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1、
(江蘇專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章第6課時 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 課時闖關(guān)(含解析)
[A級 雙基鞏固]
一、填空題
1.(2011·高考重慶卷改編)設(shè)a=log,b=log,c=log3,則a,b,c大小關(guān)系為________.
解析:c=log3=log,又<<,且函數(shù)f(x)=logx單調(diào)減,∴l(xiāng)og>log>log,即a>b>c.
答案:a>b>c
2.(2010·高考遼寧卷改編)設(shè)2a=5b=m,且+=2,則m=________.
解析:由2a=5b=m得a=log2m,b=log5m,
∴+=logm2+logm5=logm10.
∵+=2,∴l(xiāng)o
2、gm10=2,∴m2=10,m=.
答案:
3.已知集合A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A?B,則實數(shù)a的取值范圍是(c,+∞),其中c=________.
解析:由已知條件可得A={x|log2x≤2}=(0,4],B=(-∞,a),若A?B,則a>4,即得c=4.
答案:4
4.若a>0,a≠1,x>y>0,n∈N,則下列各式:
①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;
③logax=-loga;④=logax;
⑤=loga;⑥loga=-loga.
其中正確的有________個.
解析:由對數(shù)的運算性質(zhì)可知,③⑤⑥正確,
3、①②④錯誤.
答案:3
5.log225·log32·log59=________.
解析:log225·log32·log59
=2log25·log32·2log53=6.
答案:6
6.已知函數(shù)f(x)=,若方程f(x)=k無實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是________.
解析:
畫出f(x)圖象如圖,
由圖可知k
4、3·f(2a),
故3(1+loga2)=1,即loga2=-,∴a=.
答案:
8.設(shè)a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=alg(x2-2x+3)有最大值,則不等式loga(x2-5x+7)>0的解集為________.
解析:∵函數(shù)y=lg(x2-2x+3)有最小值,f(x)=alg(x2-2x+3)有最大值,∴0<a<1.
∴由loga(x2-5x+7)>0,得0<x2-5x+7<1,
解得2<x<3.
∴不等式loga(x2-5x+7)>0的解集為{x|2<x<3}.
答案:{x|2<x<3}
二、解答題
9.已知函數(shù)f(x)=loga(0<a<1).
(1)試判斷f(
5、x)的奇偶性;
(2)解不等式f(x)≥loga3x.
解:(1)>0?-2<x<2.
故f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,
且f(-x)=loga=loga()-1=-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù).
(2)f(x)≥loga3x?loga≥loga3x.∵0<a<1,
故?
?≤x≤1.即原不等式的解集為{x|≤x≤1}.
10.已知f(x)=logax,g(x)=2loga(2x+t-2)(a>0,a≠1,t∈R).
(1)當t=4,x∈[1,2],且F(x)=g(x)-f(x)有最小值2時,求a的值;
(2)當0<a<1,x∈[1,2]時, 有f(x)≥g(x)恒成立
6、,求實數(shù)t的取值范圍.
解:(1)當t=4時,
F(x)=g(x)-f(x)=loga,x∈[1,2],
令h(x)==4(x++2),x∈[1,2],
則h′(x)=4(1-)=≥0,
∴h(x)在[1,2]上是單調(diào)增函數(shù),
∴h(x)min=16,h(x)max=18.
當0<a<1時,有F(x)min=loga18,
令loga18=2 求得a=3>1(舍去);
當a>1時,有F(x)min=loga 16,
令loga16=2求得a=4>1.∴a=4.
(2)當0<a<1,x∈[1,2]時,有f(x)≥g(x)恒成立,
即當0<a<1,x∈[1,2]時,loga
7、x≥2loga(2x+t-2)恒成立,
由logax≥2loga(2x+t-2)
可得loga≥loga(2x+t-2),
∴≤2x+t-2,∴t≥-2x++2.
設(shè)u(x)=-2x++2=-2()2++2
=-2(-)2+,
∵x∈[1,2],∴∈[1,].
∴u(x)max=u(1)=1.
∴實數(shù)t的取值范圍為t≥1.
[B級 能力提升]
一、填空題
1.已知函數(shù)f(x)滿足:當x≥4時,f(x)=x;當x<4時,f(x)=f(x+1),則f(2+log23)=________.
