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1、
第八章第5課時 曲線與方程 課時闖關(guān)(含解析)
一、選擇題
1.(2012·無錫調(diào)研)下列各點在方程x2-xy+2y+1=0表示的曲線上的是( )
A.(0,0) B.(1,1)
C.(1,-1) D.(1,-2)
解析:選D.驗證法,點(0,0)顯然不滿足方程x2-xy+2y+1=0,當(dāng)x=1時,方程變?yōu)?-y+2y+1=0,解得y=-2,
∴(1,-2)點在曲線上.故選D.
2.已知兩點M(-2,0),N(2,0),點P為坐標平面內(nèi)的動點,滿足||·||+·=0,則動點P(x,y)的軌跡方程為( )
A.y2=8x B.y2=-8x
C
2、.y2=4x D.y2=-4x
解析:選B.||=4,||=,·=4(x-2),∴4+4(x-2)=0,∴y2=-8x.
3.方程(x2+y2-4)=0的曲線形狀是( )
解析:選C.由題意可得或x+y+1=0.
它表示直線x+y+1=0和圓x2+y2-4=0在直線x+y+1=0右上方的部分.
4.平面直角坐標系中,已知兩點A(3,1),B(-1,3),若點C滿足=λ1+λ2(O為原點),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,則點C的軌跡是( )
A.直線 B.橢圓
C.圓 D.雙曲線
解析:選A.設(shè)C(x,y),
則=(x,y),=(3,1),=(-
3、1,3),
∵=λ1+λ2,∴,又λ1+λ2=1,
∴x+2y-5=0,表示一條直線.
5.(2012·蘭州質(zhì)檢)一圓形紙片的圓心為O,點Q是圓內(nèi)異于O的一個定點,點A是圓周上一動點,把紙片折疊使點A與點Q重合,然后展開紙片,折痕CD與OA交于點P,當(dāng)點A運動時,點P的軌跡為( )
A.橢圓 B.雙曲線
C.拋物線 D.圓
解析:選A.∵折痕所在的直線是AQ的垂直平分線,
∴|PA|=|PQ|.又∵|PA|+|OP|=r,∴|PQ|+|OP|=r>|OQ|.由橢圓的定義知點P的軌跡是橢圓.
二、填空題
6.設(shè)P為雙曲線-y2=1上一動點,O為坐標原點,M為線段OP的
4、中點,則點M的軌跡方程是________.
解析:設(shè)M(x,y),則P(2x,2y),代入雙曲線方程得x2-4y2=1,即為所求.
答案:x2-4y2=1
7.由動點P向圓x2+y2=1引兩條切線PA、PB,切點分別為A,B,∠APB=60°,則動點P的軌跡方程為________.
解析:在Rt△AOP中(O為坐標原點),∵∠APB=60°,
∴∠APO=30°,∴PO=2OA=2,
動點P的軌跡是以原點為圓心,2為半徑的圓,
方程為x2+y2=4.
答案:x2+y2=4
8.(2012·大同調(diào)研)直線+=1與x、y軸交點的中點的軌跡方程是________.
解析:設(shè)直線+
5、=1與x,y軸的交點分別為A(a,0),B(0,2-a),AB中點為M(x,y),則x=,y=1-,消去a,得x+y=1,∵a≠0,a≠2,∴x≠0,x≠1.
答案:x+y=1(x≠0,x≠1)
三、解答題
9.已知點A(1,0),直線l:y=2x-4,點R是直線l上的一點,若=,求點P的軌跡方程.
解:∵=,
∴R,A,P三點共線,且A為RP的中點,設(shè)P(x,y),R(x1,y1),則由=,得(1-x1,-y1)=(x-1,y),則,即x1=2-x,y1=-y,將其代入直線y=2x-4中,得y=2x,∴點P的軌跡方程為y=2x.
10.已知橢圓+=1(a>b>0)的焦點是F1(-
6、c,0),F(xiàn)2(c,0),Q是橢圓外的動點,滿足|F1Q|=2a,點P是線段F1Q與該橢圓的交點,點T在線段F2Q上,并且滿足·=0,||≠0.
(1)設(shè)x為點P的橫坐標,證明|F1P|=a+x;
(2)求點T的軌跡C的方程.
解:(1)證明:設(shè)P(x,y),
則|F1P|2=(x+c)2+y2
=(x+c)2+b2-x2
=2.
∵x≥-a,∴a+x≥a-c>0,
∴|F1P|=a+x.
(2)設(shè)T(x,y).當(dāng)||≠0時,
∵·=0,
∴PT⊥TF2.
又∵|PF1|+|PF2|=2a=|PF1|+|PQ|,
∴|PQ|=|PF2|,∴T為線段F2Q的中點.
在
7、△QF1F2中,|OT|=|F1Q|=a,
即x2+y2=a2.
當(dāng)||=0時,點(-a,0)和(a,0)在軌跡上.
綜上所述,點T的軌跡C的方程是x2+y2=a2.
11.設(shè)橢圓方程為x2+=1,過點M(0,1)的直線l交橢圓于A,B兩點,O為坐標原點,點P滿足=(+),點N的坐標為,當(dāng)直線l繞點M旋轉(zhuǎn)時,求:
(1)動點P的軌跡方程;
(2)||的最大值,最小值.
解:(1)直線l過定點M(0,1),設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+1.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知,
A、B的坐標滿足方程組
消去y得(4+k2)x2+2kx-3=0.
則Δ=4k2+12(4+k2)>0.
∴x1+x2=-,x1x2=.
設(shè)P(x,y)是中點,則=(+),得
消去k得4x2+y2-y=0.
當(dāng)斜率k不存在時,AB的中點是坐標原點,
也滿足這個方程,
故P點的軌跡方程為4x2+y2-y=0.
(2)由(1)知4x2+2=,
∴-≤x≤.
而||2=2+2
=2+=-32+,
∴當(dāng)x=-時,||取得最大值,
當(dāng)x=時,||取得最小值.