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1、考點專練(三十七) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1．(2011年湖南)設下圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A.π＋12 B.π＋18 C．9π＋42 D．36π＋18 解析：由三視圖知該幾何體是由直徑為3的球和底面邊長為3，高為2的正四棱柱按上、下放置的一個組合體，其體積V＝32×2＋π×()3＝18＋π. 答案：B 2．已知某幾何體的三視圖如圖，其中正(主)視圖中半圓的半徑為1，則該幾何體的體積為 (　　) A．24－ B．24－ C．24－π D．24－ 解析：該幾何體是一個長方體挖去一個半圓

2、柱體，其體積等于3×2×4－3××π×12＝24－. 答案：A 3．(2012年唐山統(tǒng)考)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為 (　　) A. 　　　 B. C．4π 　　　 D．2π 解析：根據三視圖還原幾何體為一個如圖所示的三棱錐D－ABC，其中平面ADC⊥平面ABC，△ADC為等邊三角形． 取AC的中點為E，連接DE、BE，則有DE⊥AC，所以DE⊥平面ABC，所以DE⊥EB.由圖中數據知AE＝EC＝EB＝1，DE＝，AD＝2.設此三棱錐的外接球的球心為O，則它落在高線DE上，連接OA，則有AO2＝AE2＋OE2＝1＋

3、OE2，AO＝DO＝DE－OE＝－OE， 所以AO＝，故球O的半徑為，故所求幾何體的外接球的表面積S＝4π×()2＝π，故選B. 答案：B 4．(2012年東北三校4月模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位長度：cm)，俯視圖中圓與四邊形相切，且該幾何體的體積為π cm3，則該幾何體的高度h為 (　　) A．π cm B．(π＋)cm C．(π＋2)cm D．(3π＋2)cm 解析：由題圖可知原幾何體是由一個四棱柱和一個球體的組合體，設球半徑為R，棱柱的側棱長為l，則V球＝πR3，V柱＝·l＝6l. 又R＝＝， ∴V＝π＋6l＝，∴l(xiāng)＝π. ∴h＝l＋2R＝(

4、π＋2)cm. 答案：C 5．(2012年北京海淀二模)某幾何體的主視圖與俯視圖如圖所示，左視圖與主視圖相同，且圖中的四邊形都是邊長為2的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是 (　　) A.　　　 B.　　　 C．6　　　 D．4 解析：由三視圖知，該幾何體是正方體挖去一個以正方體的中心為頂點，以正方體的上面為底面的四棱錐后的剩余部分，其體積為V＝23－×22×1＝.故選A. 答案：A 6．(2012年銀川質檢)已知矩形ABCD的面積為8，當矩形ABCD周長最小時，沿對角線AC把△ACD折起，則三棱錐D－ABC的外接球表面積等于(　　) A．8π B．16π

5、 C．48π D．不確定的實數 解析：設矩形的兩鄰邊長度分別為a，b，則ab＝8，此時2a＋2b≥4＝8，當且僅當a＝b＝2時等號成立．此時四邊形ABCD為正方形，其中心到四個頂點的距離相等，均為2，無論怎樣折疊，其四個頂點都在一個半徑為2的球面上，這個球的表面積是4π×22＝16π. 答案：B 二、填空題 7．(2012年云南昆明二模)如圖是一個幾何體的三視圖(單位：m)，則幾何體的體積為________． 解析： 如圖所示，此幾何體是一個以AA1，A1D1，A1B1為棱的長方體被平面BB1C1C截取后得到的，易得其體積為長方體的體積的，因為長方體的體積為2×4×2

6、＝16(m3)，故所求的體積為12 m3. 答案：12 m3 8．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________． 解析：依題意可知，該幾何體是一個半球與一個正四棱柱的組合體，因此該幾何體的表面積等于22＋4×2×3＋×4π×22＋π×22－22＝24＋12π. 答案：24＋12π 9．(2012年北京西城二模)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，該幾何體的體積是________；若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則球的表面積是________． 解析： 由三視圖可知，該幾何體是四棱錐P－ABCD(如圖

7、)，其中底面ABCD是邊長為1的正方形．PA⊥底面ABCD，且PA＝1.該四棱錐的體積V＝×1×1×1＝.又PC為其外接球的直徑，2R＝PC＝.則球的表面積為S＝4πR2＝3π. 答案：；3π 三、解答題 10．如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)． (1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)； (2)求這個幾何體的表面積及體積． 解：(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示． (2)這個幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體． 由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2， 可得PA1⊥PD1. 故所求幾何體的表面積 S＝5×22＋2×2

8、×＋2××()2 ＝22＋4(cm2)， 所求幾何體的體積V＝23＋×()2×2＝10(cm3)． 11．(2012年陜西)直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝. (1)證明：CB1⊥BA1； (2)已知AB＝2，BC＝，求三棱錐C1－ABA1的體積． 解：(1)證明：如圖，連接AB1， ∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝， ∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1. 又∵AB＝AA1，∴四邊形ABB1A1是正方形， ∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A， ∴BA1⊥平面CAB1，故CB1＝BA1. (2)∵AB＝AA1＝2，BC＝

9、，∴AC＝A1C1＝1， 由(1)知，A1C1⊥平面ABA1， ∴VC1－ABA1＝S△ABA1·A1C1＝×2×1＝. 12．正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內有一個球與它的四個面都相切(如圖)．求： (1)這個正三棱錐的表面積； (2)這個正三棱錐內切球的表面積與體積． 解：(1)底面正三角形中心到一邊的距離為 ××2＝， 則正棱錐側面的斜高為＝. ∴S側＝3××2×＝9. ∴S表＝S側＋S底＝9＋××(2)2 ＝9＋6. (2)設正三棱椎P－ABC的內切球球心為O，連接OP、OA、OB、OC，而O點到三棱錐的四個面的距離都為球的半徑r. ∴VP－AB

10、C＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC ＝S側·r＋S△ABC·r ＝S表·r＝(3＋2)r. 又VP－ABC＝×××(2)2×1＝2， ∴(3＋2)r＝2， 得r＝＝＝－2. ∴S內切球＝4π(－2)2＝(40－16)π. V內切球＝π(－2)3＝(9－22)π. [熱點預測] 13．(1)(2012年河南鄭州5月模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中，正視圖、側視圖均是由三角形與半圓構成，俯視圖由圓與內接三角形構成，根據圖中的數據可得此幾何體的體積為 (　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ (2)一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的外接球的面積為________． 解析：(1)由已知可得幾何體下部為半球體，上部為三棱錐．V下部＝· πr3＝π·3＝.V上部＝Sh＝×(1×1×)×1＝.故V＝＋.故選C. (2)由三視圖知此幾何體為一正八面體，且外接球半徑r＝，S＝4πr2＝2π. 答案：(1)C　(2)2π