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第12章 全等三角形 測(cè)試卷（3） 一、選擇題 1．如圖，已知等邊△ABC，AB=2，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，BD=CF，DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，DF交BC于點(diǎn)P，則下列結(jié)論：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正確的是（　?。? A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 　 二、填空題 2．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE=30°，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q．若PQ=AE，則AP等于　　cm． 3．如圖，矩形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF交CD于點(diǎn)G．若G是CD的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是　?。? 4．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長(zhǎng)為　　． 5．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=　?。? 6．已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)B1在y軸上且坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標(biāo)是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此繼續(xù)下去，則點(diǎn)A2014到x軸的距離是　?。? 7．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，連接CE，BH．若BH=8，則FG=　　． 8．如圖，已知△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，則∠BCA的度數(shù)為　?。? 9．如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為　?。? 10．如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE．設(shè)△ACD、△BCE、△ABC的面積分別是S1、S2、S3，現(xiàn)有如下結(jié)論： ①S1：S2=AC2：BC2； ②連接AE，BD，則△BCD≌△ECA； ③若AC⊥BC，則S1?S2=S32． 其中結(jié)論正確的序號(hào)是　?。? 　 三、解答題 11．如圖，已知點(diǎn)E、F在四邊形ABCD的對(duì)角線延長(zhǎng)線上，AE=CF，DE∥BF，∠1=∠2． （1）求證：△AED≌△CFB； （2）若AD⊥CD，四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請(qǐng)說明理由． 12．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°．得到△ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F． （1）求證：△ABD≌△ACE； （2）求∠ACE的度數(shù)； （3）求證：四邊形ABFE是菱形． 13．如圖，已知△ABC是等腰三角形，頂角∠BAC=α（α＜60°），D是BC邊上的一點(diǎn)，連接AD，線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到AE，過點(diǎn)E作BC的平行線，交AB于點(diǎn)F，連接DE，BE，DF． （1）求證：BE=CD； （2）若AD⊥BC，試判斷四邊形BDFE的形狀，并給出證明． 14．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，作射線AH，在線段AH及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF． （1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是　　，并證明． （2）在問題（1）中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形BFCE是矩形，請(qǐng)說明理由． 15．如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且BE=AF，CE、BF交于點(diǎn)P． （1）求證：CE=BF； （2）求∠BPC的度數(shù)． 16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點(diǎn)A且MN∥BC，過點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合），如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P，易證：BD=DP．（無需寫證明過程） （1）在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由； （2）在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，無需證明． 17．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF．求證：OE=OF． 18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（AF＞BF）． （1）求證：△ACE≌△AFE； （2）求tan∠CAE的值． 19．探究：如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE=AD，連結(jié)CD，AE，求證：△ACE≌△CBD． 應(yīng)用：如圖②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE=AD，連結(jié)CD，EA，延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)G，求∠CGE的度數(shù)． 20．如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BP、DP，延長(zhǎng)BC到E，使PB=PE．求證：∠PDC=∠PEC． 21．如圖，已知△ABC中AB=AC． （1）作圖：在AC上有一點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD，并在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使AE=AB，連AE，作∠EAC的平分線AF，AF交DE于點(diǎn)F（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）在（1）的條件下，連接CF，求證：∠E=∠ACF． 22．