解析:∵2<3<4=22,∴1
8、+log23)=f(3+log23)=f(log28+log23)=f(log224)=()log224=2-log224=2log2=.
答案:
2.(2011·高考天津卷)已知log2a+log2b≥1,則3a+9b的最小值為________.
解析:由log2a+log2b≥1得log2(ab)≥1,
故ab≥2.
∴3a+9b=3a+32b≥2·3(當且僅當3a=32b,即a=2b時等號成立).
又∵a+2b≥2≥4(當且僅當a=2b時等號成立).
∴3a+9b≥2×32=18.
故a=2b時,3a+9b的最小值為18.
答案:18
3.閱讀下面一段材料,然后解答問
9、題:對于任意實數(shù)x,符號[x]表示“不超過x的最大整數(shù)”,在數(shù)軸上,當x是整數(shù),[x]就是x,當x不是整數(shù)時,[x]是點x左側(cè)的第一個整數(shù)點,這個函數(shù)叫做“取整函數(shù)”,也叫高斯(Gauss)函數(shù).如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2.求+++[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值為________.
解析:由題意知原式=(-2)+(-2)+(-1)+0+1+1+2=-1.
答案:-1
4.設(shè)a>1,若僅有一個常數(shù)c使得對于任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a2]滿足方程logax+logay=c,這時a的取值集合為________.
解析
10、:由logax+logay=c(a>1),∴y=.
∵a>1,∴y=在x∈[a,2a]上遞減,
∴ymax==ac-1,ymin==ac-1,
∵loga2+2≤c≤3時,c值只有1個,
∴c=3,即loga2=1,故a=2.
答案:{2}
二、解答題
5.對于函數(shù)f(x)=log(x2-2ax+3),
(1)若函數(shù)的定義域為R,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)的值域為R,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)在[-1,+∞)上有意義,求實數(shù)a的取值范圍;
(4)若函數(shù)的值域為(-∞,-1],求實數(shù)a的所有取值;
(5)若函數(shù)在(-∞,1]上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范
11、圍.
解:設(shè)u=g(x)=x2-2ax+3=(x-a)2+3-a2.
(1)∵u>0對x∈R恒成立,
∴umin=3-a2>0.
故a的取值范圍為.
(2)logu的值域為R?u=g(x)能取遍(0,+∞)的一切值,因此umin=3-a2≤0,
故a的取值范圍為(-∞,-]∪[,+∞).
(3)函數(shù)f(x)在[-1,+∞)上有意義
?u=g(x)>0對x∈[-1,+∞)恒成立,
因此應(yīng)按g(x)的對稱軸x=a分類,則得:
或解這兩個不等式組得到實數(shù)a的取值范圍是(-2,).
(4)∵函數(shù)f(x)的值域為(-∞,-1],
∴g(x)的值域是[2,+∞),
因此要求g(x
12、)能取遍[2,+∞)的一切值(而且不能多取).
由于g(x)是連續(xù)函數(shù),
所以命題等價于[g(x)]min=3-a2=2,故a=±1.
(5)函數(shù)在(-∞,1]上是增函數(shù)?g(x)在(-∞,1]上是減函數(shù),且g(x)>0對x∈(-∞,1]恒成立,
?,故a的取值范圍為[1,2).
6.已知函數(shù)f(x)=lg(k∈R且k>0).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)若函數(shù)f(x)在[10,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),求k的取值范圍.
解:(1)由>0及k>0得>0,即(x-)·(x-1)>0.①當0<k<1時,x<1或x>;②當k=1時,x∈R且x≠1;③當k>1時,x<或x>1.
綜上可得當0<k<1時,函數(shù)的定義域為(-∞,1)∪(,+∞);當k>1時, 函數(shù)的定義域為(-∞,)∪(1,+∞);當k=1時,{x|x∈R,且x≠1}.
(2)∵f(x)在[10,+∞)上是增函數(shù),
∴>0,∴k>.
又f(x)=lg=lg(k+),故對任意的x1、x2,
當10≤x1<x2時,恒有f(x1)<f(x2),
即lg(k+)<lg(k+),
∴<,
∴(k-1)·(-)<0,
又∵>,∴k-1<0,∴k<1.
綜上k的取值范圍為(,1).