5、}，則N中元素的個數(shù)為( )
A．9 B．6 C．4 D．2
【解析】 由題意知（0,0），（1,0），（1,1），（2,0）符合，選C.
【探究點二 四種命題和充要條件的判斷】
例2 (1)已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是( )
A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3 B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3
(2)對于函數(shù)y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”是“y＝f(x)是奇
6、函數(shù)”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】 (1)命題的否命題是原命題的條件與結(jié)論分別否定后組成的命題，所以選擇A。 (2)由判定充要條件方法之一——定義法知，由“y＝f(x)是奇函數(shù)”可以推出“y＝|f(x)|的圖象關(guān)于y軸對稱”，反過來，逆推不成立，所以選B.
【點評】 一個命題的否命題、逆命題、逆否命題是根據(jù)原命題適當(dāng)變更條件和結(jié)論后得到的形式上的命題，解這類試題時要注意對于一些關(guān)鍵詞的否定，如本題中等于的否定是不等于，而不是單純的大于、也不是單純的小于；進行充要條件判斷實際上就是判斷兩個
7、命題的真假，這里要注意斷定一個命題為真需要進行證明，斷定一個命題為假只要舉一個反例即可．
【探究點三 邏輯聯(lián)結(jié)詞、量詞和命題的否定】
例3 (1)[2011·北京卷] 若p是真命題，q是假命題，則( )
A．p∧q是真命題 B．p∨q是假命題
C．p是真命題 D．q是真命題
(2)[2011·安徽卷] 命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是( )
A．所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)
B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)
C．存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)
D．存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)
【解析】 (1)p是真命題，則綈p是假命題；q是假命題，
8、則綈q是真命題，故應(yīng)選D. (2)本題是一個全稱命題，其否定是特稱命題，同時將命題的結(jié)論進行否定，答案為D.
【點評】 (1)“或”“且”聯(lián)結(jié)兩個命題，這兩個命題的真假確定了“或”命題和“且”命題的真假，其中“或”命題是一真即真，“且”命題是一假即假，“非”是對一個命題的否定，命題與其“非”命題一真一假；(2)否定一個命題就是否定這個命題的結(jié)論，即推翻這個命題，這與寫出一個命題的否命題是不同的．一個命題的否命題，是否定條件和結(jié)論后的形式上的命題，如本題中我們把命題改寫為“已知n為任意整數(shù)，若n能被2整除，則n是偶數(shù)”，其否命題是“已知n為任意整數(shù)，若n不能被2整除，則n不是偶數(shù)”，顯然這個
9、命題是真命題，但這個命題的否定是假命題．
【變式題】：有四個關(guān)于不等式的命題：p1：?x0∈R， ＋x0＋1>0；
p2：?x0，y0∈R，＋－4x0－2y0＋6<0；p3：?x，y∈R＋，≤；
p4：?x，y∈R，x3＋y3≥x2y＋xy2.其中真命題是( )
A．p1，p4 B．p2，p4 C．p1，p3 D．p2，p3
【解析】 x2＋x＋1＝2＋>0，命題p1正確；x2＋y2－4x－2y＋6＝(x－2)2＋(y－1)2＋1>0，命題p2不正確；≤＝≤，命題p3正確；x3＋y3－x2y－xy2＝(x＋y) (x－y)2，當(dāng)x＋y<0時，不等式不成
10、立，故命題p4不正確．故正確選項為C.
【創(chuàng)新鏈接1 集合中的新定義問題】
以集合為背景的新定義問題，歷來是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等，這類試題中集合只是基本的依托，考查的是考生創(chuàng)造性解決問題的能力．
求解集合中的新定義問題，主要抓兩點：(1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)．集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的基礎(chǔ)，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在
11、關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)．
例4 [2011·廣東卷] 設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果?a，b∈S，有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V＝Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是( )
A．T，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的
B．T，V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的
C．T，V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的
D．T，V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的
【分析】 根據(jù)新定義，就是要判斷“?a，b∈T，有ab∈T”，“?x，y∈V，有xy∈V”這兩個全稱命題的真假．
【解析】 A T全部是偶數(shù)，V
12、全部是奇數(shù)，那么T，V對乘法是封閉的，但如果T是全部偶數(shù)和1,3，那么此時T，V都符合題目要求，但是在V里面，任意取的數(shù)是－1和－3，那么相乘等于3，而V里面沒有3，所以V對乘法不封閉．排除B、C、D選項，所以“至少一個”是對的．
【點評】 集合的創(chuàng)新問題，通常需要弄清題目給出的新定義、新概念、新法則與教材上的知識間的聯(lián)系，將新的定義、概念、法則轉(zhuǎn)化為“常規(guī)數(shù)學(xué)”問題，然后求解．
【變式題】：
(1)[2011·福建卷] 在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.給出如下四個結(jié)論：
①2011∈[1
13、]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“a－b∈[0]”．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”(即對任意的a，b∈S，對于有序元素對(a，b)，在S中有唯一確定的元素a*b與之對應(yīng))．若對任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是( )
A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a
C．b*(b*b)＝b D．(a
14、*b)*[b*(a*b)]＝b
【解析】 (1)因為2011＝5×402＋1，則2011∈[1]，結(jié)論①正確；因為－3＝5×(－1)＋2，則－3∈[2]，結(jié)論②不正確；因為所有的整數(shù)被5除的余數(shù)為0,1,2,3,4五類，則Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，結(jié)論③正確；若整數(shù)a，b屬于同一“類”[k]，可設(shè)a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈Z)，則a－b＝5(n1－n2)∈[0]；反之，若a－b∈[0]，可設(shè)a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，則a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]；
∴k1＝k2，則整數(shù)a，b屬于同一“類”，結(jié)論④正確，故選
15、C.