（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：∠A=∠D． （2）如圖2，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形所組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上． ①sinB的值是　?。? ②畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1（A與A1，B與B1，C與C1相對(duì)應(yīng)），連接AA1，BB1，并計(jì)算梯形AA1B1B的面積． 23．在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M．求證： （1）BH=DE． （2）BH⊥DE． 24．如圖，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)B，C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A，連接AB，AC，AD，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接BE，CE． （1）求證：BE=CE； （2）以點(diǎn)E為圓心，ED長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BE，CE于點(diǎn)F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求圖中陰影部分（扇形）的面積． 25．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AB交直線DN于點(diǎn)F． （1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖①，求證：CF+BE=CD； （提示：過點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M．） （2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，∠NDB為鈍角時(shí)，如圖③，請(qǐng)分別寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明； （3）在（2）的條件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4，則BE=　　，CD=　　． 26．如圖所示，已知∠1=∠2，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，證明：AB=AC． （1）你添加的條件是　??； （2）請(qǐng)寫出證明過程． 27．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同側(cè)作任意Rt△DBC，∠BDC=90°． （1）若CD=2BD，M是CD中點(diǎn)（如圖1），求證：△ADB≌△AMC； 下面是小明的證明過程，請(qǐng)你將它補(bǔ)充完整： 證明：設(shè)AB與CD相交于點(diǎn)O， ∵∠BDC=90°，∠BAC=90°， ∴∠DOB+∠DBO=∠AOC+∠ACO=90°． ∵∠DOB=∠AOC， ∴∠DBO=∠①　　． ∵M(jìn)是DC的中點(diǎn)， ∴CM=CD=②　?。? 又∵AB=AC， ∴△ADB≌△AMC． （2）若CD＜BD（如圖2），在BD上是否存在一點(diǎn)N，使得△ADN是以DN為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)?jiān)趫D2中確定點(diǎn)N的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由； （3）當(dāng)CD≠BD時(shí)，線段AD，BD與CD滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出． 28．如圖，正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)，且AE⊥BF，垂足為點(diǎn)G． 求證：AE=BF． 29．如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點(diǎn)G． （1）求證：AE=CF； （2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大?。? 30．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E．在△ABC外有一點(diǎn)F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC． （1）求證：BE=CF； （2）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點(diǎn)N，連接ME． 求證：①M(fèi)E⊥BC；②DE=DN． 　  參考答案與試題解析 一、選擇題 1．如圖，已知等邊△ABC，AB=2，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，BD=CF，DE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，DF交BC于點(diǎn)P，則下列結(jié)論：①BE=CG；②△EDP≌△GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正確的是（　?。? A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可以得出△DEB≌△FGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出△DEP≌△FGP，得出∠EDP=∠GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，從而得出結(jié)論． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°． ∵∠ACB=∠GCF， ∵DE⊥BC，F(xiàn)G⊥BC， ∴∠DEB=∠FGC=∠DEP=90°． 在△DEB和△FGC中， ， ∴△DEB≌△FGC（AAS）， ∴BE=CG，DE=FG，故①正確； 在△DEP和△FGP中， ， ∴△DEP≌△FGP（AAS），故②正確； ∴PE=PG∠EDP=∠GFP≠60°，故③錯(cuò)誤； ∵PG=PC+CG， ∴PE=PC+BE． ∵PE+PC+BE=2， ∴PE=1．故④正確． 正確的有①②④， 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵． 　 二、填空題 2．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE=30°，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q．若PQ=AE，則AP等于　1或2　cm． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；解直角三角形． 【專題】分類討論． 