《2013高考數(shù)學(xué) 秒殺必備 數(shù)列通項(xiàng)公式的若干求法及轉(zhuǎn)化思想論文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013高考數(shù)學(xué) 秒殺必備 數(shù)列通項(xiàng)公式的若干求法及轉(zhuǎn)化思想論文（16頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的若干求法及轉(zhuǎn)化思想 求通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)。由于求通項(xiàng)公式時(shí)滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，因此求解過程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強(qiáng)?，F(xiàn)舉數(shù)例。 一． 觀察法 已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而 根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。 例1 ：已知數(shù)列 寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。 例2：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式： （1）4，44，444，4444，… （2） （3） （4） 二． 公式法 （1）當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。 例1： 已知數(shù)

2、列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)， 求數(shù)列{ a n }和{ b n }的通項(xiàng)公式； （2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，通常用公式。 用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”即a1和an合為一個(gè)表達(dá)式。 例1、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為：① ② 求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 三． 由遞推式求數(shù)列通項(xiàng) 對于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常

3、可以通過遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。稱輔助數(shù)列法。 例題：已知數(shù)列｛｝中，，，寫出數(shù)列的前5項(xiàng)。（課本習(xí)題）。 變式1：已知數(shù)列｛｝中，，。求 變式2：已知數(shù)列｛｝中，，。求 變式3：已知數(shù)列｛｝中，，。求 變式4：已知數(shù)列｛｝中，，。求 變式5：已知數(shù)列｛｝中，，。求 變式3：已知數(shù)列｛｝中，，。求 變式6：已知數(shù)列｛｝中，，。求 變式7：已知數(shù)列｛｝中，，。求 變式8：已知數(shù)列｛｝中，，。求 類型Ⅰ：（一階遞歸） 由等差，等比演化而來的“差型”，“商型”遞推關(guān)系 ①等差數(shù)列： 由此推廣成差型遞推關(guān)

4、系： 累加： = ，于是只要可以求和就行。 類型1 遞推公式為 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為， （特殊情形：⑴.（差后等差數(shù)列）⑵ （差后等比數(shù)列）） 利用累加法求解。 例1．已知｛｝滿足，且，求 例2．已知｛｝滿足，且，求 例3．已知｛｝滿足，且，求 例4. 已知數(shù)列滿足，求。 ②等比數(shù)列： 由此推廣成商型遞推關(guān)系： 累乘： 類型2遞推公式為 解法：（1）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法求解。 例1．已知｛｝滿足，且，求 例2．已知｛｝滿足，且，求 例4．（1）. 已知數(shù)列滿足，求。 例題1。已知數(shù)列滿足： 求證：① ②是偶數(shù) （由和確定的

5、遞推數(shù)列的通項(xiàng)可如下求得： （2）由已知遞推式有 依次向前代入，得 ，簡記為。 這就是疊代法的基本模式。 例3已知，求。 解： 。 1、已知數(shù)列{an}滿足，求{an}的通項(xiàng)公式 類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為： 其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。 例1. 已知數(shù)列中，，求。 類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 解法：該類型較類型3要復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得： 引入輔助數(shù)列（其中），得： 再應(yīng)用類型3的方法解決。 例1. 已知數(shù)列中，，求

6、。 例2. 已知數(shù)列中，，求。 類型5。型的 利用轉(zhuǎn)化為型，或型 即混合型的轉(zhuǎn)化為純粹型的 例題1． 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足 (Ⅰ)寫出數(shù)列的前3項(xiàng) (Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; 分析：---------------① 由得----------------② 由得，，得--------------③ 由得，，得---------④ 用代得 -----------⑤ ①—⑤： 即----------------------------⑥ ---------------------------⑦ 例題2。數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，已知證明：

7、 數(shù)列是等比數(shù)列；（全國卷（二）理科19題） 方法1∵ ∴ 整理得 所以 故是以2為公比 的等比數(shù)列. 方法2：事實(shí)上，我們也可以轉(zhuǎn)化為，為一個(gè)商型的遞推關(guān)系， 由= 1．｛｝是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為，對所有的n，與2的等差中項(xiàng)等于與2的等比中項(xiàng) （1）寫出｛｝的前三項(xiàng)； （2）求｛｝的通項(xiàng)。 2．在數(shù)列｛｝中，已知，求 3．已知數(shù)列{an}的前n和滿足求此數(shù)列的通項(xiàng)公式。 4． 已知數(shù)列前n項(xiàng)和。 （1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式。 5．（北京卷)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且，求：

