《2013高考數(shù)學 秒殺必備 攻克圓錐曲線解答題的策略論文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2013高考數(shù)學 秒殺必備 攻克圓錐曲線解答題的策略論文（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、攻克圓錐曲線解答題的策略 摘要:為幫助高三學生學好圓錐曲線解答題，提高成績，戰(zhàn)勝高考，可從四個方面著手：知識儲備、方法儲備、思維訓練、強化訓練。 關鍵詞：知識儲備 方法儲備 思維訓練 強化訓練 第一、知識儲備： 1. 直線方程的形式 （1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。 （2）與直線相關的重要內(nèi)容 ①傾斜角與斜率 ②點到直線的距離 ③夾角公式： （3）弦長公式 直線上兩點間的距離： 或 （4）兩條直線的位置關系 ①=-1 ② 2、圓錐曲線方程及性質(zhì) (1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式） 標準方程：

2、 距離式方程： 參數(shù)方程： (2)、雙曲線的方程的形式有兩種 標準方程： 距離式方程： (3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？ (4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？ 如：已知是橢圓的兩個焦點，平面內(nèi)一個動點M滿足則動點M的軌跡是（ ） A、雙曲線；B、雙曲線的一支；C、兩條射線；D、一條射線 (5)、焦點三角形面積公式： （其中） (6)、記住焦半徑公式：（1），可簡記為“左加右減，上加下減”。 （2） （3） (6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚

3、嗎？ 第二、方法儲備 1、點差法（中點弦問題） 設、，為橢圓的弦中點則有 ，；兩式相減得 = 2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？ 設直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個二次方程，使用判別式，以及根與系數(shù)的關系，代入弦長公式，設曲線上的兩點，將這兩點代入曲線方程得到兩個式子，然后-，整體消元······，若有兩個字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系，消去一個，比如直線過焦點，則可以利用三點A、B、F共線解決之。若有向量的關系，則尋找坐標之間的關系，根與系數(shù)的關系結合消元處理。一旦設直線為，就意

4、味著k存在。 例1、已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上，且點A是橢圓短軸的一個端點（點A在y軸正半軸上）. （1）若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC的方程; （2）若角A為，AD垂直BC于D，試求點D的軌跡方程. 分析：第一問抓住“重心”，利用點差法及重心坐標公式可求出中點弦BC的斜率，從而寫出直線BC的方程。第二問抓住角A為可得出AB⊥AC，從而得，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點D的軌跡方程； 解：（1）設B（,）,C(,),BC中點為(),F(2,0) 則有 兩式作差有 (1) F(2,0)為三角形重心，所以由，得 由得， 代入（1）得

5、直線BC的方程為 2)由AB⊥AC得 （2） 設直線BC方程為，得 ， 代入（2）式得 ，解得或 直線過定點（0，，設D（x,y） 則 即 所以所求點D的軌跡方程是。 4、設而不求法 例2、如圖，已知梯形ABCD中，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點當時，求雙曲線離心率的取值范圍。 分析：本小題主要考查坐標法、定比分點坐標公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。建立直角坐標系，如圖，若設C，代入，求得，進而求得再代入，建立目標函數(shù)，整理，此運算量可見是難上加難.我們對可采取設而不求的解題策略,

6、建立目標函數(shù)，整理,化繁為簡. 解法一：如圖，以AB為垂直平分線為軸，直線AB為軸，建立直角坐標系，則CD⊥軸因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性知C、D關于軸對稱 依題意，記A，C，E，其中為雙曲線的半焦距，是梯形的高 由定比分點坐標公式得 ， 設雙曲線的方程為，則離心率 由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標和代入雙曲線方程得 ，

7、 ① ② 由①式得 ， ③ 將③式代入②式，整理得 ， 故 由題設得， 解得 所以雙曲線的離心率的取值范圍為 分析：考慮為焦半徑,可用焦半徑公式, 用的橫坐標表示，回避的計算, 達到設而不求的解題策略． 解法二：建系同解法一，， ，又，代入整理，由題設得， 解得 所以雙

8、曲線的離心率的取值范圍為 5、判別式法 例3已知雙曲線，直線過點，斜率為，當時，雙曲線的上支上有且僅有一點B到直線的距離為，試求的值及此時點B的坐標。 分析1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學科，因此，數(shù)形結合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B作與平行的直線，必與雙曲線C相切. 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構造方程的判別式. 由此出發(fā)，可設計如下解題思路： 把直線l’的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式 直線l’在l的上方且到直線l的距離為 解題過程略. 分析2：如果從

9、代數(shù)推理的角度去思考，就應當把距離用代數(shù)式表達，即所謂“有且僅有一點B到直線的距離為”，相當于化歸的方程有唯一解. 據(jù)此設計出如下解題思路： 轉化為一元二次方程根的問題 求解 問題 關于x的方程有唯一解 簡解：設點為雙曲線C上支上任一點，則點M到直線的距離為： 于是，問題即可轉化為如上關于的方程. 由于，所以，從而有 于是關于的方程 由可知： 方程的二根同正，故恒成立，于是等價于 . 由如上關于的方程有唯一解，得其判別式，就可解得 .