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，由ABCD為正方形，得到AD=DC=PN，在直角三角形ADE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)M為AE中點(diǎn)求出AM的長(zhǎng)，利用HL得到三角形ADE與三角形PQN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角相等得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，再由PN與DC平行，得到∠PFA=∠DEA=60°，進(jìn)而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根據(jù)AM的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AP的長(zhǎng)，再利用對(duì)稱性確定出AP′的長(zhǎng)即可． 【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，過P作PN⊥BC，交BC于點(diǎn)N， ∵四邊形ABCD為正方形， ∴AD=DC=PN， 在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm， ∴tan30°=，即DE=cm， 根據(jù)勾股定理得：AE==2cm， ∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)， ∴AM=AE=cm， 在Rt△ADE和Rt△PNQ中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL）， ∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°， ∵PN∥DC， ∴∠PFA=∠DEA=60°， ∴∠PMF=90°，即PM⊥AF， 在Rt△AMP中，∠MAP=30°，cos30°=， ∴AP===2cm； 由對(duì)稱性得到AP′=DP=AD﹣AP=3﹣2=1cm， 綜上，AP等于1cm或2cm． 故答案為：1或2． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 3．如圖，矩形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，有AE=4，BE的垂直平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)EF交CD于點(diǎn)G．若G是CD的中點(diǎn)，則BC的長(zhǎng)是　7　． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CG=DG，然后利用“角邊角”證明△DEG和△CFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=CF，EG=FG，設(shè)DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，從而求出AD，再根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BC=AD． 【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中點(diǎn)，AB=8， ∴CG=DG=×8=4， 在△DEG和△CFG中， ， ∴△DEG≌△CFG（ASA）， ∴DE=CF，EG=FG， 設(shè)DE=x， 則BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x， 在Rt△DEG中，EG==， ∴EF=2， ∵FH垂直平分BE， ∴BF=EF， ∴4+2x=2， 解得x=3， ∴AD=AE+DE=4+3=7， ∴BC=AD=7． 故答案為：7． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵． 　 4．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長(zhǎng)為　?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；幾何圖形問題． 【分析】在BE上截取BG=CF，連接OG，證明△OBG≌△OCF，則OG=OF，∠BOG=∠COF，得出等腰直角三角形GOF，在RT△BCE中，根據(jù)射影定理求得GF的長(zhǎng)，即可求得OF的長(zhǎng)． 【解答】解：如圖，在BE上截取BG=CF，連接OG， ∵RT△BCE中，CF⊥BE， ∴∠EBC=∠ECF， ∵∠OBC=∠OCD=45°， ∴∠OBG=∠OCF， 在△OBG與△OCF中 ∴△OBG≌△OCF（SAS） ∴OG=OF，∠BOG=∠COF， ∴OG⊥OF， 在RT△BCE中，BC=DC=6，DE=2EC， ∴EC=2， ∴BE===2， ∵BC2=BF?BE， 則62=BF，解得：BF=， ∴EF=BE﹣BF=， ∵CF2=BF?EF， ∴CF=， ∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF=， 在等腰直角△OGF中 OF2=GF2， ∴OF=． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理的應(yīng)用． 　 5．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=　6　． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)題中條件由SAS可得△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=DF=6． 【解答】證明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF ∵BE=CF， ∴BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC=DF=6． 故答案是：6． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，應(yīng)熟練掌握．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件． 　 6．已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)B1在y軸上且坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標(biāo)是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此繼續(xù)下去，則點(diǎn)A2014到x軸的距離是　　． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】規(guī)律型． 【分析】根據(jù)勾股定理可得正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得后面正方形的邊長(zhǎng)依次是前面正方形邊長(zhǎng)的，依次得到第2014個(gè)正方形和第2014個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)一步得到點(diǎn)A2014到x軸的距離． 【解答】解：如圖，∵點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…， ∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…， ∴B2014E4016=， 作A1E⊥x軸，延長(zhǎng)A1D1交x軸于F， 則△C1D1F∽△C1D1E1， ∴=， 在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1， 正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為為=， ∴D1F=， ∴A1F=， ∵A1E∥D1E1， ∴=， ∴A1E=3，∴=， ∴點(diǎn)A2014到x軸的距離是×= 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí)，得出正方形各邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵． 　 