),求證:BE∥平面PCD; (3)在四棱錐P-ABCD中,設(shè)面PAB與面PCD所成的角為θ(0°<θ≤90°),求cosθ的值. 解:(1)在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,AB⊥平面PAD.CD⊥平面PAC. (2)依題意AB,AD,AP兩兩垂直,分別以直線AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如上圖. 則P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0).

10、 ∵E是PA的中點(diǎn),∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,0,1), =(-2,0,1),=(2,2,-2),=(0,4,-2). 設(shè)n1=(x,y,z)是平面PCD的法向量. 由即 取y=1,得n1=(1,1,2)為平面PCD的一個(gè)法向量. ∵·n1=-2×1+0×1+1×2=0,∴⊥n1, ∴∥平面PCD.又BE?平面PCD,∴BE∥平面PCD. (3)由(2),平面PCD的一個(gè)法向量為n1=(1,1,2). 又∵AD⊥平面PAB, ∴平面PAB的一個(gè)法向量為n2=(0,1,0). ∴cosθ=||==. 一、選擇題 1.如圖所示,A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠BCA=90°

11、,點(diǎn)D1、F1分別是A1B1和A1C1的中點(diǎn),若BC=CA=CC1,則BD1與AF1所成角的余弦值為(  ) A. B. C. D.- 解析: 選A.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系, 設(shè)BC=CA=CC1=2,則A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),A1(2,0,2),B1(0,2,2). ∵D1、F1為A1B1、A1C1的中點(diǎn), ∴D1(1,1,2),F(xiàn)1(1,0,2), ∴=(1,-1,2),=(-1,0,2), ∴·=(1,-1,2)·(-1,0,2)=3, ||==,||==, ∴cos〈,〉===. 2.(2010·高考北京卷)如圖

12、,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,動(dòng)點(diǎn)E、F在棱A1B1上,動(dòng)點(diǎn)P,Q分別在棱AD,CD上,若EF=1,A1E=x,DQ=y(tǒng),DP=z(x,y,z大于零),則四面體PEFQ的體積(  ) A.與x,y,z都有關(guān) B.與x有關(guān),與y,z無關(guān) C.與y有關(guān),與x,z無關(guān) D.與z有關(guān),與x,y無關(guān) 答案:D 二、填空題 3.已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點(diǎn),若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為________. 解析:過CD作平面PCD,使AB⊥平面PCD,交AB與P,設(shè)點(diǎn)P到CD的距離為h,則有V四面體ABCD=×2××2×h=h,當(dāng)直徑通過A

13、B與CD的中點(diǎn)時(shí),hmax=2=2,故Vmax=. 答案: 4.(2011·高考湖北卷)如圖,直角坐標(biāo)系xOy所在的平面為α,直角坐標(biāo)系x′Oy′(其中y′軸與y軸重合)所在的平面為β,∠xOx′=45°. (1)已知平面β內(nèi)有一點(diǎn)P′(2,2), 則點(diǎn)P′在平面α內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為________; (2)已知平面β內(nèi)的曲線C′的方程是 (x′-)2+2y′2-2=0,則曲線C′在平面α內(nèi)的射影C的方程是________. 解析:(1)設(shè)點(diǎn)P′在平面α內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為x,y,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)和P′(2,2)縱坐標(biāo)相同,所以y=2,過點(diǎn)P′作P′H⊥Oy,垂足為H, 連結(jié)PH,

14、則∠P′HP=45°,P橫坐標(biāo) x=PH=P′Hcos45°=x′cos45°=2×=2, 所以點(diǎn)P′在平面α內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為(2,2); (2)由(1)得x=x′cos45°=x′×,y′=y(tǒng), 所以代入曲線C′的方程 (x′-)2+2y′2-2=0,得(x-)2+2y2-2=0?(x-1)2+y2=1,所以射影C的方程填(x-1)2+y2=1. 答案:(2,2) (x-1)2+y2=1 三、解答題 5.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面A1ABB1和BCC1B1是兩個(gè)全等的正方形,AC1⊥平面A1DB,D為AC的中點(diǎn). (1)求證:平面A1ABB1⊥平面

