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1、數(shù)列不等式三個(gè)考察點(diǎn):①通項(xiàng)公式②求和③證不等式
一、 通項(xiàng)公式
學(xué)校的訓(xùn)練較多這里不詳細(xì)介紹。
要熟練掌握:
1、 待定系數(shù)法、不動(dòng)點(diǎn)法、特征根法(連續(xù)兩年中有考差)
2、 熟悉變形。包括:兩邊同時(shí)除以如、平方、變倒數(shù)、因式分解、取對(duì)數(shù)、換元
若不熟悉可以找講義,或者高妙上有介紹
3、累加累乘法
但是高考一般不會(huì)直白地給出關(guān)系,或者給出常見(jiàn)的通項(xiàng)公式。
高考題大多這樣出題:
1、 與函數(shù)、解析幾何結(jié)合
這個(gè)范圍太泛了不好歸納,難度一般不會(huì)太大,見(jiàn)招拆招即可
2、 給出不常規(guī)的通項(xiàng)公式,但有提示
比如:=1,8-16+2+5=0(0),=,求{}通項(xiàng)公式
2、
現(xiàn)在不可能把通項(xiàng)公式求出再求,那么顯然需先求出,故變形為=,代入遞推關(guān)系即可得,再乘以即可。
還有一種情況便是先讓考生得出、、后猜想用數(shù)學(xué)歸納證明,有時(shí)不會(huì)提示考生要猜想,但別的常規(guī)方法得不出通項(xiàng)公式時(shí)要果斷大膽猜想
總之,這種題一定要順著提示做
通項(xiàng)公式中一定要重視的是累加累乘法
看上去似乎很簡(jiǎn)單:
但是這卻是解決不等式證明最原始也是最重要的方法。原因很簡(jiǎn)單:高考考的是靈活,除了通項(xiàng)公式的變形,不動(dòng)點(diǎn)法等方法靈活度不大,所以大多所謂的很難想的題目大多歸根到底是遞推。比如:
1、 奇偶項(xiàng)不同的數(shù)列。奇項(xiàng)間或者偶項(xiàng)間的遞推(后會(huì)介紹)
2、 數(shù)歸。證明的核心便是
3
3、、 通過(guò)通過(guò)與間的關(guān)系得出或或,這是解決(為常數(shù))。這種對(duì)的運(yùn)用是解決大多數(shù)絕對(duì)值不等式的核心。對(duì)也能靈活運(yùn)用
具體后面會(huì)介紹。
二、 求和
要求等差、等比數(shù)列求和公式、掌握裂項(xiàng)、錯(cuò)位相減
一模的裂項(xiàng)需要引起重視,湖南2010文科題考查到這一點(diǎn):
三、 不等式證明
大多數(shù)考生認(rèn)為不等式無(wú)從下手,其實(shí)熟悉每種證明方法的使用情況、學(xué)會(huì)用逆向思維,絕大多數(shù)不等式可以迎刃而解
基本方法有:
1、 二項(xiàng)式定理
2、 構(gòu)造函數(shù)
3、 數(shù)學(xué)歸納法(加強(qiáng)命題)
4、 不等式
5、 遞推
6、 上下聯(lián)系
7、 放縮
現(xiàn)具體介紹:
一、 二項(xiàng)式定理
雖
4、然以前習(xí)題有出現(xiàn),但廣東高考應(yīng)該不會(huì)出現(xiàn)公式的考查
側(cè)重點(diǎn)是二項(xiàng)式定理:,運(yùn)用如下:
1、 證明:
2、 證明:
若出現(xiàn)求(k為常數(shù)),萬(wàn)不得已才可考慮用洛必達(dá)法則,因?yàn)槿?duì)數(shù)后求導(dǎo)比較難(可考慮用貝努力不等式證明單調(diào)性)
一般可以用放縮代勞
二、 構(gòu)造函數(shù)
1、經(jīng)常運(yùn)用在上下聯(lián)系的題目中。這種情況下題目會(huì)提示如何構(gòu)造函數(shù),難度不大
2、構(gòu)造函數(shù)在探究存在性問(wèn)題中可以用于討論單調(diào)性從而得出結(jié)論
