《空間與軸對(duì)稱問題有限元分析.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《空間與軸對(duì)稱問題有限元分析.ppt（24頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、空間及軸對(duì)稱問題有限元,概述 空間問題(四面體、六面體類) 軸對(duì)稱問題 軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載,概 述,三個(gè)方向尺寸屬于同一數(shù)量級(jí)，所受荷載或形體復(fù)雜，不可能像上一章那樣簡(jiǎn)化成平面問題處理，這時(shí)必須按空間問題求解。,與平面分析不同，空間有限元分析有如下兩個(gè)困難： 1）對(duì)空間物體進(jìn)行離散化時(shí)不像平面問題那樣直觀，人工進(jìn)行離散時(shí)很容易產(chǎn)生錯(cuò)誤； 2）未知量的數(shù)量劇增。,建立網(wǎng)格自動(dòng)生成前處理程序,采用高階單元來提高單元精度,平面圖形繞面內(nèi)一軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的空間物體，稱為軸對(duì)稱物體，是一類特殊的空間問題。,空間問題,1 常應(yīng)變四面體單元形函數(shù),與平面三角形單元相對(duì)應(yīng)，四面體單元內(nèi)任一點(diǎn)可用“體積坐標(biāo)”

2、來表示。,各子四面體體積,與三角形單元一樣，體積坐標(biāo)為Ti =Vi /V ,三個(gè)是獨(dú)立的，它有“本1，它0，總和1”的性質(zhì)。,四面體總體積 (右旋體積正),,,,,剩下來的工作基本和三角形常應(yīng)變單元類似。作業(yè)：自學(xué)單元列式內(nèi)容。,,空間問題,2 十結(jié)點(diǎn)（二次）四面體單元形函數(shù),類似于平面六結(jié)點(diǎn)二次三角形單元，采用試湊法建立結(jié)點(diǎn)的形函數(shù)。,為使N1滿足本點(diǎn)為1，可得a=2， 代回后得,N1 =T1 (2T1-1),余者類似，也可按如下通式得到：,式中p為形函數(shù)階次，分子為不通過i點(diǎn)的平面方程左端項(xiàng)，分母中括號(hào)內(nèi)為i點(diǎn)體積坐標(biāo)。,請(qǐng)大家自行驗(yàn)證！,,,空間問題,3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法,先劃

3、分成六面體再分為四面體,1）六面體劃分為5個(gè)四面體,A5型,1467間連6根對(duì)角線,空間問題,3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法,1）六面體劃分為5個(gè)四面體,B5型,2358間連6根對(duì)角線,相鄰六面體必須一個(gè)為A5另一個(gè)為B5,共同點(diǎn) 相對(duì)面對(duì)角線 相互空間交叉,空間問題,3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法,2）先劃為五面體再劃分為6個(gè)四面體,,,,連47、76、63 6874、5673、4763,連23、25、63 2351、3562、3642,,,,空間問題,3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法,2）先劃為五面體再劃分為6個(gè)四面體,連35、52、63 3562、5673、2351,連47、46、63 3

4、764、6874、3642,,,,,,,兩種A6劃分 結(jié)果完全相同,空間問題,3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法,2）先劃為五面體再劃分為6個(gè)四面體,連23、35、45 2453、4753、2351,連45、46、67 4562、5674、6874,,,,,,,空間問題,3 形成四面體的對(duì)角線劃分方法,2）先劃為五面體再劃分為6個(gè)四面體,連47、76、54 4753、5674、6874,連32、25、54 2351、4352、4562,,,,,,,兩種B6劃分 結(jié)果也完全相同,作業(yè)：P.95給出了由六面體8個(gè)角點(diǎn)點(diǎn)號(hào)，按式(4.1.25)求A6和A5型四面體結(jié)點(diǎn)號(hào)的方法。請(qǐng)考慮B6和B5型的計(jì)算公

5、式。,空間問題,4 六面體類單元的形函數(shù),1）八結(jié)點(diǎn)單元,類似平面問題矩形線性單元，由試湊法可建立形函數(shù)如下：,2）二十結(jié)點(diǎn)單元,和平面問題一樣，基于試湊法，可以根據(jù)上述八結(jié)點(diǎn)低階單元形函數(shù)構(gòu)造各頂點(diǎn)形函數(shù)。,作業(yè)：32結(jié)點(diǎn)三次單元,空間問題,5 五面體類單元的形函數(shù),1）試湊法建立六結(jié)點(diǎn)形函數(shù),用于與六面體單元聯(lián)合，解決邊界形狀不規(guī)則物體的分析。,課堂練習(xí)：建立15結(jié)點(diǎn)五面體單元形函數(shù)。,2）三維等參元列式,基本思想和平面問題一樣，具體列式參看P.101P.104。,軸對(duì)稱問題,工程中有一類結(jié)構(gòu)，它們的幾何形狀、約束條件及作用的荷載都對(duì)稱于某一固定軸(可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果

