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1、1第 12 講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一、一、知識(shí)清單梳理知識(shí)清單梳理知識(shí)點(diǎn)一:二次函數(shù)的概念及解析式 關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例1.一次函數(shù)的定義形如 yax2bxc(a,b,c 是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).例:如果函數(shù) y=(a1)x2是二次函數(shù),那么 a 的取值范圍是 a0.2.解析式(1)三種解析式:一般式:y=ax2+bx+c;頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a0),其中二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k);交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2為拋物線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)待定系數(shù)法:巧設(shè)二次函數(shù)的解析式;根據(jù)已知條件,得到關(guān)于待定系數(shù)的方程(組);解方程(組),

2、求出待定系數(shù)的值,從而求出函數(shù)的解析式.若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)或三對(duì)對(duì)應(yīng)函數(shù)值,可設(shè)一般式;若已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最值,可設(shè)頂點(diǎn)式;若已知拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可設(shè)交點(diǎn)式.知識(shí)點(diǎn)二:二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象xyy=ax2+bx+c(a上 0)Oxyy=ax2+bx+c(a上 0)O開(kāi)口向上向下對(duì)稱軸 x 2ba頂點(diǎn)坐標(biāo)24,24bacbaa增減性當(dāng) x2ba時(shí),y 隨 x 的增大而增大;當(dāng) x2ba時(shí),y 隨 x 的增大而減小.當(dāng) x2ba時(shí),y 隨 x 的增大而減小;當(dāng) x2ba時(shí),y 隨 x 的增大而增大.3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)最值x=2ba,y最小244acba.x

3、=2ba,y最大244acba.(1)比較二次函數(shù)函數(shù)值大小的方法:直接代入求值法;性質(zhì)法:當(dāng)自變量在對(duì)稱軸同側(cè)時(shí),根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷;當(dāng)自變量在對(duì)稱軸異側(cè)時(shí),可先利用函數(shù)的對(duì)稱性轉(zhuǎn)化到同側(cè),再利用性質(zhì)比較;圖象法:畫(huà)出草圖,描點(diǎn)后比較函數(shù)值大小.失分點(diǎn)警示(2)在自變量限定范圍求二次函數(shù)的最值時(shí),首先考慮對(duì)稱軸是否在取值范圍內(nèi),而不能盲目根據(jù)公式求解.例:當(dāng) 0 x5 時(shí),拋物線 y=x2+2x+7 的最小值為7 .a決定拋物線的開(kāi)口方向及開(kāi)口大小當(dāng) a0 時(shí),拋物線開(kāi)口向上;當(dāng) a0 時(shí),拋物線開(kāi)口向下.a、b決定對(duì)稱軸(x=-b/2a)的位置當(dāng) a,b 同號(hào),-b/2a0,對(duì)稱軸在 y

4、軸左邊;當(dāng) b0 時(shí),-b/2a=0,對(duì)稱軸為 y 軸;當(dāng) a,b 異號(hào),-b/2a0,對(duì)稱軸在 y 軸右邊3.系數(shù)a、b、cc決定拋物線與 y 軸當(dāng) c0 時(shí),拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在正半軸上;某些特殊形式代數(shù)式的符號(hào):ab+c 即為 x=1時(shí),y的值;4a2b+c 即為x=2 時(shí),y 的值.2的交點(diǎn)的位置當(dāng) c0 時(shí),拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn);當(dāng) c0 時(shí),拋物線與 y 軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上.b24ac決定拋物線與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)b24ac0 時(shí),拋物線與 x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn);b24ac0 時(shí),拋物線與 x 軸有 1 個(gè)交點(diǎn);b24ac0 時(shí),拋物線與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn) 2a+b 的符號(hào),需判斷對(duì)稱

5、軸-b/2a 與 1 的大小.若對(duì)稱軸在直線 x=1 的左邊,則-b/2a1,再根據(jù)a 的符號(hào)即可得出結(jié)果.2a-b 的符號(hào),需判斷對(duì)稱軸與-1 的大小.知識(shí)點(diǎn)三:二次函數(shù)的平移4.平移與解析式的關(guān)系上 上|k|上 上 上上 上|h|上 上 上上 上(k上 0)上 上 上(k上 0)上 上(h上 0)上 上 上(h上 0)y=a(x上 h)2上 k 上 上 上y=a(x上 h)2上 上 上y=ax2上 上 上注意:二次函數(shù)的平移實(shí)質(zhì)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的平移,因此只要找出原函數(shù)頂點(diǎn)的平移方式即可確定平移后的函數(shù)解析式失分點(diǎn)警示:拋物線平移規(guī)律是“上加下減,左加右減”,左右平移易弄反.例:將拋物線 y=x

6、2沿 x 軸向右平移 2 個(gè)單位后所得拋物線的解析式是 y=(x2)2知識(shí)點(diǎn)四:二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式5.二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù) y=ax2bxc(a0)的圖象與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根.當(dāng) b24ac0,兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng) b24ac0,兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng) b24ac0,無(wú)實(shí)根6.二次函數(shù)與不等式拋物線 y=ax2bxc0 在 x 軸上方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正,所對(duì)應(yīng)的 x 的所有值就是不等式 ax2bxc0 的解集;在 x 軸下方的部分點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為負(fù),所對(duì)應(yīng)的 x 的值就是不等式 ax2bxc0 的解集.例:已經(jīng)二次函數(shù) y=x2-3x+m(m 為常數(shù))的圖象與 x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),則關(guān)于 x 的一元二次方程 x2-3x+m=0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為2,1.