7．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)F，連接CE，BH．若BH=8，則FG=　5?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題；壓軸題． 【分析】如解答圖，連接CG，首先證明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；過點(diǎn)H作AB、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，進(jìn)而證明△HEM≌△HCN，得到四邊形MBNH為正方形，由此求出CH、HN、CN的長(zhǎng)度；最后利用相似三角形Rt△HCN∽R(shí)t△GFH，求出FG的長(zhǎng)度． 【解答】解：如圖所示，連接CG． 在△CGD與△CEB中 ∴△CGD≌△CEB（SAS）， ∴CG=CE，∠GCD=∠ECB， ∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形． 又∵CH⊥GE， ∴CH=EH=GH． 過點(diǎn)H作AB、BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，則∠MHN=90°， 又∵∠EHC=90°， ∴∠1=∠2， ∴∠HEM=∠HCN． 在△HEM與△HCN中， ∴△HEM≌△HCN（ASA）． ∴HM=HN， ∴四邊形MBNH為正方形． ∵BH=8， ∴BN=HN=4， ∴CN=BC﹣BN=6﹣4=2． 在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH=2． ∴GH=CH=2． ∵HM∥AG， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3． 又∵∠HNC=∠GHF=90°， ∴Rt△HCN∽R(shí)t△GFH． ∴，即， ∴FG=5． 故答案為：5． 【點(diǎn)評(píng)】本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)，難度較大．作出輔助線構(gòu)造全等三角形與相似三角形，是解決本題的關(guān)鍵． 　 8．如圖，已知△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)D在CA的延長(zhǎng)線上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，則∠BCA的度數(shù)為　60°　． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】可證明△COD≌△COB，得出∠D=∠CBO，再根據(jù)∠BAC=80°，得∠BAD=100°，由角平分線可得∠BAO=40°，從而得出∠DAO=140°，根據(jù)AD=AO，可得出∠D=20°，即可得出∠CBO=20°，則∠ABC=40°，最后算出∠BCA=60° 【解答】解：∵△ABC三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O， ∴∠ACO=∠BCO， 在△COD和△COB中， ， ∴△COD≌△COB， ∴∠D=∠CBO， ∵∠BAC=80°， ∴∠BAD=100°， ∴∠BAO=40°， ∴∠DAO=140°， ∵AD=AO，∴∠D=20°， ∴∠CBO=20°， ∴∠ABC=40°， ∴∠BCA=60°， 故答案為：60°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決此題的關(guān)鍵． 　 9．如圖，在四邊形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為　?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形． 【專題】計(jì)算題；壓軸題． 【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，可得∠BAD與∠CAD′的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得△BAD與△CAD′的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得BD與CD′的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得答案． 【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，連接CD′，DD′，如圖： ∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD與△CAD′中， ， ∴△BAD≌△CAD′（SAS）， ∴BD=CD′． ∠DAD′=90° 由勾股定理得DD′=， ∠D′DA+∠ADC=90° 由勾股定理得CD′=， ∴BD=CD′=， 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，作出全等圖形是解題關(guān)鍵． 　 10．如圖，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE．設(shè)△ACD、△BCE、△ABC的面積分別是S1、S2、S3，現(xiàn)有如下結(jié)論： ①S1：S2=AC2：BC2； ②連接AE，BD，則△BCD≌△ECA； ③若AC⊥BC，則S1?S2=S32． 其中結(jié)論正確的序號(hào)是?、佗冖邸。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】①根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方判斷； ②根據(jù)SAS即可求得全等； ③根據(jù)面積公式即可判斷． 【解答】①S1：S2=AC2：BC2正確， 解：∵△ADC與△BCE是等邊三角形， ∴△ADC∽△BCE， ∴S1：S2=AC2：BC2． ②△BCD≌△ECA正確， 證明：∵△ADC與△BCE是等邊三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60° ∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACD， 即∠ACE=∠DCB， 在△ACE與△DCB中， ， ∴△BCD≌△ECA（SAS）． ③若AC⊥BC，則S1?S2=S32正確， 解：設(shè)等邊三角形ADC的邊長(zhǎng)=a，等邊三角形BCE邊長(zhǎng)=b，則△ADC的高=a，△BCE的高=b， ∴S1=aa=a2，S2=bb=b2， ∴S1?S2=a2b2=a2b2， ∵S3=ab， ∴S32=a2b2， ∴S1?S2=S32． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形全等的判定，等邊三角形的性質(zhì)，面積公式以及相似三角形面積的比等于相似比的平方，熟知各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 三、解答題 11．