15、BCC1B1; (2)求證:B1C∥平面A1DB; (3)設(shè)E是CC1上一點(diǎn),試確定點(diǎn)E的位置,使平面A1DB⊥平面BDE,并說明理由. 解:(1)證明:如圖,連結(jié)AB1交A1B于O點(diǎn),連結(jié)OD. ∵AC1⊥平面A1DB,A1B?平面A1DB, ∴AC1⊥A1B. 又在正方形A1ABB1中,A1B⊥AB1,AC1∩AB1=A. ∴A1B⊥面AC1B1. 又B1C1?面AC1B1, ∴A1B⊥B1C1. ∵在正方形BCC1B1中有B1C1⊥BB1, 又BB1∩A1B=B, ∴B1C1⊥平面A1ABB1. ∴平面A1ABB1⊥平面BCC1B1. (2)證明:由(1)

16、知BC,BB1,BA兩兩垂直, 如圖以B為原點(diǎn),BC,BB1,BA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1, 則C(1,0,0),C1(1,1,0),B1(0,1,0),A1(0,1,1),A(0,0,1),D(,0,). 由AC1⊥平面A1DB,得平面A1DB的一個(gè)法向量為n==(1,1,-1). ∵=(1,-1,0), ∴·n=(1,-1,0)·(1,1,-1)=1-1+0=0. 又B1C?平面A1DB,∴B1C∥平面A1DB. (3)設(shè)點(diǎn)E(1,b,0),平面BDE的法向量為m=(x,y,z),則由得 令y=1,則m=(-b,1,b), 由m·n

17、=(-b,1,b)·(1,1,-1)=0,得b=, 即當(dāng)E為CC1中點(diǎn)時(shí),平面A1DB⊥平面BDE. 6.(2011·高考四川卷)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1.D是棱CC1上的一點(diǎn),P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn),且PB1∥平面BDA1. 求證:CD=C1D; 求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值; 求點(diǎn)C到平面B1DP的距離. 解:法一:(1)證明:如圖所示,連接AB1,與BA1交于點(diǎn)O,連接OD, ∵PB1∥平面BDA1,PB1?平面AB1P, 平面AB1P∩平面BDA1=OD, ∴OD∥PB1.又AO=B1

18、O,∴AD=PD. 又AC∥C1P,∴CD=C1D. 如圖所示,過點(diǎn)A作AE⊥DA1于點(diǎn)E,連接BE. ∵BA⊥CA,BA⊥AA1,且AA1∩AC=A, ∴BA⊥平面AA1C1C. 由三垂線定理可知BE⊥DA1, ∴∠BEA為二面角A-A1D-B的平面角. 在Rt△A1C1D中,A1D= =, 又S△AA1D=×1×1=×·AE, ∴AE=. 在Rt△BAE中,BE==, ∴cos∠BEA==. 故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值為. 由題意知,點(diǎn)C到平面B1DP的距離是點(diǎn)C到平面DB1A的距離.設(shè)此距離為h, ∵VC-AB1D=VB1-ACD, ∴S△D

19、B1A·h=S△ACD·B1A1. 由已知可得AP=,PB1=,AB1=, ∴在等腰△AB1P中, S△AB1P=AB1·=. ∴S△AB1D=S△AB1P=. 又S△ACD=AC·CD=,∴h==. 故點(diǎn)C到平面B1DP的距離等于. 法二:如圖,以A1為原點(diǎn),A1B1,A1C1,A1A所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A1,B1,C1,B. 證明:設(shè)C1D=x,∵AC∥PC1,∴==. 由此可得D,P. ∴=,=, =. 設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為n1=, 則 令c=-1,則n1=.∵PB1∥平面BDA1, ∴n1·=1×+x·+×0=0. 由此可得x=.故CD=C1D. 由知,平面BA1D的一個(gè)法向量n1=. 又n2=為平面AA1D的一個(gè)法向量, ∴cos〈n1,n2〉===. 故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值為. ∵=,=, 設(shè)平面B1DP的一個(gè)法向量為n3=. 則 令c1=1,可得n3=. 又=, ∴C到平面B1DP的距離d==.

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