10、 點評：上述解法緊扣解題目標，不斷進行問題轉換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性. 例4已知橢圓C:和點P（4，1），過P作直線交橢圓于A、B兩點，在線段AB上取點Q，使，求動點Q的軌跡所在曲線的方程. 分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學生往往不知從何入手。其實，應該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設法將點Q的橫、縱坐標用參數(shù)表達，最后通過消參可達到解題的目的. 由于點的變化是由直線AB的變化引起的，自然可選擇直線AB的斜率作為參數(shù)，如何將與聯(lián)系起來？一方面利用點Q在直線AB上；另一方面就是運用題目條件：來轉化.由A、B、P、Q四點

11、共線，不難得到，要建立與的關系，只需將直線AB的方程代入橢圓C的方程，利用韋達定理即可. 通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù). 將直線方程代入橢圓方程，消去y，利用韋達定理 利用點Q滿足直線AB的方程：y = k (x—4)+1，消去參數(shù)k 點Q的軌跡方程 在得到之后，如果能夠從整體上把握，認識到：所謂消參，目的不過是得到關于的方程（不含k），則可由解得，直接代入即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過程。 簡解：設，則由可得：， 解之得：

12、 （1） 設直線AB的方程為：，代入橢圓C的方程，消去得出關于 x的一元二次方程： （2） ∴ 代入（1），化簡得： (3) 與聯(lián)立，消去得： 在（2）中，由，解得 ，結合（3）可求得 故知點Q的軌跡方程為： （）. 點評：由方程組實施消元，產(chǎn)生一個標準的關于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達定理模塊思維易于想到. 這當中，難點在引出參，活點在應用參，重點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道. 6、求根公式法 例5設直線過點P（

13、0，3），和橢圓順次交于A、B兩點，試求的取值范圍. 分析：本題中，絕大多數(shù)同學不難得到：=，但從此后卻一籌莫展, 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構造所求變量關于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關系式（或方程），這只需利用對應的思想實施；其二則是構造關于所求量的一個不等關系. 分析1: 從第一條想法入手，=已經(jīng)是一個關系式，但由于有兩個變量，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量——直線AB的斜率k. 問題就轉化為如何將轉化為關于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y得出關于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

14、 所求量的取值范圍 把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程 xA= f（k），xB = g（k） 得到所求量關于k的函數(shù)關系式 求根公式 AP/PB = —（xA / xB） 由判別式得出k的取值范圍 簡解1：當直線垂直于x軸時，可求得; 當與x軸不垂直時，設，直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 解之得 因為橢圓關于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮的情形. 當時，，， 所以 ===. 由 , 解得 ， 所以 ， 綜上 . 分析2: 如果想構造關于所求

15、量的不等式，則應該考慮到：判別式往往是產(chǎn)生不等的根源. 由判別式值的非負性可以很快確定的取值范圍，于是問題轉化為如何將所求量與聯(lián)系起來. 一般來說，韋達定理總是充當這種問題的橋梁，但本題無法直接應用韋達定理，原因在于不是關于的對稱關系式. 原因找到后，解決問題的方法自然也就有了，即我們可以構造關于的對稱關系式. 把直線l的方程y = kx+3代入橢圓方程，消去y得到關于x的一元二次方程 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k） 構造所求量與k的關系式 關于所求量的不等式 韋達定理 AP/PB = —（xA / xB） 由判別式得出k的取值范圍

16、 簡解2：設直線的方程為：，代入橢圓方程，消去得 （*） 則 令，則， 在（*）中，由判別式可得 ， 從而有 ， 所以 ， 解得 . 結合得. 綜上，. 點評：范圍問題不等關系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結合法等等. 本題也可從數(shù)形結合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法. 解題猶如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至會被局部所糾纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里. 第三、推理

17、訓練：數(shù)學推理是由已知的數(shù)學命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學求解的核心。以已知的真實數(shù)學命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當?shù)慕忸}方法，達到解題目標，得出結論的一系列推理過程。在推理過程中，必須注意所使用的命題之間的相互關系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦，快速提高解題能力。 例6橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且，． （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由。 思維流程： 寫出橢圓方程