如圖，已知點(diǎn)E、F在四邊形ABCD的對(duì)角線延長(zhǎng)線上，AE=CF，DE∥BF，∠1=∠2． （1）求證：△AED≌△CFB； （2）若AD⊥CD，四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠E=∠F，再利用“角角邊”證明△AED和△CFB全等即可； （2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=BC，∠DAE=∠BCF，再求出∠DAC=∠BCA，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得AD∥BC，再根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形解答． 【解答】（1）證明：∵DE∥BF， ∴∠E=∠F， 在△AED和△CFB中， ， ∴△AED≌△CFB（AAS）； （2）解：四邊形ABCD是矩形． 理由如下：∵△AED≌△CFB， ∴AD=BC，∠DAE=∠BCF， ∴∠DAC=∠BCA， ∴AD∥BC， ∴四邊形ABCD是平行四邊形， 又∵AD⊥CD， ∴四邊形ABCD是矩形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，平行四邊形的判定以及平行四邊形與矩形的聯(lián)系，熟記各圖形的判定方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 12．如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°．得到△ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F． （1）求證：△ABD≌△ACE； （2）求∠ACE的度數(shù)； （3）求證：四邊形ABFE是菱形． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)角求出∠BAD=∠CAE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等． （2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出∠ACE=∠ABD，即可求得． （3）根據(jù)對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，可證得四邊形ABFE是平行四邊形，然后依據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可證得． 【解答】（1）證明：∵△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°， ∴∠BAC=∠DAE=40°， ∴∠BAD=∠CAE=100°， 又∵AB=AC， ∴AB=AC=AD=AE， 在△ABD與△ACE中 ∴△ABD≌△ACE（SAS）． （2）解：∵∠CAE=100°，AC=AE， ∴∠ACE=（180°﹣∠CAE）=（180°﹣100°）=40°； （3）證明：∵∠BAD=∠CAE=100°AB=AC=AD=AE， ∴∠ABD=∠ADB=∠ACE=∠AEC=40°． ∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=140°， ∴∠BFE=360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC=140°， ∴∠BAE=∠BFE， ∴四邊形ABFE是平行四邊形， ∵AB=AE， ∴平行四邊形ABFE是菱形． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及菱形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，已知△ABC是等腰三角形，頂角∠BAC=α（α＜60°），D是BC邊上的一點(diǎn)，連接AD，線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到AE，過點(diǎn)E作BC的平行線，交AB于點(diǎn)F，連接DE，BE，DF． （1）求證：BE=CD； （2）若AD⊥BC，試判斷四邊形BDFE的形狀，并給出證明． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得∠BAE=∠CAD，從而SAS證明△ACD≌△ABE，得出答案BE=CD； （2）由AD⊥BC，SAS可得△ACD≌△ABE≌△ABD，得出BE=BD=CD，∠EBF=∠DBF，再由EF∥BC，∠DBF=∠EFB，從而得出∠EBF=∠EFB，則EB=EF，證明得出四邊形BDFE為菱形． 【解答】證明：（1）∵△ABC是等腰三角形，頂角∠BAC=α（α＜60°），線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到AE， ∴AB=AC， ∴∠BAE=∠CAD， 在△ACD和△ABE中， ， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴BE=CD； （2）∵AD⊥BC， ∴BD=CD， ∴BE=BD=CD，∠BAD=∠CAD， ∴∠BAE=∠BAD， 在△ABD和△ABE中， ， ∴△ABD≌△ABE（SAS）， ∴∠EBF=∠DBF， ∵EF∥BC， ∴∠DBF=∠EFB， ∴∠EBF=∠EFB， ∴EB=EF， ∴BD=BE=EF=FD， ∴四邊形BDFE為菱形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 　 14．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，作射線AH，在線段AH及其延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)BE，CF． （1）請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△BEH≌△CFH，你添加的條件是　EH=FH　，并證明． （2）在問題（1）中，當(dāng)BH與EH滿足什么關(guān)系時(shí)，四邊形BFCE是矩形，請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定． 【專題】幾何綜合題；分類討論． 【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法，可得出當(dāng)EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH時(shí)，都可以證明△BEH≌△CFH， （2）由（1）可得出四邊形BFCE是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形可得出BH=EH時(shí)，四邊形BFCE是矩形． 【解答】（1）答：添加：EH=FH， 證明：∵點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)， ∴BH=CH， 在△BEH和△CFH中， ， ∴△BEH≌△CFH（SAS）； （2）解：∵BH=CH，EH=FH， ∴四邊形BFCE是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形）， ∵當(dāng)BH=EH時(shí)，則BC=EF， ∴平行四邊形BFCE為矩形（對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，難度不大． 　 15．