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1、(江蘇專用)2013年高考數(shù)學總復習 第二章第7課時 函數(shù)的圖象及函數(shù)與方程 隨堂檢測(含解析)
1.(2010·高考湖南卷改編)函數(shù)y=ax2+bx與y=log||x(ab≠0,|a|≠|(zhì)b|)在同一直角坐標系中的圖象可能是________.
解析:對于①、②由對數(shù)函數(shù)圖象得||>1,而拋物線對稱軸|-|<,∴||<1,∴①②不正確;對于③中對稱軸-<-,則||>1,而對數(shù)底數(shù)||<1,∴③不成立.而④中,由圖象知a>0,->-,∴||∈(0,1),滿足y=log||x為減函數(shù).
答案:④
2.
如圖是兩個函數(shù)在定義域[-2,3]上的圖象,給出下列函數(shù)及其相應的
2、圖象,則其中正確的是________.
①y=;②y=[g(x)]2;③y=f(x)-g(x).
解析:根據(jù)f(x),g(x)的定義域、值域、單調(diào)性可知②③錯誤.
答案:①
3.方程2-x+x2=3的實數(shù)解的個數(shù)為________.
解析:
方程變形為3-x2=2-x=()x,令y=3-x2,y=()x.
由圖象可知有2個交點.
答案:2
4.設x0是方程2x+x-8=0的解,且x0∈(k,k+1),k∈Z,則k=________.
解析:設y1=2x,y2=8-x,在同一坐標系內(nèi)作出它們的圖象,可見這兩圖象有且只有一個交點且這個交點橫坐標在2和3之間,故k=2
3、.
答案:2
5.作出下列函數(shù)的簡圖.
(1)y=|2x-1|;(2)y=2-|x|;
(3)y=e|lnx|;(4)y=|(lg(1-x)|.
解:(1)先作出函數(shù)y=2x的圖象,將其圖象向下平移一個單長度,得到y(tǒng)=2x-1的圖象,然后再將x軸下方的部分沿x軸翻折到上方,得到函數(shù)y=|2x-1|的圖象,如圖(1).
(2)y=2-|x|=,
分別作出y=2x(x≤0)及y=()x的圖象,如圖(2).
(3)y=e|lnx|=,所以圖象如圖(3).
(4)首先作出y=lgx的圖象,將其沿y軸翻折得到y(tǒng)=lg(-x)的圖象,再將所得圖象沿x軸向右平移一個單位長度,得到y(tǒng)=lg(
4、1-x)的圖象,再將該圖象沿x軸將x軸下方的圖象翻折到x軸上方,得到y(tǒng)=|lg(1-x)|的圖象,如圖(4).
[A級 雙基鞏固]
一、填空題
1.若函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(1,1),則函數(shù)y=f(4-x)的圖象經(jīng)過點________.
解析:令4-x=1,
則函數(shù)y=f(4-x)的圖象過點(3,1).
答案:(3,1)
2.
已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則b的范圍為________.
解析:法一:(定性法)
根據(jù)解一元高次不等式的“數(shù)軸標根法”可知,圖象從右上端起,應有a>0;
又由圖象知f(x)=0的三個實根為非
5、負數(shù),
據(jù)根與系數(shù)的關系知
-=x1+x2+x3>0,即b<0.
法二:(定量法)
據(jù)圖象知f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,
∴?,
∴f(x)=-x3+bx2-x=-x(x-1)(x-2),
當x>2時,有f(x)>0,∴b<0.
法三:(模型函數(shù)法)
構造函數(shù)f(x)=a(x-0)(x-1)(x-2)=ax3+bx2+cx+d,
即ax3-3ax2+2ax=ax3+bx2+cx+d,
∴,又由圖象知x>2時,f(x)>0即a>0.
∴b=-3a<0,∴b∈(-∞,0).
答案:(-∞,0)
3.(2010·高考天津卷改編)函數(shù)f(x)=ex+x-2的零
6、點所在的區(qū)間可以是以下區(qū)間中的________.
①(-2,-1),②(-1,0),③(0,1),④(1,2)
解析:因為f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e-1>0,f(0)·f(1)<0,所以函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有一個零點,其他三個區(qū)間均不符合條件.
