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1、
(福建專用)2013年高考數(shù)學總復習 第七章第7課時 雙曲線課時闖關(guān)(含解析)
一、選擇題
1.(2011·高考陜西卷)設拋物線的頂點在原點,準線方程為x=-2,則拋物線的方程是( )
A.y2=-8x B.y2=8x
C.y2=-4x D.y2=4x
解析:選B.設拋物線方程為y2=ax,則準線方程為x=-于是-=-2?a=8.
2.拋物線y=4x2的焦點坐標為( )
A.(0,1) B.(1,0)
C.(0,) D.(0,)
解析:選C.由x2=y(tǒng),∴p=.所以,焦點坐標為.
3.(2012·泉州質(zhì)檢)過拋物線y2=4x的焦點
2、的直線l交拋物線于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點,如果x1+x2=6,則|PQ|=( )
A.9 B.8
C.7 D.6
解析:選B.直線過焦點,|PQ|=|PF|+|QF|,將|PF|、|QF|轉(zhuǎn)化為到準線距離之和,故|PQ|=(x1+1)+(x2+1)=8.
4.設A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點,并且滿足OA⊥OB,則y1y2等于( )
A.-4p2 B.-3p2
C.-2p2 D.-p2
解析:選A.∵OA⊥OB,∴O·O=0.
∴x1x2+y1y2=0.①
∵A、B都在拋物線上,
∴∴
代入①得
3、·+y1y2=0,解得y1y2=-4p2.
5.(2010·高考山東卷)已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點,若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
解析:選B.∵y2=2px的焦點坐標為(,0),
∴過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y(tǒng)+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.
二、填空題
6.(2
4、010·高考重慶卷)已知過拋物線y2=4x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點,|AF|=2,則|BF|=________.
解析:設A(x0,y0),由拋物線定義知x0+1=2,∴x0=1,則直線AB⊥x軸,∴|BF|=|AF|=2.
答案:2
7.已知拋物線型拱橋的頂點距離水面2米時,測量水面寬為8米,當水面上升米后,水面的寬度是________米.
解析:設拋物線方程為x2=-2py(p>0),將(4,-2)代入方程得16=-2p·(-2),解得2p=8,
故方程為x2=-8y,水面上升米,則y=-,代入方程,得x2=-8·(-)=12,x=±2.
故水面寬4米.
答案
5、:4
8.過點M(1,0) 作直線與拋物線y2=4x交于A、B兩點,則+=________.
解析:設直線方程為y=k(x-1),代入y2=4x,得
k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=1,
∴+=+
==1.
答案:1
三、解答題
9.拋物線頂點在原點,它的準線過雙曲線-=1(a>0,b>0)的一個焦點,并與雙曲線實軸垂直,已知拋物線與雙曲線的一個交點為(,),求拋物線與雙曲線方程.
解:由題設知,拋物線以雙曲線的右焦點為焦點,準線過雙曲線的左焦點,∴p=2c,設拋物線方程為y2=4c·x.
∵拋物線
6、過點(,),∴6=4c·.
∴c=1,故拋物線方程為y2=4x.
又雙曲線-=1過點(,),
∴-=1.又a2+b2=c2=1,
∴-=1.
∴a2=或a2=9(舍).
∴b2=,故雙曲線方程為:4x2-=1.
10.(2012·蘇州高三調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中,動點P到定點F(1,0)的距離與定直線l:x=-1的距離相等.
(1)求動點P的軌跡E的方程;
(2)過點F作傾斜角為45°的直線m交軌跡E于點A,B,求△AOB的面積.
解:(1)設P(x,y),由拋物線定義知,點P的軌跡E為拋物線,方程為y2=4x.
(2)l:y=x-1,代入y2=4x,消去x得y2-
7、4y-4=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則|y2-y1|=4,
所以S△AOB=×|OF|×|y2-y1|=×1×4=2.
一、選擇題
1.(2011·高考大綱全國卷)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線y=2x-4與C交于A,B兩點.則cos∠AFB=( )
A. B.
C.- D.-
解析:選D.∵y2=4x得F(1,0),準線方程為x=-1,
由得A(1,-2),B(4,4).
則|AB|==3,
由拋物線的定義得|AF|=5,|BF|=2.
由余弦定理得cos∠AFB==-故選D.
2.如圖,F(xiàn)為拋物線y2=4x的焦點,A、B、C
8、為該拋物線上三點,若++=0,則||+||+||等于( )
A.6 B.4
C.3 D.2
解析:選A.由F(1,0)且++=0知F為△ABC的重心,設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則x1+x2+x3=3.
又||+||+||=x1+x2+x3+p=3+3=6.
二、填空題
3.已知拋物線C的頂點在坐標原點,焦點為F(1,0),直線l與拋物線C相交于A,B兩點,若AB的中點為(2,2),則直線l的方程為________.
解析:因為拋物線頂點在原點,焦點F(1,0),
故拋物線方程為y2=4x,設A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2
9、),
則y=4x1,y=4x2.
∴(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
∴kAB==1,
∴直線AB的方程為y-2=x-2,即y=x.
答案:y=x
4.對于拋物線y2=2x上任意一點Q,點P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,則a的取值范圍是________.
解析:設拋物線y2=2x上任意一點Q,點P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,若a≤0,顯然適合;若a>0,點P(a,0)都滿足|PQ|≥|a|,即a2≤2+y2,即a≤+1,此時00)交于A,B
10、兩點,且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O,OD⊥AB于點D,點D的坐標為(2,1),求拋物線的方程.
解:由題意得kOD=,
∵AB⊥OD,∴kAB=-2,又直線AB過點D(2,1),
∴直線AB的方程為y=-2x+5,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
∵以AB為直徑的圓過點O,∴O·O=0,
即x1x2+y1y2=0,
由得4x2-(2p+20)x+25=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴y1y2=(-2x1+5)(-2x2+5)
=4x1x2-10(x1+x2)+25=25-5p-50+25=-5p,
∴+(-5p)=0,∴p=,
∴拋物線方程為y2=x.
11、
6.(2012·廈門質(zhì)檢)已知點F(1,0)和直線l1:x=-1,直線l2過直線l1上的動點M且與直線l1垂直,線段MF的垂直平分線l與直線l1相交于點P.
(1)求點P的軌跡C的方程;
(2)設直線PF與軌跡C 相交于另一點Q,與直線l1相交于點N,求·的最小值.
解:(1)連接PF(圖略),因為MF的垂直平分線l交l2于點P,
所以|PF|=|PM|.
即點P到定點F(1,0)的距離等于點P到直線l1:x=-1的距離.
由拋物線的定義,點P的軌跡為拋物線y2=4x.
(2)法一:設P(x1,y1),Q(x2,y2).
直線PF:y=k(x-1).
代入y2=4x得:
k2x2-(2k2+4)x+k2=0,有k≠0且Δ>0.
并且,
而N(-1,-2k),=(x1+1,k(x1+1)).
=(x2+1,k(x2+1)),
·=(k2+1)[x1x2+(x1+x2)]=4
≥4·=16.
當且僅當k=±1時取等號.
綜上,·的最小值為16.