3、含指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式可以通過(guò)貝努力不等式變換與函數(shù)構(gòu)造結(jié)合使用。Eg:證明:時(shí),
4、含的不等式可能用到函數(shù)構(gòu)造。Eg:證明:()
三、數(shù)學(xué)歸納法
證明:能用
5、數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是:
、易于推得且或
證明時(shí)要充分利用已知條件,比如:除已知條件外假設(shè)成立時(shí)的不等式是可用的條件;更多時(shí)候直接證明:或
在數(shù)學(xué)歸納法證明:時(shí)經(jīng)常碰到這個(gè)問(wèn)題:若則,這就有不動(dòng)點(diǎn)的感覺(jué)了。有一種加強(qiáng)命題就是用這種方法確定出的上下確界的。
Eg:,,,證明:對(duì)于一切自然數(shù)n都有
令,則(不要糾結(jié)的話是多少),故加強(qiáng)命題為:
一方面,,另一方面
給出一題較為特殊的考查數(shù)學(xué)歸納法的題目:十年P(guān)160 22題,特殊值法與數(shù)歸的結(jié)合。后有另一種解法(充分利用已知條件)
Ex:加強(qiáng)命題
如果有明確的通項(xiàng)公式,那么加強(qiáng)命題可以解決大部分
6、題目,很不幸的是這種提醒其實(shí)在高考中很少見(jiàn)。
因?yàn)榉趴s的最后一步大多為,所以大多情況可用直接加強(qiáng)命題解決問(wèn)題。遇到問(wèn)題首選應(yīng)是放縮后裂項(xiàng)或者轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列
如果通項(xiàng)公式中含有,則加強(qiáng)命題為,首先必須保證,通過(guò)分離變量得出a取值范圍后再去考慮數(shù)學(xué)歸納法第一步對(duì)a取值的要求,因?yàn)槿粢獣r(shí)加強(qiáng)命題就成立,對(duì)a的取值范圍要求比較高,不一定有合適的數(shù)值,因此可以從、…開(kāi)始加強(qiáng)命題。但是加強(qiáng)命題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力,建議在平時(shí)熟悉這種方法加快破題速度
下面給出三道習(xí)題(答案見(jiàn)后):
1、 證明:
2、 證明:
3、 證明:
4、 試做四校聯(lián)考(華附省實(shí)深中廣雅)壓軸題(想辦法用加強(qiáng)命題去掉)
7、
最后強(qiáng)調(diào)下數(shù)學(xué)歸納法的格式:
和假設(shè)前要加序號(hào)①②
證明成功后要寫由①②可知不等式( )成立。
四、不等式
注意:數(shù)學(xué)歸納法解是證明不了重要不等式的,因此必須基本不等式解決的題不能用數(shù)歸代勞。
11年廣東數(shù)列題就是例子
不等式真正廣東大題會(huì)考查的就是基本不等式與各種變形(柯西不等式的考查在弱化,雖然一些高考題可以運(yùn)用柯西不等式巧解但技巧性較高,較難想到):
(時(shí)取等)
它取自均值不等式,均值不等式是:
基本不等式的運(yùn)用于收尾項(xiàng)的放縮,需要注意的是:
證明:時(shí),若用基本不等式首尾并項(xiàng)則需要討論項(xiàng)數(shù)奇偶性,若直接運(yùn)用均值不等式就快多了。
Ex:
8、 不等式首尾相加遇到奇偶性問(wèn)題時(shí)可以考慮用倒敘相加
還有就是絕對(duì)值不等式了,后面會(huì)介紹
五、遞推
