《(福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章第8課時 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例課時闖關(guān)(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章第8課時 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例課時闖關(guān)(含解析)(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
(福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第三章第8課時 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例課時闖關(guān)(含解析)
一、選擇題
1.(2012·龍巖質(zhì)檢)如果在測量中,某渠道斜坡的坡比為,設(shè)α為坡角,那么cosα等于( )
A. B.
C. D.
解析:選B.因tanα=,所以cosα=.
2.如圖所示,為了測量隧道口AB的長度,給定下列四組數(shù)據(jù),測量時最適合用數(shù)據(jù)( )
A.α,a,b B.α,β,a
C.a(chǎn),b,γ D.α,β,b
解析:選C.在△ABC中,∵AB2=a2+b2-2abcosγ,
∴最合適的數(shù)據(jù)是a,b,γ.
3.(
2、2012·三明質(zhì)檢)如圖,在一幢20 m高的樓頂測得對面一塔吊頂部的仰角為60°,塔基的俯角為45°,那么該塔吊的高是( )
A.20 m
B.20(1+) m
C.10(+) m
D.20(+) m
解析:選B.由題意得CE=AE=AB=20 m,DE=AE·tan 60°=20 m,所以塔吊的高為20+20=20(1+)(m).
4.某人向正東方向走x km后,向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3 km,結(jié)果他離出發(fā)點恰好 km,那么x的值為( )
A. B.2
C.2或 D.3
解析:選C.如圖,由題意得∠ABC=30°.因為AC=,BC=3,AB=x,
AC
3、2=AB2+BC2-2AB·BC·cos30°,所以()2=32+x2-3x.解得x=2或x=.
5.一船自西向東勻速航行,上午10時到達(dá)燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處,下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處,則這只船航行的速度為( )
A.海里/時 B.34海里/時
C.海里/時 D.34海里/時
解析:選A.如圖,由題意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.
在△PMN中,
由正弦定理,得=,
∴MN=68×=34(海里).
又由M到N所用時間為 14-10=4(小時),
∴船的航行速度v==(海里/時).
二、填空題
6.在直徑為3
4、0 m的圓形廣場中央上空,設(shè)置一個照明光源,射向地面的光呈圓形,且其軸截面頂角為120°,若要光源恰好照亮整個廣場,則光源的高度為________ m.
解析:軸截面如圖,則光源高度h==5 m.
答案:5
7.如圖,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,與O相距10海里的C處,現(xiàn)甲船以30海里/小時的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向20海里的B處的乙船,甲船需要________小時到達(dá)B處.
解析:由題意,對于CB的長度,
由余弦定理,得
CB2=CO2+OB2-2CO·OBcos120°
=100+400+200=700.
∴CB=10(海里),
∴甲船所需時
5、間為=(小時).
答案:
8.如圖,在坡度為15°的觀禮臺上,某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上,在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°,且第一排和最后一排的距離為10米,則旗桿的高度為________米.
解析:設(shè)旗桿高為h米,最后一排為點A,第一排為點B,
旗桿頂端為點C,則BC==h.
在△ABC中,AB=10,∠CAB=45°,∠ABC=105°,
所以∠ACB=30°,由正弦定理得,=,故h=30.
答案:30
三、解答題
9.航空測量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi),已知飛機(jī)的高度為海拔10000 m,速度為180 km(千米)/
6、h(小時)飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?5°,經(jīng)過420 s(秒)后又看到山頂?shù)母┙菫?5°,求山頂?shù)暮0胃叨?取=1.4,=1.7).
解:如圖 ∵∠A=15°,
∠DBC=45°
∴∠ACB=30°,
AB=180 km(千米)/h(小時)×420 s(秒)=21000 (m).
∴在△ABC中,∴=,
∴BC=·sin15°=10500(-),
∴CD⊥AD,
∵CD=BCsin∠CBD=BC×sin45°
=10500(-)×
=10500(-1)=10500(1.7-1)=7350
即山頂?shù)暮0胃叨龋?0000-7350=2650(米)
10.某市電力部門在抗
7、雪救災(zāi)的某項重建工程中,需要在A、B兩地之間架設(shè)高壓電線,因地理條件限制,不能直接測量A、B兩地距離. 現(xiàn)測量人員在相距 km的C、D兩地(假設(shè)A、B、C、D在同一平面上),測得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(如圖),假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因,實際所須電線長度大約應(yīng)該是A、B距離的倍,問施工單位至少應(yīng)該準(zhǔn)備多長的電線?
解:在△ACD中,由已知可得,∠CAD=30°,
所以,AC= km,
在△BCD中,由已知可得,∠CBD=60°,
sin75°=sin(45°+30°)=,
由正弦定理,BC==,
cos75°=cos(4
8、5°+30°)=,
在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBC·cos∠BCA=()2+2-2··cos75°=5,
所以,AB=,施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線長.
