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1、1第 6 講 一元二次方程一、一、知識清單梳理知識清單梳理知識點一:一元二次方程及其解法 關(guān)鍵點撥及對應(yīng)舉例1.一元二次方程的相關(guān)概念(1)定義:只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程(2)一般形式:ax2bxc0(a0),其中 ax2、bx、c 分別叫做二次項、一次項、常數(shù)項,a、b、c 分別稱為二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項例:方程20aax 是關(guān)于 x的一元二次方程,則方程的根為1.2.一元二次方程的解法(1)直接開平方法:形如(x+m)2=n(n0)的方程,可直接開平方求解.(2)因式分解法:可化為(ax+m)(bx+n)=0 的方程,用因式分解法求解.(3)公式法:一

2、元二次方程 ax2bxc0 的求根公式為 x=242bbaca(b2-4ac0).(4)配方法:當(dāng)一元二次方程的二次項系數(shù)為 1,一次項系數(shù)為偶數(shù)時,也可以考慮用配方法解一元二次方程時,注意觀察,先特殊后一般,即先考慮能否用直接開平方法和因式分解法,不能用這兩種方法解時,再用公式法.例:把方程 x2+6x+3=0 變形為(x+h)2=k 的形式后,h=-3,k=6.知識點二:一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系3.根的判別式(1)當(dāng) 24bac0 時,原方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)當(dāng) 24bac=0 時,原方程有兩個相等的實數(shù)根(3)當(dāng) 24bac0 時,原方程沒有實數(shù)根例:方程2210

3、xx 的判別式等于 8,故該方程有兩個不相等的實數(shù)根;方程2230 xx的判別式等于8,故該方程沒有實數(shù)根.*4.根與系數(shù)的關(guān)系(1)基本關(guān)系:若關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)有兩個根分別為 x1、x2,則 x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意運用根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是0.(2)解題策略:已知一元二次方程,求關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值時,先把所求代數(shù)式變形為含有 x1+x2、x1x2的式子,再運用根與系數(shù)的關(guān)系求解.與一元二次方程兩根相關(guān)代數(shù)式的常見變形:(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,121

4、21211xxxxx x等.失分點警示在運用根與系數(shù)關(guān)系解題時,注意前提條件時=b2-4ac0.知識點三:一元二次方程的應(yīng)用4.列一元二次方程解應(yīng)用題(1)解題步驟:審題;設(shè)未知數(shù);列一元二次方程;解一元二次方程;檢驗根是否有意義;作答運用一元二次方程解決實際問題時,方程一般有兩個實數(shù)根,則必須要根據(jù)題意檢驗根是否有意義.2(2)應(yīng)用模型:一元二次方程經(jīng)常在增長率問題、面積問題等方面應(yīng)用.平均增長率(降低率)問題:公式:ba(1x)n,a 表示基數(shù),x 表示平均增長率(降低率),n 表示變化的次數(shù),b 表示變化 n 次后的量;利潤問題:利潤=售價-成本;利潤率=利潤/成本100%;傳播、比賽問題:面積問題:a.直接利用相應(yīng)圖形的面積公式列方程;b.將不規(guī)則圖形通過割補或平移形成規(guī)則圖形,運用面積之間的關(guān)系列方程.