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(江蘇專(zhuān)用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章第9課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算課時(shí)闖關(guān)(含解析)

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1、 (江蘇專(zhuān)用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章第9課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 課時(shí)闖關(guān)(含解析) [A級(jí) 雙基鞏固] 一、填空題 1.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的位移為s=t3-t2+2t,那么速率為零的時(shí)刻是________. 解析:s′=t2-3t+2,令s′=0,則t=1或t=2. 答案:1秒末和2秒末 2.函數(shù)y=(x+1)2(x-1)在x=1處的導(dǎo)數(shù)等于________. 解析:y=(x+1)2(x-1)=(x+1)(x2-1)=x3+x2-x-1. ∴y′=3x2+2x-1,∴y′|x=1=3+2-1=4. 答案:4 3.曲線y=xex+2x

2、+1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為_(kāi)_______. 解析:y′=ex+x·ex+2,y′|x=0=3, ∴切線方程為y-1=3(x-0), ∴y=3x+1,即3x-y+1=0. 答案:3x-y+1=0 4.曲線y=x3+x在點(diǎn)(1,)處的切線和坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)_______. 解析:f′(x)=x2+1,故k切=f′(1)=2, ∴切線方程為y-=2(x-1), 即y=2x-,切線和x軸、y軸交點(diǎn)為(,0),(0,-). 故所求面積為S=××=. 答案: 5.若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______. 解析:

3、∵f′(x)=4x3-1,由題意4x3-1=3, ∴x=1,故切點(diǎn)P(1,0). 答案:(1,0) 6.已知函數(shù)f(x)的圖象在M(1,f(1))處的切線方程為y=x+2,則f(1)+f′(1)=________. 解析:∵f(1)=,f′(1)=,∴f(1)+f′(1)=3. 答案:3 7.已知曲線f(x)=xlnx的一條切線的斜率為2,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_______. 解析:f′(x)=lnx+1,∴l(xiāng)nx+1=2.∴x=e. 答案:e 8.若曲線f(x)=ax2+lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______. 解析:f′(x)=2ax+,∵f(x

4、)存在垂直于y軸的切線, ∴f′(x)=0有解,即2ax+=0有解,∴a=-, ∴a∈(-∞,0). 答案:(-∞,0) 二、解答題 9.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=x(x2++);(2)y=(+1)(-1); (3)y=xtan x;(4)y=x-sincos; (5)y=3lnx+ax(a>0,且a≠1). 解:(1)∵y=x(x2++)=x3+1+,∴y′=3x2-. (2)∵y=·-+-1=-x+x-, ∴y′=(-x+x-)′=-x--x-=-(1+). (3)y′=(xtan x)′=()′ = = =. (4)y′=(x-sincos)′=(x-

5、sin x)′=1-cos x. (5)y′=(3ln x+ax)′=+axln a. 10.已知函數(shù)f(x)=ax2+2lnx(a∈R),設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l,若l與圓C:x2+y2=相切,求a的值及切線l的方程. 解:依題意有f(1)=a, f′(x)=2ax+,∴f′(1)=2a+2. ∴直線l的方程為y-a=(2a+2)(x-1), 即(2a+2)x-y-a-2=0.* ∵l與圓C相切,∴=,解得a=-. 把a(bǔ)=-代入*并整理得切線l的方程為6x+8y+5=0. [B級(jí) 能力提升] 一、填空題 1.(2012·蘇北四市質(zhì)檢) 已

6、知函數(shù)y=f(x)及其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示,則曲線y=f(x)在點(diǎn)P處的切線方程是________. 解析:由圖可知,f′(2)=1,所以切線方程為y=x-2,即x-y-2=0. 答案:x-y-2=0 2.已知f(x)=f′()cosx+sinx,則f()的值為_(kāi)_______. 解析:因?yàn)閒′(x)=-f′()sinx+cosx,所以f′()=-f′()·sin()+cos?f′()=-1, 故f()=f′()cos+sin?f()=1. 答案:1 3.(2010·高考遼寧卷改編)已知點(diǎn)P在曲線y=上,α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則α的取值范圍是_______

7、_. 解析:y′=-=-. 設(shè)t=ex∈(0,+∞), 則y′=-=-, ∵t+≥2,∴y′∈[-1,0),α∈[,π). 答案:[,π) 4.(2010·高考江蘇卷)函數(shù)y=x2(x>0)的圖象在點(diǎn)(ak,a)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,其中k∈N*.若a1=16,則a1+a3+a5的值是________. 解析:∵y′=2x,∴在點(diǎn)(ak,a)處的切線方程為 y-a=2ak(x-ak), 又該切線與x軸的交點(diǎn)為(ak+1,0), 所以ak+1=ak, 即數(shù)列{ak}是等比數(shù)列,首項(xiàng)a1=16,其公比q=, ∴a3=4,a5=1, ∴a1+a3+a5=2

8、1. 答案:21 二、解答題 5.已知函數(shù)f(x)=x3-x. (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(t,f(t))處的切線方程; (2)設(shè)a>0,如果過(guò)點(diǎn)(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線,證明:-a

9、有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根, 記g(t)=2t3-3at2+a+b,則g′(t)=6t2-6at=6t(t-a) 當(dāng)t變化時(shí),g(t),g′(t)變化情況如下表: t (-∞,0) 0 (0,a) a (a,+∞) g′(t) + 0 - 0 + g(t) ↗ 極大值a+b ↘ 極小值b-f(a) ↗ 由g(t)的單調(diào)性,當(dāng)極大值a+b<0或極小值b-f(a)>0時(shí),方程g(t)=0最多有一個(gè)實(shí)數(shù)根; 當(dāng)a+b=0時(shí),解方程g(t)=0得t=0,t=, 即方程g(t)=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根; 當(dāng)b-f(a)=0時(shí),解方程g(t)=0,得 t=-,t=

10、a,即方程g(t)=0只有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根. 綜上,如果過(guò)(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線, 即g(t)=0有三個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則 即-a

11、2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x.① 函數(shù)y=-x2+a的導(dǎo)函數(shù)為y′=-2x,曲線C2在點(diǎn)Q(x2,-x+a)的切線方程是y-(-x+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x+a.② 如果直線l是過(guò)P和Q的公切線,則①式和②式都是l的方程, 所以 消去x2得方程2x+2x1+1+a=0, 若判別式Δ=4-4×2(1+a)=0, 即a=-時(shí),解得x1=x2=-,此時(shí)P、Q重合, 即a=-時(shí),C1和C2有且僅有一條公切線. 由①得公切線方程為:y=x-. (2)證明:由(1)可知,當(dāng)Δ>0,即a<-時(shí),C1和C2有兩條公切線. 設(shè)一條公切線上切點(diǎn)為P(x1,y1),Q(x2,y2), 其中P在C1上,Q在C2上,則有x1+x2=-1, y1+y2=x+2x1+(-x+a) =x+2x1-(x1+1)2+a=a-1. 線段PQ的中點(diǎn)為(-,), 同理,另一條公切線段P′Q′的中點(diǎn)也是(-,). 所以公切線段PQ和P′Q′互相平分

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