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2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 數(shù)列不等式 理

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1、數(shù)列不等式三個(gè)考察點(diǎn):①通項(xiàng)公式②求和③證不等式 一、 通項(xiàng)公式 學(xué)校的訓(xùn)練較多這里不詳細(xì)介紹。 要熟練掌握: 1、 待定系數(shù)法、不動(dòng)點(diǎn)法、特征根法(連續(xù)兩年中有考差) 2、 熟悉變形。包括:兩邊同時(shí)除以如、平方、變倒數(shù)、因式分解、取對(duì)數(shù)、換元 若不熟悉可以找講義,或者高妙上有介紹 3、累加累乘法 但是高考一般不會(huì)直白地給出關(guān)系,或者給出常見(jiàn)的通項(xiàng)公式。 高考題大多這樣出題: 1、 與函數(shù)、解析幾何結(jié)合 這個(gè)范圍太泛了不好歸納,難度一般不會(huì)太大,見(jiàn)招拆招即可 2、 給出不常規(guī)的通項(xiàng)公式,但有提示 比如:=1,8-16+2+5=0(0),=,求{}通項(xiàng)公式

2、 現(xiàn)在不可能把通項(xiàng)公式求出再求,那么顯然需先求出,故變形為=,代入遞推關(guān)系即可得,再乘以即可。 還有一種情況便是先讓考生得出、、后猜想用數(shù)學(xué)歸納證明,有時(shí)不會(huì)提示考生要猜想,但別的常規(guī)方法得不出通項(xiàng)公式時(shí)要果斷大膽猜想 總之,這種題一定要順著提示做 通項(xiàng)公式中一定要重視的是累加累乘法 看上去似乎很簡(jiǎn)單: 但是這卻是解決不等式證明最原始也是最重要的方法。原因很簡(jiǎn)單:高考考的是靈活,除了通項(xiàng)公式的變形,不動(dòng)點(diǎn)法等方法靈活度不大,所以大多所謂的很難想的題目大多歸根到底是遞推。比如: 1、 奇偶項(xiàng)不同的數(shù)列。奇項(xiàng)間或者偶項(xiàng)間的遞推(后會(huì)介紹) 2、 數(shù)歸。證明的核心便是 3

3、、 通過(guò)通過(guò)與間的關(guān)系得出或或,這是解決(為常數(shù))。這種對(duì)的運(yùn)用是解決大多數(shù)絕對(duì)值不等式的核心。對(duì)也能靈活運(yùn)用 具體后面會(huì)介紹。 二、 求和 要求等差、等比數(shù)列求和公式、掌握裂項(xiàng)、錯(cuò)位相減 一模的裂項(xiàng)需要引起重視,湖南2010文科題考查到這一點(diǎn): 三、 不等式證明 大多數(shù)考生認(rèn)為不等式無(wú)從下手,其實(shí)熟悉每種證明方法的使用情況、學(xué)會(huì)用逆向思維,絕大多數(shù)不等式可以迎刃而解 基本方法有: 1、 二項(xiàng)式定理 2、 構(gòu)造函數(shù) 3、 數(shù)學(xué)歸納法(加強(qiáng)命題) 4、 不等式 5、 遞推 6、 上下聯(lián)系 7、 放縮 現(xiàn)具體介紹: 一、 二項(xiàng)式定理 雖

4、然以前習(xí)題有出現(xiàn),但廣東高考應(yīng)該不會(huì)出現(xiàn)公式的考查 側(cè)重點(diǎn)是二項(xiàng)式定理:,運(yùn)用如下: 1、 證明: 2、 證明: 若出現(xiàn)求(k為常數(shù)),萬(wàn)不得已才可考慮用洛必達(dá)法則,因?yàn)槿?duì)數(shù)后求導(dǎo)比較難(可考慮用貝努力不等式證明單調(diào)性) 一般可以用放縮代勞 二、 構(gòu)造函數(shù) 1、經(jīng)常運(yùn)用在上下聯(lián)系的題目中。這種情況下題目會(huì)提示如何構(gòu)造函數(shù),難度不大 2、構(gòu)造函數(shù)在探究存在性問(wèn)題中可以用于討論單調(diào)性從而得出結(jié)論 3、含指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式可以通過(guò)貝努力不等式變換與函數(shù)構(gòu)造結(jié)合使用。Eg:證明:時(shí), 4、含的不等式可能用到函數(shù)構(gòu)造。Eg:證明:() 三、數(shù)學(xué)歸納法 證明:能用