即施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線長 km.
一、選擇題
1.某人要制作一個三角形,要求它的三條高的長度分別為,,,則此人( )
A.不能作出這樣的三角形
B.能作出一個銳角三角形
C.能作出一個直角三角形
D.能作出一個鈍角三角形
解析:選D.設(shè)三邊為a,b,c,則由面積公式得a·=b·=c·=x,x>0,則a=13x,b=11x,c=5x. 由(13x)2>(11x)2+(5x)2=146x2,∴可以得
9、到一個鈍角三角形.
2.(2012·福州調(diào)研)臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動,離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A的正東40千米處,B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為( )
A.0.5小時 B.1小時
C.1.5小時 D.2小時
解析:選B.法一:設(shè)A地東北方向上點P到B的距離為30千米,AP=x,
在△ABP中PB2=AP2+AB2-2AP·AB·cosA,
即302=x2+402-2x·40cos45°,
化簡得x2-40x+700=0,
|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=400,|x1-x2|=20,即CD=20,故t===1
10、.
法二:如圖以A為原點東西向為x軸建系.BE⊥CD于E,
∵BE=40cos45°=20,CD=2=20,以下同上,
二、填空題
3.某班設(shè)計了一個八邊形的班徽(如圖),它由腰長為1,頂角為α的四個等腰三角形,及其底邊構(gòu)成的正方形所組成,該八邊形的面積為________.(用α的三角函數(shù)值表示)
解析:四個等腰三角形的面積之和為4××1×1×sinα=2sinα,
在一個三角形中由余弦定理可知正方形的邊長為=,
所以正方形的面積為2-2cosα,因此,該八邊形的面積為2sinα+2-2cosα.
答案:2sinα-2cosα+2
4.如圖,點A在坡度一定的山坡上
11、.已知在點A測得山頂上一建筑物頂端C對于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100 m后,又從點B測得斜度為45°.假設(shè)建筑物高50 m,求此山坡對于地平面的坡角θ的余弦值________.
解析:在△ABC中,AB=100 m,∠CAB=15°,
∠ACB=45°-15°=30°.
由正弦定理得=,所以BC=200sin15°.
在△DBC中,CD=50 m,∠CBD=45°,∠CDB=90°+θ.
由正弦定理得=,
所以cosθ=-1.
答案:-1
三、解答題
5.如圖,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知
12、在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處求援,求cosθ的值.
解:如題圖所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800?BC=20.
由正弦定理得,=?
sin∠ACB=sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,知∠ACB為銳角,
則cos∠ACB=.
由θ=∠ACB+30°,
得cosθ=cos(∠ACB+30°)
=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.
6.(2012·廈門質(zhì)檢)某海島上有一座海拔1千米的山,山頂
13、上有一觀察站P(P在海平面上的射影點為A),測得一游艇在海島南偏西30°,俯角為45°的B處,該游艇準(zhǔn)備前往海島正東方向,俯角為45°的旅游景點C處,如圖所示.
(1)設(shè)游艇從B處直線航行到C處時,距離觀察站P最近的點為D處.
(ⅰ) 求證:BC⊥平面PAD ;(ⅱ)計算B、D兩點間的距離.
(2)海水退潮后,在(1)中的點D處周圍0.25千米內(nèi)有暗礁,航道變窄. 為了有序參觀景點,要求游艇從B處直線航行到A的正東方向某點E處后,再沿正東方向繼續(xù)駛向C處. 為使游艇不會觸礁,試求AE的最大值.
解:(1)(ⅰ)證明:連結(jié)PD,AD
∵游艇距離觀察站P最近的點為D處,
∴PD⊥
14、BC,
又依題意可知PA⊥平面ABC,
∴PA⊥BC.
又PA∩PD=P.∴BC⊥平面PAD.
(ⅱ)依題意又知PA⊥AB,∠PBA=45°,PA=1,∴AB=1,
同理AC=1,且∠BAC=120°,∴∠ABC=∠ACB=30°,
又BC⊥AD,∴D為BC的中點,且BD=.
(2)法一:依題意過點B作圓D的切線交AC于點E,切點為G,則AE取得最大值
設(shè)AE=x,則CE=1-x,過點E作EF⊥BC于F,則EF=.
連結(jié)DG,則DG⊥BE.
∴Rt△BGD∽Rt△BFE.
∴=,可得BE=(1-x).
在△ABE中,BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BA
15、C,
即3(1-x)2=1+x2+x,化簡得2x2-7x+2=0,解得x1=,x2=.
又∵0