我們證明不等式時(shí)有個(gè)誤區(qū),總覺(jué)得必須得到通項(xiàng)公式拉開(kāi)架勢(shì)去證明心理才有底,其實(shí)有時(shí)即使能得到復(fù)雜的通項(xiàng)公式,對(duì)與證明不等式反而會(huì)加大難度。
而我們看到與是不等關(guān)系或者通項(xiàng)公式求不出時(shí)就會(huì)特別緊張,其實(shí)這種題方向極好把握
Eg:已知0,,,記:=,=
求證:當(dāng)時(shí),(1)(2)(3)3
第一問(wèn)作商法、作差法、數(shù)學(xué)歸納法都可以得出,數(shù)歸最容易想到。
對(duì)于證明(2)(3)問(wèn),顯然前面介紹的四種方法在這里都失靈了。這就回到證明時(shí)應(yīng)首先考慮的問(wèn)題:(1)放縮后裂項(xiàng)或者(2)轉(zhuǎn)化為等
9、比數(shù)列
第二問(wèn)有兩種解法,都是運(yùn)用了前一種思想。第一種方法較為靈活:
欲證,只需證:,而
由(1)知,故,所以得證
第二種解法較容易想到:=,因而從遞推關(guān)系得到,就得出,通過(guò)(1)的結(jié)論得證
第三問(wèn)也有兩種方法,都運(yùn)用了第二種思想:
若化為等比數(shù)列(),則,即為題中的3的3.所以確定與就是要確定的。而通過(guò)與的遞推關(guān)系得出:想辦法從通項(xiàng)公式中湊出或者:,這時(shí)就聯(lián)想,想到用重要不等式降次:,接下來(lái)通過(guò)與3之間的推敲接順利得出,著就知道需要保留第一項(xiàng)后化為等比數(shù)列:
第二種方法非常巧妙:,則只需證3即可。
雖然這兩小問(wèn)都是同一題,但是以較高的難度體現(xiàn)出解決相鄰項(xiàng)數(shù)間
10、有不等關(guān)系的題的精髓:逆向思維。想辦法用遞推關(guān)系得出與,把這一點(diǎn)解決了一切都好辦了。第二問(wèn)的方法二、第三問(wèn)的方法一看似復(fù)雜,其實(shí)是循規(guī)蹈矩得出的。
大致思路為:①確認(rèn)用哪種遞推;確定②通過(guò)已知條件逐漸迫近
如果把這兩小題都吃透了,那么就可以看回以前所謂的許多壓軸題了:
套卷17壓軸(只需小于1即可)
套卷14壓軸(運(yùn)用已知條件中的得出)
試做:若,(),,證:
(已知:對(duì)任意成立的充要條件是)
六、上下聯(lián)系
上面題目有提示時(shí)優(yōu)先考慮這個(gè)。高考題與奧賽題的區(qū)別就是高考題可以拾級(jí)而上。不等式證明如果不順著出題人的思維走往往容易繞彎子(這不是函數(shù)的特殊值法)。例子
11、:套卷12壓軸題
七、放縮
這個(gè)課堂上講的最多,補(bǔ)充幾個(gè)少見(jiàn)的不等式即可
1、
2、
3、
4、
5、
6、,證明:令
介紹兩種熱門題型:
一、絕對(duì)值不等式
可以和不等式證明、反證法、函數(shù)(拉格朗日中值定理)相結(jié)合
解題誤區(qū)就是老是看絕對(duì)值不順眼想將改為,其實(shí)是自找苦吃。
絕對(duì)值不等式本來(lái)挺多的:
1、
2、、
3、
高考題其實(shí)都基本考的是第三個(gè)兩種變形:
題目分析:湖南09年壓軸題是需要用第一種遞推思想而且它隱藏了一個(gè)條件:就是是有限的
廣東11年一模題最后一問(wèn)計(jì)算量思維量都比較大,膽子大的人才能完全做出來(lái),當(dāng)長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)吧。第二問(wèn)還是
12、可以很輕松做出來(lái)的。
試做:
是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合:①對(duì)任意的,都有;②存在常數(shù),使得對(duì)任意的,都有.