如圖，E、F分別是等邊三角形ABC的邊AB，AC上的點(diǎn)，且BE=AF，CE、BF交于點(diǎn)P． （1）求證：CE=BF； （2）求∠BPC的度數(shù)． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（1）欲證明CE=BF，只需證得△BCE≌△ABF； （2）利用（1）中的全等三角形的性質(zhì)得到∠BCE=∠ABF，則由圖示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠BPC=120°． 【解答】（1）證明：如圖，∵△ABC是等邊三角形， ∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°， ∴在△BCE與△ABF中， ， ∴△BCE≌△ABF（SAS）， ∴CE=BF； （2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF， ∴∠BCE=∠ABF， ∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°， ∴∠BPC=180°﹣60°=120°． 即：∠BPC=120°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件． 　 16．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線MN過點(diǎn)A且MN∥BC，過點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE，∠BDE=90°，且點(diǎn)D在直線MN上（不與點(diǎn)A重合），如圖1，DE與AC交于點(diǎn)P，易證：BD=DP．（無需寫證明過程） （1）在圖2中，DE與CA延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD=DP是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由； （2）在圖3中，DE與AC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，BD與DP是否相等？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，無需證明． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；平行四邊形的性質(zhì)． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）如答圖2，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△BDF≌△PDA，可以證明BD=DP； （2）如答圖3，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△BDF≌△PDA，可以證明BD=DP． 【解答】題干引論： 證明：如答圖1，過點(diǎn)D作DF⊥MN，交AB于點(diǎn)F， 則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF． ∵∠1+∠FDP=90°，∠FDP+∠2=90°， ∴∠1=∠2． 在△BDF與△PDA中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． （1）答：BD=DP成立． 證明：如答圖2，過點(diǎn)D作DF⊥MN，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F， 則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF． ∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°， ∴∠1=∠2． 在△BDF與△PDA中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． （2）答：BD=DP． 證明：如答圖3，過點(diǎn)D作DF⊥MN，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F， 則△ADF為等腰直角三角形，∴DA=DF． 在△BDF與△PDA中， ∴△BDF≌△PDA（ASA） ∴BD=DP． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且DE=CF，連接OE，OF．求證：OE=OF． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】欲證明OE=OF，只需證得△ODE≌△OCF即可． 【解答】證明：如圖，∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， AC=BD，OD=BD，OC=AC， ∴OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠ADC﹣∠ODC=∠BCD﹣∠OCD， 即∠EDO=∠FCO， 在△ODE與△OCF中， ， ∴△ODE≌△OCF（SAS）， ∴OE=OF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件． 　 18．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線交BC于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F恰好是AB的一個(gè)三等分點(diǎn)（AF＞BF）． （1）求證：△ACE≌△AFE； （2）求tan∠CAE的值． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)角的平分線的性質(zhì)可求得CE=EF，然后根據(jù)直角三角形的判定定理求得三角形全等． （2）由△ACE≌△AFE，得出AC=AF，CE=EF，設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m，根據(jù)勾股定理可求得，tan∠B==，CE=EF=，在RT△ACE中，tan∠CAE===； 【解答】（1）證明：∵AE是∠BAC的平分線，EC⊥AC，EF⊥AF， ∴CE=EF， 在Rt△ACE與Rt△AFE中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL）； （2）解：由（1）可知△ACE≌△AFE， ∴AC=AF，CE=EF， 設(shè)BF=m，則AC=2m，AF=2m，AB=3m， ∴BC===m， 解法一：∵∠C=∠EFB=90°， ∴△EFB∽△ACB， ∴=， ∵CE=EF， ∴==； 解法二：∴在RT△ABC中，tan∠B===， 在RT△EFB中，EF=BF?tan∠B=， ∴CE=EF=， 在RT△ACE中，tan∠CAE===； ∴tan∠CAE=． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的判定、性質(zhì)和利用三角函數(shù)解直角三角形，根據(jù)已知條件表示出線段的值是解本題的關(guān)鍵． 　 19．探究：如圖①，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE=AD，連結(jié)CD，AE，求證：△ACE≌△CBD． 應(yīng)用：如圖②，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE=AD，連結(jié)CD，EA，延長(zhǎng)EA交CD于點(diǎn)G，求∠CGE的度數(shù)． