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1、1第 17 講 相似三角形一、一、知識清單梳理知識清單梳理知識點一:比例線段 關(guān)鍵點撥與對應舉例1.比例線段在四條線段 a,b,c,d 中,如果 a 與 b 的比等于 c 與 d 的比,即acbd,那么這四條線段 a,b,c,d 叫做成比例線段,簡稱比例線段列比例等式時,注意四條線段的大小順序,防止出現(xiàn)比例混亂.2.比例的基本性質(zhì)(1)基本性質(zhì):acbd adbc;(b、d0)(2)合比性質(zhì):acbdabbcdd;(b、d0)(3)等比性質(zhì):acbdmnk(bdn0).acmbdnk.(b、d、n0)已知比例式的值,求相關(guān)字母代數(shù)式的值,常用引入?yún)?shù)法,將所有的量都統(tǒng)一用含同一個參數(shù)的式子表示

2、,再求代數(shù)式的值,也可以用給出的字母中 的一個表示出其他的字母,再代入求解.如下題可設 a=3k,b=5k,再代入所求式子,也可以把原式變形得a=3/5b 代入求解.例:若35ab,則abb85.(1)兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線 段成比例.即如圖所示,若 l3l4l5,則ABDEBCEF.(2)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長 線),所得的對應線段成比例.即如圖所示,若 ABCD,則OAOBODOC.3.平行線分線段成比例定理(3)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形和原三角形相似如圖所示,若 DEBC,則ADEABC.利用平行線所截線段成比例求線段長

3、或線段比時,注意根據(jù)圖形列出比例等式,靈活運用比例基本性質(zhì)求解.例:如圖,已知 D,E 分別是ABC 的邊BC 和 AC 上的點,AE=2,CE=3,要使DEAB,那么 BC:CD 應等于53.4.黃金分割點 C 把線段 AB 分成兩條線段 AC 和 BC,如果=0.618,ACAB512那么線段 AB 被點 C 黃金分割其中點 C 叫做線段 AB 的黃金分割點,AC 與 AB 的比叫做黃金比例:把長為 10cm 的線段進行黃金分割,那么較長線段長為 5(51)cm知識點二 :相似三角形的性質(zhì)與判定(1)兩角對應相等的兩個三角形相似(AAA).如圖,若AD,BE,則ABCDEF.5.相似三角形

4、的判定(2)兩邊對應成比例,且夾角相等的兩個三角形相似 如圖,若AD,ACABDFDE,則ABCDEF.判定三角形相似的思路:條件中若有平行線,可用平行線找出相等的角而判定;條件中若有一對等角,可再找一對等角或再找FEDCBAl5l4l3l2l1ODCBAEDCBAFEDCBAFEDCBA2(3)三邊對應成比例的兩個三角形相似如圖,若ABACBCDEDFEF,則ABCDEF.夾這對等角的兩組邊對應成比例;條件中若有兩邊對應成比例可找夾角相等;條件中若有一對直角,可考慮再找一對等角或證明直角邊和斜邊對應成比例;條件中若有等腰關(guān)系,可找頂角相等或找一對底角相等或找底、腰對應成比例.6.相似三角形的

5、性質(zhì)(1)對應角相等,對應邊成比例(2)周長之比等于相似比,面積之比等于相似比的平方(3)相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比等于相似比例:(1)已知ABCDEF,ABC 的周長為 3,DEF 的周長為 2,則ABC 與DEF 的面積之比為 9:4.(2)如圖,DEBC,AFBC,已知 SADE:SABC=1:4,則 AF:AG=1:2.7.相似三角形的基本模型(1)熟悉利用利用相似求解問題的基本圖形,可以迅速找到解題思路,事半功倍.(2)證明等積式或者比例式的一般方法:經(jīng)常把等積式化為比例式,把比例式的四條線段分別看做兩個三角形的對應邊.然后,通過證明這兩個三角形相似,從而得出結(jié)果.FEDCBA