(I)設(shè) ,證明:
(II)設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的;
(III) 設(shè),任取,令,,證明:給定正整數(shù),對(duì)任意的正整數(shù),成立不等式
二、 奇偶項(xiàng)問(wèn)題
最經(jīng)典最難的便是天津2010(十年P(guān)160 17題)、2011的兩題
這兩題可以吸取的經(jīng)驗(yàn)有:
1、凡是求通項(xiàng)公式中存在就分奇偶項(xiàng)(可能不用求通項(xiàng)公式,直接并項(xiàng))
2、遞推是解決奇偶項(xiàng)數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)鍵方法
3、奇偶項(xiàng)數(shù)列求和證明不等式要分類討論
4、11年那題更為復(fù)雜,從第二小問(wèn)
13、的代換可以看出奇偶項(xiàng)數(shù)列僅憑一對(duì)相鄰項(xiàng)不能完全解決問(wèn)題,通過(guò)3項(xiàng)間的代換才能徹底解決問(wèn)題
5、看似=增加了討論范圍,將變?yōu)?,其?shí)有降次的方法??稍囎觯菏?P160 27題
再給出一道經(jīng)典的題:,求證:時(shí),
先看答案:通過(guò)逆向思維得:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有:
則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
啟示:
1、 證明奇偶項(xiàng)求和不等式也可以化為等比數(shù)列(通過(guò)并項(xiàng))
2、 證明部分奇偶項(xiàng)求和不等式可先證明n為奇數(shù)(或偶數(shù))時(shí)成立,再利用證明n為偶數(shù)(或奇數(shù))時(shí)成立。
總結(jié)(不一定齊全,自己可繼續(xù)積累經(jīng)驗(yàn)):
1、 第一原則是上下聯(lián)系
2、 盡量化簡(jiǎn)原不等式至方便分析、解決的形態(tài)
14、3、 存在考慮取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)或者二項(xiàng)式
4、 存在可考慮求導(dǎo)或者去指數(shù)或者直接運(yùn)算
5、 存在可以求導(dǎo)或者通過(guò)值域定義域的關(guān)系去掉
6、 證明或者可考慮:或者;證明:時(shí)可考慮并項(xiàng)
7、 如果對(duì)于證明一個(gè)不等式不確定用哪個(gè)方法,多試幾次遇到這種情況總結(jié)出適合自己的方法試用順序
例子:
一、2012年一模題壓軸題:
證明:
思路:因?yàn)閮蛇吳蠛突蛘吡秧?xiàng)都不太容易,所以果斷試證:
即證:
若構(gòu)造函數(shù)因?yàn)榈拇嬖诤茈y求導(dǎo);若用不等式也因?yàn)榈拇嬖诤茈y運(yùn)用二項(xiàng)式定理證明得出,重要不等式就更難運(yùn)用了;顯然這個(gè)不等式?jīng)]什么好上下聯(lián)系的;放縮其實(shí)自己沒(méi)底,于是試試數(shù)歸先
直接在草稿紙上算
15、第二步:要證:,現(xiàn)在顯然二項(xiàng)式定理就適用了
所以思路就出來(lái)了:要證,只需證,再通過(guò)數(shù)歸和二項(xiàng)式定理的結(jié)合即可證出
二、,(),已知,求證:
(上題證得:)
題目都有提示了,于是取對(duì)數(shù),即證:
顯然容易遞推后裂項(xiàng)求和,而就變得礙事了,為了遞推求和怎么辦呢?由于上題有,于是將遞推關(guān)系改為:,接下來(lái)通過(guò)遞推后求和問(wèn)題便迎刃而解了。
總之,證不等式一定要運(yùn)用好逆向思維,學(xué)會(huì)預(yù)判。這種思維通過(guò)熟悉各種方法使用范圍后,做幾題陌生題,按這種思維應(yīng)該能提供比較明確的思路。
答案:
數(shù)學(xué)歸納法(全國(guó)題):
先特殊值法:若要?jiǎng)t
然后巧妙利用已知條件證明單調(diào)性:(數(shù)歸第二步):
接下來(lái)就是要證明:,而,分離變量得
再次運(yùn)用數(shù)歸證明即為所求即可
加強(qiáng)放縮:
1、右邊增加后數(shù)歸
2、右邊增加,從n2起開(kāi)始數(shù)歸
3、右邊增加,其中常數(shù)可在[,2]間,從n2起開(kāi)始數(shù)歸
遞推:
顯然為,接下來(lái)的就是遞推,變形通項(xiàng)公式:
由已知條件得
絕對(duì)值不等式:
第一問(wèn):運(yùn)用拉格朗日中值定理,注意對(duì)應(yīng)①②的性質(zhì)證明,明確寫出
二三問(wèn)直接上答案:
(2)設(shè)存在兩個(gè)使得,則
由,得,所以,矛盾,故結(jié)論成立。
(3),所以
+…
最后祝大家高考順利,考到理想的大學(xué)^ ^