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1、 （福建專用）2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第2課時 空間幾何體的表面積和體積課時闖關(guān)（含解析） 一、選擇題 1．(2012·泉州質(zhì)檢)過球的一條半徑的中點(diǎn)作垂直于這條半徑的球的截面，則此截面面積是球表面積的(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B.由題意可得截面圓半徑為R(R為球的半徑)，所以截面面積為π(R)2＝πR2，又球的表面積為4πR2，則＝，故選B. 2．(2010·高考陜西卷)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A. B. C．1 D．2 解析：選C.由三視圖可知，該空間幾何體是底面為

2、直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角邊長分別為1和，三棱柱的高為，所以該幾何體的體積V＝×1××＝1. 3．(2012·襄樊調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于(　　) A.π B.π C.π＋8 D．12π 解析：選A.由三視圖可知，該幾何體為底面半徑是2，高為2的圓柱體和半徑為1的球體的組合體，則該幾何體的體積為π×22×2＋π＝π. 4．將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使BD＝a，則三棱錐D－ABC的體積為(　　) A. B. C.a3 D.a3 解析：選D.設(shè)正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)E，沿AC

3、折起后，依題意得：當(dāng)BD＝a時，BE⊥DE，∴DE⊥面ABC，∴三棱錐D－ABC的高為DE＝a，∴VD－ABC＝·a2·a＝a3. 5．圓錐軸截面的頂角θ滿足<θ<，則側(cè)面展開圖中中心角α滿足(　　) A.<α<　　　　　　　　 B.<α< C.<α<π D．π<α<π 解析：選D.設(shè)圓錐母線長為R，底面圓的半徑為r， 則r＝Rsin.又底面周長l＝2πr＝Rα， 即2πRsin＝Rα，∴α＝2πsin. ∵<θ<，∴

4、BCD的中心，則三棱錐B1－BCO的體積為________． 解析：V＝S△BOC·B1B＝×BO·BC·sin45°·B1B＝××2××2＝. 答案： 7．以圓柱的下底面為底面，并以圓柱的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐，則該圓錐與圓柱等底等高．若圓錐的軸截面是一個正三角形，則圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為________． 解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則母線長為2r，高為r， ∴圓柱的底面半徑為r，高為r， ∴＝＝. 答案：∶1 8．已知某個幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)可得這個幾何體的體積是________． 解析： 由三視圖知該幾何體是三棱錐，底

5、面△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，AD＝2，BC＝2.面SBC⊥面ABC，SD⊥面ABC，SD＝2，所以該三棱錐的體積等于××2×2×2＝(cm3)． 答案： cm3 三、解答題 9．已知圓臺的母線長為4 cm，母線與軸的夾角為30°，上底面半徑是下底面半徑的，求這個圓臺的側(cè)面積． 解：如圖是將圓臺還原為圓錐后的軸截面， 由題意知AC＝4 cm，∠ASO＝30°， O1C＝OA， 設(shè)O1C＝r，則OA＝2r， 又＝＝sin30°，∴SC＝2r，SA＝4r， ∴AC＝SA－SC＝2r＝4 cm，∴r＝2 cm. 所以圓臺的側(cè)面積為S＝π(r＋2r)×4＝24π cm2

6、. 10．已知三棱錐的頂點(diǎn)在底面上的射影是底面正三角形的中心，三棱錐的側(cè)棱長為10 cm，側(cè)面積為144 cm2，求棱錐的底面邊長和高． 解： 如圖所示，三棱錐S－ABC中，SA＝10. 設(shè)高SO＝h，底面邊長為AB＝a. 連接AO，延長交BC于點(diǎn)D，連接SD， ∴S側(cè)＝×3a×SD＝144， 即×3a× ＝144. ∴底面邊長a＝12 cm.∴SD＝8. 又在Rt△SOD中， h2＝SD2－OD2＝82－(a)2＝64－×122＝52. ∴高SO＝h＝2 cm. 一、選擇題 1．(2012·三明調(diào)研)若正方體的棱長為，則以該正方體各個面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體

7、的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.所求八面體體積是兩個底面邊長為1，高為的正四棱錐的體積和，一個四棱錐體積V1＝×1×＝，故八面體體積V＝2V1＝.故選B. 2．某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a＋b的最大值為(　　) A．2 B．2 C．4 D．2 解析： 選C.結(jié)合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算．如圖設(shè)長方體的高寬高分別為m，n，k，由題意得 ＝，＝?n＝1.＝a，＝b， 所以(a2－1)＋(b2－1)＝6 ?a2＋

8、b2＝8， ∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝8＋2ab≤8＋a2＋b2＝16?a＋b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號． 二、填空題 3．一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積(單位：cm2)為________． 解析： 棱錐的直觀圖如圖，則有PO＝4，OD＝3，在Rt△POD和Rt△ABC中，由勾股定理，得PD＝5，AB＝6， ∴全面積為：×6×6＋2××6×5＋×6×4＝48＋12. 答案：48＋12 cm2 4．如圖，已知球O面上有四點(diǎn)A、B、C、D，滿足DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝， 則球O的體積等于________． 解析：由

9、題意，三角形DAC，三角形DBC都是直角三角形，且有公共斜邊．所以DC邊的中點(diǎn)就是球心(到D、A、C、B四點(diǎn)距離相等)，所以球的半徑就是線段DC長度的一半，V＝πR3＝. 答案： 三、解答題 5. 如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M為AA1的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC1的交點(diǎn)為N.求： (1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長； (2)PC和NC的長． 解：(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖為一邊長分別為4和9的矩形所以對角線長為＝97； (2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB1展開，如圖，設(shè)

10、PC的長為x，則MP2＝MA2＋(AC＋x)2，因為MP＝，MA＝2，AC＝3，所以x＝2，即PC的長為2，又因為NC∥AM， 所以＝即＝，所以NC＝. 6．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度． 解：如圖所示，作出軸截面，因軸截面是正三角形，根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時，水的深度為3r，水面半徑BC的長為r，則容器內(nèi)水的體積為 V＝V圓錐－V球＝π(r)2·3r－πr3＝πr3， 將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積為V′＝π(h)2h＝πh3，由V＝V′得h＝r.