5、數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是: 、易于推得且或 證明時(shí)要充分利用已知條件,比如:除已知條件外假設(shè)成立時(shí)的不等式是可用的條件;更多時(shí)候直接證明:或 在數(shù)學(xué)歸納法證明:時(shí)經(jīng)常碰到這個(gè)問(wèn)題:若則,這就有不動(dòng)點(diǎn)的感覺(jué)了。有一種加強(qiáng)命題就是用這種方法確定出的上下確界的。 Eg:,,,證明:對(duì)于一切自然數(shù)n都有 令,則(不要糾結(jié)的話是多少),故加強(qiáng)命題為: 一方面,,另一方面 給出一題較為特殊的考查數(shù)學(xué)歸納法的題目:十年P(guān)160 22題,特殊值法與數(shù)歸的結(jié)合。后有另一種解法(充分利用已知條件) Ex:加強(qiáng)命題 如果有明確的通項(xiàng)公式,那么加強(qiáng)命題可以解決大部分

6、題目,很不幸的是這種提醒其實(shí)在高考中很少見(jiàn)。 因?yàn)榉趴s的最后一步大多為,所以大多情況可用直接加強(qiáng)命題解決問(wèn)題。遇到問(wèn)題首選應(yīng)是放縮后裂項(xiàng)或者轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 如果通項(xiàng)公式中含有,則加強(qiáng)命題為,首先必須保證,通過(guò)分離變量得出a取值范圍后再去考慮數(shù)學(xué)歸納法第一步對(duì)a取值的要求,因?yàn)槿粢獣r(shí)加強(qiáng)命題就成立,對(duì)a的取值范圍要求比較高,不一定有合適的數(shù)值,因此可以從、…開(kāi)始加強(qiáng)命題。但是加強(qiáng)命題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力,建議在平時(shí)熟悉這種方法加快破題速度 下面給出三道習(xí)題(答案見(jiàn)后): 1、 證明: 2、 證明: 3、 證明: 4、 試做四校聯(lián)考(華附省實(shí)深中廣雅)壓軸題(想辦法用加強(qiáng)命題去掉)

7、 最后強(qiáng)調(diào)下數(shù)學(xué)歸納法的格式: 和假設(shè)前要加序號(hào)①② 證明成功后要寫由①②可知不等式( )成立。 四、不等式 注意:數(shù)學(xué)歸納法解是證明不了重要不等式的,因此必須基本不等式解決的題不能用數(shù)歸代勞。 11年廣東數(shù)列題就是例子 不等式真正廣東大題會(huì)考查的就是基本不等式與各種變形(柯西不等式的考查在弱化,雖然一些高考題可以運(yùn)用柯西不等式巧解但技巧性較高,較難想到): (時(shí)取等) 它取自均值不等式,均值不等式是: 基本不等式的運(yùn)用于收尾項(xiàng)的放縮,需要注意的是: 證明:時(shí),若用基本不等式首尾并項(xiàng)則需要討論項(xiàng)數(shù)奇偶性,若直接運(yùn)用均值不等式就快多了。 Ex:

8、 不等式首尾相加遇到奇偶性問(wèn)題時(shí)可以考慮用倒敘相加 還有就是絕對(duì)值不等式了,后面會(huì)介紹 五、遞推 我們證明不等式時(shí)有個(gè)誤區(qū),總覺(jué)得必須得到通項(xiàng)公式拉開(kāi)架勢(shì)去證明心理才有底,其實(shí)有時(shí)即使能得到復(fù)雜的通項(xiàng)公式,對(duì)與證明不等式反而會(huì)加大難度。 而我們看到與是不等關(guān)系或者通項(xiàng)公式求不出時(shí)就會(huì)特別緊張,其實(shí)這種題方向極好把握 Eg:已知0,,,記:=,= 求證:當(dāng)時(shí),(1)(2)(3)3 第一問(wèn)作商法、作差法、數(shù)學(xué)歸納法都可以得出,數(shù)歸最容易想到。 對(duì)于證明(2)(3)問(wèn),顯然前面介紹的四種方法在這里都失靈了。這就回到證明時(shí)應(yīng)首先考慮的問(wèn)題:(1)放縮后裂項(xiàng)或者(2)轉(zhuǎn)化為等