答案:③
4.(2010·高考福建卷改編)函數(shù)f(x)=的零點個數(shù)為________.
解析:由f(x)=0,得或解得x=-3或x=e2,故零點個數(shù)為2.
答案:2
5.已知函數(shù)f(x)=x是奇函數(shù),g(x)是定義在R上的偶函數(shù),當x>0時,g(x)=lnx,則函數(shù)y=f(x)·g(x)的圖象大致為_______
7、_.
解析:∵f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),∴f(x)·g(x)是奇函數(shù),故y=f(x)·g(x)圖象關于原點對稱.
排除②④,
當自變量x從正的趨向零時f(x)>0,g(x)<0,故f(x)·g(x)<0,故①正確.
答案:①
6.(2010·高考浙江卷改編)已知x0是函數(shù)f(x)=2x+的一個零點,若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),則f(x1),f(x2)的符號為________.
解析:
設y1=2x,y2=,在同一坐標系中作出其圖象,如圖,在(1,x0)內(nèi)y2=的圖象在y1=2x圖象的上方,即>2x1,所以2x1+<0,即f(x1)<0,同理f(x
8、2)>0.
答案:f(x1)<0,f(x2)>0
7.(2011·高考課標全國卷改編)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當x∈[-1,1]時f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lg x|的圖象的交點個數(shù)為________.
解析:如圖,作出圖象可知y=f(x)與y=|lg x|的圖象共有10個交點.
答案:10
8.命題甲:已知函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1-x),則f(x)的圖象關于直線x=1對稱.
命題乙:函數(shù)f(1+x)與函數(shù)f(1-x)的圖象關于直線x=1對稱.則甲、乙命題正確的是________.
解析:可舉實例說明如f(x)=2x,依次作出函
9、數(shù)f(1+x)與函數(shù)f(1-x)的圖象判斷.
答案:甲
二、解答題
9.設函數(shù)f(x)=|x2-4x-5|.
(1)畫出f(x)圖象;
(2)設A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2)∪[0,4]∪[6,+∞),試判斷集合A、B間關系;
(3)若在區(qū)間[-1,5]上直線y=kx+3k(k≠0)位于f(x)圖象的上方,求k的取值范圍.
解:
(1)f(x)=
.畫出f(x)圖象如圖所示.
(2)不等式f(x)≥5為|x2-4x-5|≥5,
故有x2-4x-5≥5或x2-4x-5≤-5,
即x2-4x-10≥0]14)或x≥2+,解*2得0≤x≤4,
故A=(-∞
10、,2-]∪[0,4]∪[2+,+∞),
∵2->-2,2+<6,
故BA.
(3)∵x∈[-1,5]時,x2-4x-5≤0,故|x2-4x-5|=-x2+4x+5,
據(jù)題意kx+3k>-x2+4x+5,當x∈[-1,5]時恒成立,
即k>在[-1,5]上恒成立,
設g(x)=,只要求出g(x)在[-1,5]上的最大值,
設t=x+3,則t∈[2,8],且x=t-3,
∴g(t)==-(t+)+10.
故當t=4時,g(t)max=2.
∴k>2.
10.設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-,3a>2c>2b.
(1)求證:a>0且-3<<-;
(2)求證:
11、f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點;
(3)若函數(shù)f(x)的兩個零點在區(qū)間[m,n]內(nèi),求n-m的最小值.
解:(1)證明:∵f(1)=-,∴a+b+c=-,故3a+2b+2c=0. *
又∵3a>2c>2b,∴3a>0即a>0.
又由*得2c=-3a-2b,而3a>2c,
故3a>-3a-2b,∴>-3.
又2c>2b,∴-3a-2b>2b,∴<-.
故有-3<<-.
(2)證明:∵f(0)=c,f(1)=-,
∴①若c>0,則f(0)f(1)=-<0,可知f(x)在(0,1)內(nèi)有零點,從而f(x)在(0,2)內(nèi)有零點;
②若c<0,f(2)=4a+2b+c=4a-
12、3a-2c+c=a-c>0而f(1)=-<0,故f(1)f(2)<0,可知f(x)在(1,2)內(nèi)至少有一個零點.