6、)，其力學(xué)分析稱為軸對(duì)稱問題。典型例子為煙囪、儲(chǔ)液罐等受恒載作用。,1 離散化,由于可視為子午面內(nèi)平面物體繞軸旋轉(zhuǎn)一周的結(jié)果，,2 應(yīng)力與應(yīng)變,對(duì)軸對(duì)稱問題進(jìn)行分析一般取柱坐標(biāo)系，對(duì)稱軸為Z軸，徑向?yàn)閞 軸，環(huán)向?yàn)檩S。,因此軸對(duì)稱問題分析可在子午面內(nèi)劃分單元，實(shí)際是取子午面內(nèi)圖形繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所得“圓環(huán)形單元”對(duì)物體進(jìn)行離散。,因此可用的單元與平面問題一樣。,軸對(duì)稱問題,在柱坐標(biāo)下軸對(duì)稱問題的幾何方程為,根據(jù)具體單元,代入所建立的位移模式,即可得應(yīng)變矩陣B。,,軸向位移,徑向位移,教材上有推導(dǎo)的示意圖，參考彈性力學(xué)。,由于算子中有1/r，所以三角形環(huán)單元B不再是常數(shù)矩陣。,軸對(duì)稱問題,根據(jù)具體單

7、元，即可得應(yīng)變、應(yīng)力矩陣等。,,, D = 0,式中,對(duì)稱,對(duì)線彈性問題，在上述應(yīng)變分量條件下，物理方程為,以三角形環(huán)單元為例，其位移模式為,軸對(duì)稱問題,,,根據(jù)軸對(duì)稱問題的算子矩陣，單元應(yīng)變矩陣為,應(yīng)力矩陣：,由于應(yīng)變矩陣的特點(diǎn)，應(yīng)力分量中除剪應(yīng)力為常量外，其余三項(xiàng)正應(yīng)力均不再是常數(shù)。,軸對(duì)稱問題,由于B 中含有坐標(biāo)變量，因此積分運(yùn)算較平面問題復(fù)雜，精確積分參見Zienkiewicz (Finite Element Method, 5th Ed，2000)。,教材上對(duì)三角形環(huán)單元具體介紹了ke和FEe的有關(guān)計(jì)算過程。請(qǐng)自學(xué)相關(guān)內(nèi)容。,,,單元?jiǎng)偠染仃嚾钥砂凑掌矫鎲栴}的方法建立，但需注意體積積

8、分應(yīng)在整個(gè)環(huán)上進(jìn)行。,實(shí)踐證明采用近似積分也能達(dá)到一定的精度，具體對(duì)于三角形環(huán)單元用形心處坐標(biāo)代替應(yīng)變矩陣中的坐標(biāo)變量。如何進(jìn)一步改進(jìn)積分精度？,軸對(duì)稱問題等參元分析,教材上P.111具體給出了單剛和等效荷載結(jié)果。,,,單元位移場(chǎng)：,單元描述：,圓柱坐標(biāo)系下雅可比矩陣：,應(yīng)變矩陣：,如果軸對(duì)稱體上作用的非軸對(duì)稱荷載，如煙囪上作用的風(fēng)荷載及地震荷載等，此時(shí)結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力將不再是軸對(duì)稱的，需按照空間問題求解。,,軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載,此時(shí)求解費(fèi)用將大大增加，如何進(jìn)行簡(jiǎn)化？,采用半解析有限元方法，將此類問題化為若干軸對(duì)稱問題疊加進(jìn)行求解。此處將軸對(duì)稱體上作用的一般荷載P(r,z,)沿三個(gè)坐

9、標(biāo)軸方向分解，并沿方向展開成付氏級(jí)數(shù)：,,,,軸對(duì)稱,對(duì)稱,反對(duì)稱,扭轉(zhuǎn),軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載,非軸對(duì)稱荷載的分解：,R0、Z0 與無關(guān)，是軸對(duì)稱荷載；T0 與無關(guān)、沿 方向，是扭轉(zhuǎn)荷載；,Ri(r,z)cosi等是關(guān)于=0平面的對(duì)稱荷載；,Ri(r,z)sini等是關(guān)于=0平面的反對(duì)稱荷載；,對(duì)稱,反對(duì)稱,軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載,將位移作類似的分解：,u0、w0 軸對(duì)稱位移；v0 扭轉(zhuǎn)位移；ui(r,z)cosi、 wi(r,z)cosi 、vi(r,z)sini是關(guān)于=0平面對(duì)稱的位移；ui(r,z)cosi 、wi(r,z)cosi、 vi(r,z)cosi是關(guān)于=0平面反對(duì)稱的位移。

10、,,,,,軸對(duì)稱,對(duì)稱,反對(duì)稱,扭轉(zhuǎn),軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載,對(duì)稱荷載作用下的計(jì)算：,對(duì)稱荷載引起的位移是對(duì)稱的：,,軸對(duì)稱問題非軸對(duì)稱荷載,由于荷載非軸對(duì)稱，因此一點(diǎn)的應(yīng)變分量將有6項(xiàng)。采用虛位移原理或勢(shì)能原理建立單元的剛度矩陣與等效荷載矩陣,公式顯式表達(dá)式見教材P.115116.(4.4.114.4.4.18)。基于三角函數(shù)的正交性，單元分析得到的單元?jiǎng)偠染仃囀欠謮K對(duì)角陣。,對(duì)稱荷載下的軸對(duì)稱問題分析可由荷載的每一級(jí)數(shù)項(xiàng)分別計(jì)算然后疊加；并且每一級(jí)數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的求解都是軸對(duì)稱問題的解。,上述對(duì)稱荷載分析中當(dāng)i=0時(shí)得到軸對(duì)稱荷載情況的解；若將正弦與余弦函數(shù)互換則得到反對(duì)稱情況的解，并且此時(shí)i=0時(shí)得到扭轉(zhuǎn)荷載的解。,,,彈性力學(xué)兩類平面問題,