9、比數(shù)列 第二問(wèn)有兩種解法,都是運(yùn)用了前一種思想。第一種方法較為靈活: 欲證,只需證:,而 由(1)知,故,所以得證 第二種解法較容易想到:=,因而從遞推關(guān)系得到,就得出,通過(guò)(1)的結(jié)論得證 第三問(wèn)也有兩種方法,都運(yùn)用了第二種思想: 若化為等比數(shù)列(),則,即為題中的3的3.所以確定與就是要確定的。而通過(guò)與的遞推關(guān)系得出:想辦法從通項(xiàng)公式中湊出或者:,這時(shí)就聯(lián)想,想到用重要不等式降次:,接下來(lái)通過(guò)與3之間的推敲接順利得出,著就知道需要保留第一項(xiàng)后化為等比數(shù)列: 第二種方法非常巧妙:,則只需證3即可。 雖然這兩小問(wèn)都是同一題,但是以較高的難度體現(xiàn)出解決相鄰項(xiàng)數(shù)間

10、有不等關(guān)系的題的精髓:逆向思維。想辦法用遞推關(guān)系得出與,把這一點(diǎn)解決了一切都好辦了。第二問(wèn)的方法二、第三問(wèn)的方法一看似復(fù)雜,其實(shí)是循規(guī)蹈矩得出的。 大致思路為:①確認(rèn)用哪種遞推;確定②通過(guò)已知條件逐漸迫近 如果把這兩小題都吃透了,那么就可以看回以前所謂的許多壓軸題了: 套卷17壓軸(只需小于1即可) 套卷14壓軸(運(yùn)用已知條件中的得出) 試做:若,(),,證: (已知:對(duì)任意成立的充要條件是) 六、上下聯(lián)系 上面題目有提示時(shí)優(yōu)先考慮這個(gè)。高考題與奧賽題的區(qū)別就是高考題可以拾級(jí)而上。不等式證明如果不順著出題人的思維走往往容易繞彎子(這不是函數(shù)的特殊值法)。例子

11、:套卷12壓軸題 七、放縮 這個(gè)課堂上講的最多,補(bǔ)充幾個(gè)少見(jiàn)的不等式即可 1、 2、 3、 4、 5、 6、,證明:令 介紹兩種熱門題型: 一、絕對(duì)值不等式 可以和不等式證明、反證法、函數(shù)(拉格朗日中值定理)相結(jié)合 解題誤區(qū)就是老是看絕對(duì)值不順眼想將改為,其實(shí)是自找苦吃。 絕對(duì)值不等式本來(lái)挺多的: 1、 2、、 3、 高考題其實(shí)都基本考的是第三個(gè)兩種變形: 題目分析:湖南09年壓軸題是需要用第一種遞推思想而且它隱藏了一個(gè)條件:就是是有限的 廣東11年一模題最后一問(wèn)計(jì)算量思維量都比較大,膽子大的人才能完全做出來(lái),當(dāng)長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)吧。第二問(wèn)還是

12、可以很輕松做出來(lái)的。 試做: 是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合:①對(duì)任意的,都有;②存在常數(shù),使得對(duì)任意的,都有. (I)設(shè) ,證明: (II)設(shè),如果存在,使得,那么這樣的是唯一的; (III) 設(shè),任取,令,,證明:給定正整數(shù),對(duì)任意的正整數(shù),成立不等式 二、 奇偶項(xiàng)問(wèn)題 最經(jīng)典最難的便是天津2010(十年P(guān)160 17題)、2011的兩題 這兩題可以吸取的經(jīng)驗(yàn)有: 1、凡是求通項(xiàng)公式中存在就分奇偶項(xiàng)(可能不用求通項(xiàng)公式,直接并項(xiàng)) 2、遞推是解決奇偶項(xiàng)數(shù)列通項(xiàng)公式的關(guān)鍵方法 3、奇偶項(xiàng)數(shù)列求和證明不等式要分類討論 4、11年那題更為復(fù)雜,從第二小問(wèn)