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】探究：先判斷出△ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BD，然后利用“邊角邊”證明即可； 應(yīng)用：連接AC，易知△ABC是等邊三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠E=∠D，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CGE=∠ABC即可． 【解答】解：探究：∵AB=AC，∠ABC=60°， ∴△ABC是等邊三角形， ∴BC=AC，∠ACB=∠ABC， ∵BE=AD， ∴BE+BC=AD+AB， 即CE=BD， 在△ACE和△CBD中， ， ∴△ACE≌△CBD（SAS）； 應(yīng)用：如圖，連接AC，易知△ABC是等邊三角形， 由探究可知△ACE≌△CBD， ∴∠E=∠D， ∵∠BAE=∠DAG， ∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG， ∴∠CGE=∠ABC， ∵∠ABC=60°， ∴∠CGE=60°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，（2）作輔助線構(gòu)造出探究的條件是解題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BP、DP，延長(zhǎng)BC到E，使PB=PE．求證：∠PDC=∠PEC． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BCP=∠DCP，再利用“邊角邊”證明△BCP和△DCP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠PDC=∠PBC，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠PBC=∠PEC，從而得證． 【解答】證明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCP=∠DCP， 在△BCP和△DCP中， ， ∴△BCP≌△DCP（SAS）， ∴∠PDC=∠PBC， ∵PB=PE， ∴∠PBC=∠PEC， ∴∠PDC=∠PEC． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出全等三角形是解題的關(guān)鍵． 　 21．如圖，已知△ABC中AB=AC． （1）作圖：在AC上有一點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD，并在BD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使AE=AB，連AE，作∠EAC的平分線AF，AF交DE于點(diǎn)F（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）； （2）在（1）的條件下，連接CF，求證：∠E=∠ACF． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；作圖—復(fù)雜作圖． 【專題】作圖題；證明題． 【分析】（1）以A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫弧，與BD的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)即為點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別與AC、AE相交，然后以這兩點(diǎn)為圓心，以大于它們長(zhǎng)度為半徑畫弧，兩弧相交于一點(diǎn)，過點(diǎn)A與這一點(diǎn)作出射線與BE的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)F； （2）求出AE=AC，根據(jù)角平分線的定義可得∠EAF=∠CAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△ACF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠E=∠ACF． 【解答】（1）解：如圖所示； （2）證明：∵AB=AC，AE=AB， ∴AE=AC， ∵AF是∠EAC的平分線， ∴∠EAF=∠CAF， 在△AEF和△ACF中， ， ∴△AEF≌△ACF（SAS）， ∴∠E=∠ACF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作一條線段等于已知線段，角平分線的作法，確定出全等三角形的條件是解題的關(guān)鍵． 　 22．（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：∠A=∠D． （2）如圖2，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形所組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上． ①sinB的值是　　； ②畫出△ABC關(guān)于直線l對(duì)稱的△A1B1C1（A與A1，B與B1，C與C1相對(duì)應(yīng)），連接AA1，BB1，并計(jì)算梯形AA1B1B的面積． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖-軸對(duì)稱變換；銳角三角函數(shù)的定義． 【專題】網(wǎng)格型． 【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案； （2）根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案；根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)，可作軸對(duì)稱圖形，根據(jù)梯形的面積公式，可得答案． 【解答】（1）證明：BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF． 即BF=CE． 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（SAS）． ∴∠A=∠D； （2）解：①∵AC=3，BC=4， ∴AB=5． sinB=； ②如圖所示： 由軸對(duì)稱性質(zhì)得AA1=2，BB1=8，高是4， ∴==20． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等式的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)． 　 23．在平面內(nèi)正方形ABCD與正方形CEFH如圖放置，連DE，BH，兩線交于M．求證： （1）BH=DE． （2）BH⊥DE． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“邊角邊”證明△BCH和△DCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可； （2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可． 