8、 （Ⅰ）的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）的值. （ ） 由遞推數(shù)列公式求數(shù)列通項(xiàng)公式的解題方法是數(shù)學(xué)中針對性較強(qiáng)的一種數(shù)學(xué)解題方法，它從一個(gè)側(cè)面體現(xiàn)數(shù)學(xué)的研究方法，體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)理念，是培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性的極好的范例。注意一題多解； 例1：已知數(shù)列滿足， （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 解法1：（構(gòu)造法Ⅰ） ， 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 即 解法2：（構(gòu)造法Ⅱ） ……① ……② ①、②兩式相減得 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 即 解法3：（階差法） 由， 可得：

9、……… 以上n式相加得 即 解法五：（迭代法） 由， 可得： 即 總之，以上方法融會貫通可以解決關(guān)于遞推數(shù)列公式求數(shù)列通項(xiàng)公式變形問題，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。 同式題：.已知數(shù)列｛｝，，則＝ 當(dāng)然，還有一些轉(zhuǎn)化的方法和技巧，如基本的式的變換，象因式分解，取倒數(shù)、對數(shù)等還是要求掌握的。 四、轉(zhuǎn)化為常見類型求解： （1）倒數(shù)變換法： 形如 （為常數(shù)，且）的遞推公式，可令。則可轉(zhuǎn)化為型； 例1：數(shù)列中，且，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. （2）對數(shù)變換法：例：已知數(shù)列滿足，求。 當(dāng)然，轉(zhuǎn)化方法不是一成不變的，但其本質(zhì)是構(gòu)造、轉(zhuǎn)化為上

10、述常見形式數(shù)列問題求解。 如比例變換； 例1、設(shè)數(shù)列滿足下列條件，求。 （可化為，再取對數(shù)） 例2、設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項(xiàng)： （1） （2） （3） 解：（1） 令則， 本題用除遞推式兩邊，再進(jìn)行變量代換，就可轉(zhuǎn)化為“型”， 可得 （2）遞推式兩邊同除以，得，就可轉(zhuǎn)化為“型”，當(dāng)然，也可以在遞推式兩邊同除以，得， 則可轉(zhuǎn)化為“型”，所以得 （3）遞推式兩邊同取對數(shù)，得 令，則 ，已轉(zhuǎn)化為“型”，由累乘相消法可得 一般掌握下列轉(zhuǎn)化思想即可；尤其對分式型遞推關(guān)系。 1、利用倒數(shù)轉(zhuǎn)化為：（1）；（2） 2、求前若干項(xiàng)觀察項(xiàng)間周期性等 練習(xí)：1、已知

11、 求： 2、已知a1=1, an+1= ，求an 3、已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝0，且，則（ A ） A 0；B ；C ；D 變式：（1）、已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝0，且，Sn表示數(shù)列｛an｝的n前項(xiàng)和則 （2）、已知滿足，則數(shù)列前26項(xiàng)的和為：（B ） A．0 B．－1 C．－8 D．－10 （3）、已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝3，且，An表示數(shù)列｛an｝的n前項(xiàng)和則3 3、（2006年江西卷）已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝ （1） 求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式； 解：將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為 1－

12、＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝（n31）…………1° 練習(xí)：設(shè)數(shù)列滿足下列條件，試求各通項(xiàng)： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 類型Ⅲ：=p+q (p、q均為常數(shù))（二階遞歸） =p+q -＝（-）∴解出、因此 ｛-｝是G.P 特殊地 型 分析：∵ ∴ ∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列 例1、，， ，求 例2：a1=1，a2= =-,求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式。 -＝（-）解得：＝1、＝ -＝（-）， a2-a

13、1= ∴-= ∴＝（-）+（-）+┈+（a2-a1）+a1=++┈++1=3-. ∴＝3- 同式題：已知a1=1, a2=3，an+2=3an+1-2 an ， 求an 雙數(shù)列型 解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。 例7. 已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時(shí)，，求。 解：因 所以 即 又因?yàn)? 所以 即 由<1>、<2>得： 例9．?dāng)?shù)列中，且滿足 ⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式； ⑵設(shè)，求； ⑶設(shè)=，是否存在最大的整數(shù)，使得對任意，均有成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。 3、已知數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，

14、并且， ⑴設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列； ⑵設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； ⑶求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和。 分析：由于和{c}中的項(xiàng)都和{a}中的項(xiàng)有關(guān)，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入點(diǎn)探索解題的途徑． 解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a．(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練) a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b ① 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 ② 由①和②得，數(shù)列是首項(xiàng)為3，