13、的代換可以看出奇偶項(xiàng)數(shù)列僅憑一對(duì)相鄰項(xiàng)不能完全解決問(wèn)題,通過(guò)3項(xiàng)間的代換才能徹底解決問(wèn)題 5、看似=增加了討論范圍,將變?yōu)?,其?shí)有降次的方法??稍囎觯菏?P160 27題 再給出一道經(jīng)典的題:,求證:時(shí), 先看答案:通過(guò)逆向思維得:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)有: 則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) 啟示: 1、 證明奇偶項(xiàng)求和不等式也可以化為等比數(shù)列(通過(guò)并項(xiàng)) 2、 證明部分奇偶項(xiàng)求和不等式可先證明n為奇數(shù)(或偶數(shù))時(shí)成立,再利用證明n為偶數(shù)(或奇數(shù))時(shí)成立。 總結(jié)(不一定齊全,自己可繼續(xù)積累經(jīng)驗(yàn)): 1、 第一原則是上下聯(lián)系 2、 盡量化簡(jiǎn)原不等式至方便分析、解決的形態(tài)

14、3、 存在考慮取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)或者二項(xiàng)式 4、 存在可考慮求導(dǎo)或者去指數(shù)或者直接運(yùn)算 5、 存在可以求導(dǎo)或者通過(guò)值域定義域的關(guān)系去掉 6、 證明或者可考慮:或者;證明:時(shí)可考慮并項(xiàng) 7、 如果對(duì)于證明一個(gè)不等式不確定用哪個(gè)方法,多試幾次遇到這種情況總結(jié)出適合自己的方法試用順序 例子: 一、2012年一模題壓軸題: 證明: 思路:因?yàn)閮蛇吳蠛突蛘吡秧?xiàng)都不太容易,所以果斷試證: 即證: 若構(gòu)造函數(shù)因?yàn)榈拇嬖诤茈y求導(dǎo);若用不等式也因?yàn)榈拇嬖诤茈y運(yùn)用二項(xiàng)式定理證明得出,重要不等式就更難運(yùn)用了;顯然這個(gè)不等式?jīng)]什么好上下聯(lián)系的;放縮其實(shí)自己沒(méi)底,于是試試數(shù)歸先 直接在草稿紙上算

15、第二步:要證:,現(xiàn)在顯然二項(xiàng)式定理就適用了 所以思路就出來(lái)了:要證,只需證,再通過(guò)數(shù)歸和二項(xiàng)式定理的結(jié)合即可證出 二、,(),已知,求證: (上題證得:) 題目都有提示了,于是取對(duì)數(shù),即證: 顯然容易遞推后裂項(xiàng)求和,而就變得礙事了,為了遞推求和怎么辦呢?由于上題有,于是將遞推關(guān)系改為:,接下來(lái)通過(guò)遞推后求和問(wèn)題便迎刃而解了。 總之,證不等式一定要運(yùn)用好逆向思維,學(xué)會(huì)預(yù)判。這種思維通過(guò)熟悉各種方法使用范圍后,做幾題陌生題,按這種思維應(yīng)該能提供比較明確的思路。 答案: 數(shù)學(xué)歸納法(全國(guó)題): 先特殊值法:若要?jiǎng)t 然后巧妙利用已知條件證明單調(diào)性:(數(shù)歸第二步): 接下來(lái)就是要證明:,而,分離變量得 再次運(yùn)用數(shù)歸證明即為所求即可 加強(qiáng)放縮: 1、右邊增加后數(shù)歸 2、右邊增加,從n2起開(kāi)始數(shù)歸 3、右邊增加,其中常數(shù)可在[,2]間,從n2起開(kāi)始數(shù)歸 遞推: 顯然為,接下來(lái)的就是遞推,變形通項(xiàng)公式: 由已知條件得 絕對(duì)值不等式: 第一問(wèn):運(yùn)用拉格朗日中值定理,注意對(duì)應(yīng)①②的性質(zhì)證明,明確寫出 二三問(wèn)直接上答案: (2)設(shè)存在兩個(gè)使得,則 由,得,所以,矛盾,故結(jié)論成立。 (3),所以 +… 最后祝大家高考順利,考到理想的大學(xué)^ ^

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