(3)設x1,x2是f(x)的兩個零點,則x1+x2=-,x1x2=,
∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=()2-=()2-=()2+4()+6.
令t=,由(1)可知t∈(-3,-),
于是|x1-x2|2=t2+4t+6=(t+2)2+2,
∴|x1-x2|2<.
于是n-m≥|x1-x2|≥,
∴n-m的最小值為.
[B級 能力提升]
一、填空題
1.已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點,則實數(shù)m的取值范圍是______
13、__.
解析:
函數(shù)f(x)=
的圖象如圖所示,
該函數(shù)的圖象與直線y=m有三個交點時m∈(0,1),此時函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點.
答案:(0,1)
2.若二次函數(shù)f(x)=x2+2mx+2m+1的兩個零點均在(0,1)內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍是________.
解析:若拋物線與x軸交點落在區(qū)間(0,1)內(nèi),
則?
所以-
14、-3≤t≤3.
又y=2sin πx=2sin π=2sin πt.
在同一坐標系下作出y=和y=2sin πt的圖象.
由圖可知兩函數(shù)圖象在上共有8個交點,且這8個交點兩兩關于原點對稱.
因此這8個交點的橫坐標的和為0,即t1+t2+…+t8=0.
也就是1-x1+1-x2+…+1-x8=0,
因此x1+x2+…+x8=8.
答案:8
4.設m,k為整數(shù),方程mx2-kx+2=0在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根,則m+k的最小值為________.
解析:方程mx2-kx+2=0在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根可轉化為二次函數(shù)f=mx2-kx+2在區(qū)間上有兩個不同的零點.
∵f=2,故需
15、滿足?
將k看做函數(shù)值,m看做自變量,畫出可行域如圖陰影部分所示,因為m,k均為整數(shù),結合可行域可知k=7,m=6時,m+k最小,最小值為13.
答案:13
二、解答題
5.已知f(x)是二次函數(shù),不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在[-1,4]上最大值為12.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在m∈N,使函數(shù)g(x)=f(x)+,在(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個零點,若存在,求出m之值,若不存在,說明理由.
解:(1)設f(x)=ax(x-5)(a>0),
對稱軸為x=,故f(x)在[-1,4]上最大值為f(-1)=6a,
∴a=2,故f(x)=2x
16、2-10x.
(2)據(jù)題意,方程2x2-10x+=0在(m,m+1)內(nèi)有兩個不同實根(m∈N),
即方程2x3-10x2+37=0在(m,m+1)(m∈N)內(nèi)有兩個不同實根.
設h(x)=2x3-10x2+37,
則h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10),
令h′(x)=0,則x1=0,x2=.
x
(-∞,0)
0
h′(x)
+
-
+
h(x)
↗
↘
↗
又h=-<0,h(3)=1>0,h(4)=5>0
故h(x)在和內(nèi)各有一零點,
∴g(x)在(3,4)內(nèi)有且只有兩個零點,
故存在滿足條件的m=3.
6.m
17、為何值時,f(x)=x2+2mx+3m+4.
(1)有且僅有一個零點;
(2)有兩個零點且均比-1大;
(3)若f(x)有一個零點x∈(0,1), 求m的取值范圍.
解:(1)若函數(shù)f(x)=x2+2mx+3m+4有且僅有一個零點,則等價于Δ=4m2-4(3m+4)=0,
即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0.
解得m=4或m=-1.
(2)法一:方程思想.
若f(x)有兩個零點且均比-1大,
設兩個零點分別為x1,x2,
則x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4,
故只需
??
故-5<m<-1,∴m的取值范圍是{m|-5<m<-1}.
法二:函數(shù)思想.
若f(x)有兩個零點且均比-1大,結合二次函數(shù)圖象可知只需滿足?
?故-5<m<-1,
∴m的取值范圍是{m|-5<m<-1}.
(3)若f(x)只有一個零點x∈(0,1),
則,即,方程無解.
若f(x)有兩個零點,其中有一個零點x∈(0,1),
則f(0)f(1)<0,即(3m+4)(5m+5)<0,
∴-<m<-1.
∴m的取值范圍為{m|-<m<-1}.