15、公比為2的等比數(shù)列，故b=3·2． （2006年江蘇卷）設(shè)數(shù)列、、滿足：，（n=1,2,3,…）， 　　　證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,…） 證明：必要性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則： ==-=0， ∴（n=1,2,3,…）成立； 又=6（常數(shù)）（n=1,2,3,…） ∴數(shù)列為等差數(shù)列。 充分性：設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（n=1,2,3,…）， ∵……① ∴……② ①－②得：= ∵ ∴……③ 從而有……④ ④－③得：……⑤ ∵，，， ∴由⑤得：（n=1,2,3,…）， 由此，不妨設(shè)（n=1,2,3,…）

16、，則（常數(shù)） 故……⑥ 從而……⑦ ⑦－⑥得：， 故（常數(shù)）（n=1,2,3,…）， ∴數(shù)列為等差數(shù)列。 綜上所述：為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（n=1,2,3,…）。 又稱派生數(shù)列 【高考熱點(diǎn)】 1. 所謂派生數(shù)列，是指利用一個(gè)或幾個(gè)已知數(shù)列產(chǎn)生新數(shù)列。例如，從一個(gè)數(shù)列中按一定的規(guī)律抽取一部分項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列（子數(shù)列）；又如數(shù)列的前n項(xiàng)的和數(shù)列、或由構(gòu)成新的數(shù)列、或由兩個(gè)數(shù)列、構(gòu)成新的數(shù)列等等。 2. 派生數(shù)列是綜合性的問題，一般可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，或用數(shù)列中的常用思想方法求解。 【課前預(yù)習(xí)】 1． 若數(shù)列是等差數(shù)列，則有數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述

17、性質(zhì)，相應(yīng)的，若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則有__________ 也是等比數(shù)列。 2． 在等差數(shù)列中，公差，則（ B ） A．40 B．45 C．50 D．55 3． 在數(shù)列{an}中，a1=2，，則a5等于 （ C ） A．12 B．14 C．20 D．22 4． 有限數(shù)列，為其前項(xiàng)和，若定義為的“凱森和”如有99項(xiàng)的數(shù)列的“凱森和”為1000，則有100項(xiàng)的數(shù)列的“凱森和”為

18、 （B ） A．1001 B．991 C．999 D．990 5． 已知公差不為零的等差數(shù)列的第、、項(xiàng)依次構(gòu)成等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，則此等比數(shù)列的公比q是 （ ） A． B． C． D． 6．（04北京）定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列是等和數(shù)列，且

19、，公和為5，那么的值為________3______，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的計(jì)算公式為_______________ . 【典型例題】 例1 （1）已知數(shù)列，其中，且數(shù)列為等比數(shù)列，求常數(shù)． （2）設(shè)，是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，，證明數(shù)列不是等比數(shù)列． 例2 Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.(n∈N*)． （1） 若數(shù)列{an}單調(diào)遞增，且a2是a1、a5的等比中項(xiàng)，證明： （2） 設(shè){an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，且，問是否存在正常數(shù)c，使對任意自然數(shù)n都成立，若存在，求出c（用d表示）；若不存在，說明理由.（） 【本課

20、小結(jié)】 【課后作業(yè)】 1． 已知數(shù)列{a}是首項(xiàng)a1＞0，q＞-1且q≠0的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)b=a－ka （n∈N），數(shù)列{a}、的前n項(xiàng)和分別為S、T．如果T＞kS對一切自然數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 2． 已知拋物線，過原點(diǎn)作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)，又過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，再過作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，，如此繼續(xù)，一般地，過點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)． （1） 令，求證：數(shù)列是等比數(shù)列； 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小 數(shù)列的通項(xiàng)及遞推關(guān)系 一、基礎(chǔ)題： 1. 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為 2. 數(shù)列

21、的一個(gè)通項(xiàng)為 3. 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)為___________________. 4. 的一個(gè)通項(xiàng)為___________________. 5. 數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)為_______________. 6. 已知數(shù)列滿足：，則 7. 已知數(shù)列中，且，則 8. 已知數(shù)列中，，，則 二、解答題： 1. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，求通項(xiàng)公式. 2. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，根據(jù)下列條件，求.①；②. 3. 已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng). 4. 在數(shù)列中，已知，且，求的通項(xiàng)公式. 5. 已知數(shù)列中，是它們的前項(xiàng)和，并且，， ①設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列； ②設(shè)，求證：是等差數(shù)列； ③求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式.