(2)選項B中，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，成立；選項C中，b*(b*b)＝b，成立；選項D中，把(a*b)看做一個整體，記為c，則(a*b)*[b*(a*b)]＝c*(b*c)＝b，成立，故只有選項A中的結(jié)論不恒成立．
規(guī)律技巧提煉
1．解答集合有關(guān)問題，首先正確理解集合的意義，準(zhǔn)確地化簡集合是關(guān)鍵．其次關(guān)注元素的互異性，空集是任何集合的子集等問題，關(guān)于不等式的解集、抽象集合問題，要借助數(shù)軸和韋恩圖加以解決．
2．一個命題的真假與它的否命題的真假沒有必然的聯(lián)系，但一個命題與這個命題的否定是互相對立、一真一假的．
3．判斷充要條件的方法，一是結(jié)合充要條件
16、的定義；二是根據(jù)充要條件與集合之間的對應(yīng)關(guān)系，把命題對應(yīng)的元素用集合表示出來，根據(jù)集合之間的包含關(guān)系進行判斷，在以否定形式給出的充要條件判斷中可以使用命題的等價轉(zhuǎn)化方法．
4．含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假是由其中的基本命題決定的，這類試題首先把其中的基本命題的真假判斷準(zhǔn)確，再根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義進行判斷．
5．特稱命題的否定是全稱命題、全稱命題的否定是特稱命題．
【教師備用例題】
選理由：例1是對本講例2的一個補充，即判斷充要條件定義外還可以根據(jù)等價轉(zhuǎn)化的方法進行；例2是對“且”命題的否定，由于其位置不突出我們在正文中沒有給出；例3為一個新定義試題，雖然是2010年的高考試題，但這個
17、題和正文例題4及其變式可以形成對集合中新定義試題的一個題組訓(xùn)練，達到一個較好的效果．
例1 “α≠β”是“sinα≠sinβ”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】 B 方法1：由于α＝2π＋β時，α≠β，但此時sinα＝sinβ，故條件是不充分的；由于sinα≠sinβ時，如果α＝β，則sinα＝sinβ，故由sinα≠sinβ?α≠β，故條件是必要的．
方法2：命題“若α≠β，則sinα≠sinβ”等價于命題“若sinα＝sinβ，則α＝β”，這個命題顯然不正確，
18、故條件是不充分的；由于命題“若sinα≠sinβ，則α≠β”等價于命題“若α＝β，則sinα＝sinβ”，這個命題是真命題，故條件是必要的．
例2 已知命題p：若x>0，y>0，則xy>0，則p的否命題是( )
A．若x>0，y>0，則xy≤0
B．若x≤0，y≤0，則xy≤0
C．若x，y至少有一個不大于0，則xy<0
D．若x，y至少有一個小于或等于0，則xy≤0
【解析】 D 否命題應(yīng)在否定條件的同時否定結(jié)論，而原命題中的條件是“且”的關(guān)系，所以條件的否定形式是“x≤0或y≤0”．
例3 設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集．若對任意x，y∈S，都有x＋y，x
19、－y，xy∈S，則稱S為封閉集．下列命題：
①集合S＝{a＋bi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集；
②若S為封閉集，則一定有0∈S；
③封閉集一定是無限集；
④若S為封閉集，則滿足S?T?C的任意集合T也是封閉集．
其中真命題是________(寫出所有真命題的序號)．
【答案】 ①②
【解析】 設(shè)x＝a1＋b1i，y＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2為整數(shù)，則x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i，x－y＝(a1－a2)＋(b1－b2)i，xy＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i，由于a1，b1，a2，b2為整數(shù)，故a1±a2，b1±b2，a1a2－b1b2，a1b2＋a2b1都是整數(shù)，所以x＋y，x－y，xy∈S，故集合S＝{a＋bi|a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位}為封閉集，①是真命題；若S是封閉集，取x＝y(tǒng)∈S，則根據(jù)封閉集的定義，x－y＝x－x＝0∈S，故命題②正確；集合S＝{0}顯然是封閉集，故封閉集不一定是無限集，命題③不正確；集合S＝{0}?{0,1}＝T?C，容易驗證集合T不是封閉集，故命題④不是真命題．
內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第1講集合與常用邏輯用語2