【解答】證明：（1）在正方形ABCD與正方形CEFH中， BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°， ∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH， 即∠BCH=∠DCE， 在△BCH和△DCE中， ， ∴△BCH≌△DCE（SAS）， ∴BH=DE； （2）∵△BCH≌△DCE， ∴∠CBH=∠CDE， 又∵∠CGB=∠MGD， ∴∠DMB=∠BCD=90°， ∴BH⊥DE． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并確定出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)． 　 24．如圖，點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)B，C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)A，連接AB，AC，AD，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接BE，CE． （1）求證：BE=CE； （2）以點(diǎn)E為圓心，ED長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BE，CE于點(diǎn)F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求圖中陰影部分（扇形）的面積． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算． 【分析】（1）由點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判斷△ABC為等邊三角形，于是得到AD為BC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得BE=CE； （2）由EB=EC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠EBC=∠ECB=30°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到ED=BD=，然后根據(jù)扇形的面積公式求解． 【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)， ∴BD=CD， ∵AB=AC=BC， ∴△ABC為等邊三角形， ∴AD為BC的垂直平分線， ∴BE=CE； （2）解：∵EB=EC， ∴∠EBC=∠ECB=30°， ∴∠BEC=120°， 在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°， ∴ED=BD?tan30°=BD=， ∴陰影部分（扇形）的面積==π． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、相等垂直平分線的性質(zhì)以及扇形的面積公式． 　 25．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D在直線BC上，連接AD，作∠ADN=60°，直線DN交射線AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AB交直線DN于點(diǎn)F． （1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖①，求證：CF+BE=CD； （提示：過點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M．） （2）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上，∠NDB為銳角時(shí)，如圖②；當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，∠NDB為鈍角時(shí)，如圖③，請(qǐng)分別寫出線段CF，BE，CD之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明； （3）在（2）的條件下，若∠ADC=30°，S△ABC=4，則BE=　8　，CD=　4或8?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；平行四邊形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）通過△MEF≌△CDA即可求得ME=CD，因?yàn)橥ㄟ^證四邊形BCFM是平行四邊形可以得出BM=CF，從而證得CF+BE=CD； （2）作FM∥BC，得出四邊形BCFM是平行四邊形，然后通過證得△MEF≌△CDA即可求得， （3）根據(jù)△ABC的面積可求得AB=BC=AC=4，所以BD=2AB=8，所以 BE=8，圖②CD=4圖③CD=8， 【解答】（1）證明：如圖①，過點(diǎn)F作FM∥BC交射線AB于點(diǎn)M， ∵CF∥AB， ∴四邊形BMFC是平行四邊形， ∴BC=MF，CF=BM， ∴∠ABC=∠EMF，∠BDE=∠MFE， ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°，BC=AC， ∴∠EMF=∠ACB，AC=MF， ∵∠ADN=60°， ∴∠BDE+∠ADC=120°，∠ADC+∠DAC=120°， ∴∠BDE=∠DAC， ∴∠MFE=∠DAC， 在△MEF與△CDA中， ， ∴△MEF≌△CDA（AAS）， ∴CD=ME=EB+BM， ∴CD=BE+CF． （2）如圖②，CF+CD=BE，如圖③，CF﹣CD=BE； （3）∵△ABC是等邊三角形，S△ABC=4， ∴易得AB=BC=AC=4， 如圖②， ∵∠ADC=30°，∠ACB=60°， ∴CD=AC=4， ∵∠ADN=60°， ∴∠CDF=30°， 又∵CF∥AB， ∴∠BCF=∠ABC=60°， ∴∠CFD=∠CDF=30°， ∴CD=CF， 由（2）知BE=CF+CD， ∴BE=4+4=8． 如圖③， ∵∠ADC=30°，∠ABC=60°， ∴∠BAD=∠ADC=30°， ∴BD=BA=4， ∴CD=BD+BC=4+4=8， ∵∠ADN=60°，∠ADC=30°， ∴∠BDE=90°， 又∵∠DBE=∠ABC=60°， ∴∠DEB=30°， 在Rt△BDE中，∠DEB=30°，BD=4， ∴BE=2BD=8， 綜上，BE=8，CD=4或8． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半等． 　 26．如圖所示，已知∠1=∠2，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，證明：AB=AC． （1）你添加的條件是　∠B=∠C?。? （2）請(qǐng)寫出證明過程． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】幾何綜合題． 【分析】（1）此題是一道開放型的題目，答案不唯一，如∠B=∠C或∠ADB=∠ADC等； （2）根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推出△ABD≌△ACD，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可． 【解答】解：（1）添加的條件是∠B=∠C， 故答案為：∠B=∠C； （2）證明：在△ABD和△ACD中 ， ∴△ABD≌△ACD（AAS）， ∴AB=AC． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等． 　 27．如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在BC的同側(cè)作任意Rt△DBC，∠BDC=90°． （1）若