18、 由， ， （Ⅰ） 由F為的重心 （Ⅱ） 兩根之和， 兩根之積 得出關于 m的方程 解出m 消元

19、 解題過程： （Ⅰ）如圖建系，設橢圓方程為,則 又∵即 ∴ 故橢圓方程為 （Ⅱ）假設存在直線交橢圓于兩點，且恰為的垂心，則 設，∵，故， 于是設直線為 ，由得 ∵ 又 得 即 由韋達定理得 解得或（舍） 經(jīng)檢驗符合條件． 點石成金：垂心的特點是垂心與頂點的連線垂直對邊，然后轉化為兩向量乘積為零． 例7、已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過、、三點． （Ⅰ）求橢圓的方程： （Ⅱ）若點D為橢圓上不同于、的任意一點，，當Δ內(nèi)切圓的面積最大時，求Δ內(nèi)心的坐標； 由橢圓經(jīng)過A、B、C三點 設方程為 得到的方程組

20、 解出 思維流程： （Ⅰ） 由內(nèi)切圓面積最大 轉化為面積最大 轉化為點的縱坐標的絕對值最大最大 為橢圓短軸端點 面積最大值為 （Ⅱ） 得出點坐標為 解題過程：

21、 （Ⅰ）設橢圓方程為 將、、代入橢圓E的方程，得 解得. ∴橢圓的方程 ． （Ⅱ），設Δ邊上的高為 當點在橢圓的上頂點時，最大為，所以的最大值為． 設Δ的內(nèi)切圓的半徑為，因為Δ的周長為定值6．所以， 所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標為. 點石成金： 例8、已知定點及橢圓，過點的動直線與橢圓相交于兩點. （Ⅰ）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程； （Ⅱ）在軸上是否存在點，使為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由. 思維流程： （Ⅰ）解：依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為， 將代入， 消去整理得 設 則

22、 由線段中點的橫坐標是， 得， 解得，符合題意。 所以直線的方程為 ，或 . （Ⅱ）解：假設在軸上存在點，使為常數(shù). ① 當直線與軸不垂直時，由（Ⅰ）知 所以 將代入，整理得 注意到是與無關的常數(shù)， 從而有， 此時 ② 當直線與軸垂直時，此時點的坐標分別為，當時， 亦有 綜上，在軸上存在定點，使為常數(shù).

23、 點石成金： 例9、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m（m≠0），交橢圓于A、B兩個不同點。 （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）求m的取值范圍； （Ⅲ）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形. 思維流程： 解：（1）設橢圓方程為 則 ∴橢圓方程為 （Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m 又KOM= 由 ∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，

24、（Ⅲ）設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可 設 則 由 而 故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形. 點石成金：直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形 例10、已知雙曲線的離心率， 過的直線到原點的距離是 （1）求雙曲線的方程； （2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. 思維流程： 解：∵（1）原點到直線AB：的距離. 故所求雙曲線方程為 （2）把中消去y，整理得 . 設的中點是，則 即 故所求k=±. 點石成金:

25、 C，D都在以B為圓心的圓上BC=BDBE⊥CD; 例11、已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1． （Ⅰ）求橢圓C的標準方程； （II）若直線y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點（A、B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標． 思維流程： 解：（Ⅰ）由題意設橢圓的標準方程為， 由已知得：， 橢圓的標準方程為． （II）設． 聯(lián)立 得 ，則 又． 因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點， ，即. ． ． ． 解得：，且均滿足

26、． 當時，的方程，直線過點，與已知矛盾； 當時，的方程為，直線過定點． 所以，直線過定點，定點坐標為． 點石成金：以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點 CA⊥CB; 例12、已知雙曲線的左右兩個焦點分別為,點P在雙曲線右支上. （Ⅰ）若當點P的坐標為時,,求雙曲線的方程； （Ⅱ）若,求雙曲線離心率的最值,并寫出此時雙曲線的漸進線方程. 思維流程： 解：（Ⅰ）(法一)由題意知,, , , （1分） 解得 . 由雙曲線定義得: , 所求雙曲線的方程為: (法二) 因,由斜率之積為,可得解. （Ⅱ）設, (法一)設P的坐標為, 由焦半徑公式得,,， 的最大值為2,無最小值. 此時, 此時雙曲線的漸進線方程為 (法二)設,. (1)當時, , 此時 . (2)當,由余弦定理得: , ,,綜上,的最大值為2,但無最小值. (以下法一)