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1、第 39 講 “牛吃草”問題 一、知識(shí)要點(diǎn) 牛吃草問題是牛頓問題，因牛頓提出而得名的?！耙欢巡菘晒?10 頭牛吃 3 天，供 6 頭牛 吃幾天？”這題很簡單，用 3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”換成“一片正在生長的草 地”，問題就不那么簡單了。因?yàn)椴菝刻熳咴谏L，草的數(shù)量在不斷變化。這類工作總量不固 定（均勻變化）的問題就是“牛吃草”問題。 解答這類題的關(guān)鍵是要想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長 出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L，所以每天新長出的草是不變的。正確計(jì)算草地上原有 的草及每天長出的草，問題就容易解決了。 二、精講精練 【例

2、題 1】一片青草地，每天都勻速長出青草，這片青草可供 27 頭牛吃 6 周或 23 頭牛 吃 9 周，那么這片草地可供 21 頭牛吃幾周？ 這片草地上的草的數(shù)量每天都在變化，解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量——即原來的草的數(shù)量。 因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長出的草。新長出的草雖然在變，但應(yīng)注意到是 勻速生長，因而這片草地每天新長出的草的數(shù)量也是不變的。 假設(shè) 1 頭牛一周吃的草的數(shù)量為 1 份，那么 27 頭牛 6 周需要吃 27×6=162（份），此時(shí) 新草與原有的草均被吃完；23 頭牛 9 周需吃 23×9=207（份），此時(shí)新草與原有的草也均被吃 完。而 162 份是原有的

3、草的數(shù)量與 6 周新長出的草的數(shù)量的總和；207 份是原有的草的數(shù)量 與 9 周新長出的草的數(shù)量的總和，因此每周新長出的草的份數(shù)為：（207-162）÷（9-6）=15 （份），所以，原有草的數(shù)量為：162-15×6=72（份）。這片草地每周新長草 15 份相當(dāng)于可安 排 15 頭牛專吃新長出來的草，于是這片草地可供 21 頭牛吃 72÷（21-15）＝12（周） 練習(xí) 1 1、一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供 24 頭牛吃 6 天，20 頭牛吃 10 天，那么 可供 19 頭牛吃幾天？ 2、牧場上一片草地，每天牧草都勻速生長，這片牧草可供 10 頭牛吃 20 天，

4、或者可供 15 頭牛吃 10 天，問可供 25 頭牛吃幾天？ 3、牧場上的青草每天都在勻速生長，這片青草可供 27 頭牛吃 6 周或 23 頭牛吃 9 周，那 么這片草地可供 21 頭牛吃幾周？ 【例題 2】由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已 知某塊草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天或可供 15 頭牛吃 6 天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃 10 天？ 與例 1 不同的是，不僅沒有新長出的草，而且原有的草還在減少，但是，我們同樣 可以利用與例 1 類似的方法求出每天減少的草和原來的草的總量。 設(shè) 1 頭牛 1 天吃的草為 1 份，2

5、0 頭牛 5 天吃 100 份，15 頭牛 6 天吃 90 份，100-90=10 （份），說明寒冷的天氣使牧場 1 天減少青草 10 份，也就是寒冷導(dǎo)致的每天減少的草量 相當(dāng)于 10 頭牛在吃草。由“草地上的草可供 20 頭牛吃 5 天”，再加上寒冷導(dǎo)致的每天減 少的草量相當(dāng)于 10 頭牛同時(shí)在吃草，所以原有草兩有（20+10）×5=150（份），由 150 ÷10=15 知道，牧場原有的草可供 15 頭牛吃 10 天。由寒冷導(dǎo)致的原因占去 10 頭牛吃的 草，所以可供 5 頭牛吃 10 天。 練習(xí) 2： 1、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草每天以均勻的速度在減少。經(jīng)計(jì)算，牧場上的

6、草可 供 20 頭牛吃 5 天或可供 16 頭牛吃 6 天。那么，可供 11 頭牛吃幾天？ 2、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草以固定速度在減少。已知牧場上的草可供 33 頭牛 吃 5 天或可供 24 頭牛吃 6 天。照此計(jì)算，這個(gè)牧場可供多少頭牛吃 10 天？ 3、經(jīng)測算，地球上的資源可供 100 億人生活 100 年，或可供 80 億人生活 300 年。假設(shè) 地球新生成的資源增長速度是一樣的，那么，為滿足人類不斷發(fā)展的需要，地球最多能養(yǎng)活 多少億人？ 【例題 3】自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知 男孩每分鐘走 20 級(jí)臺(tái)階，女孩

7、每分鐘走 15 級(jí)臺(tái)階，結(jié)果男孩用 5 分鐘到達(dá)樓上，女孩用了 6 分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階？ 與前兩個(gè)題比較，“總的草量”變成了“扶梯的臺(tái)階總數(shù)”，“草”變成了“臺(tái)階”，“?！?變成了“速度”，也可以看成是牛吃草問題。 上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動(dòng)扶梯的速 度。男孩 5 分鐘走了 20×5=100（級(jí)），女孩 6 分鐘走了 15×6=90（級(jí)），女孩比男孩少走了 100—90=10（級(jí)），多用了 6—5=1（分鐘），說明電梯 1 分鐘走 10 級(jí)。因男孩 5 分鐘到達(dá)樓 上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和。所以，扶梯

8、共有（20+10）×5=150（級(jí)） 練習(xí) 3： 1、自動(dòng)扶梯以均勻速度行駛著，渺小明和小紅從扶梯上樓。已知小明每分鐘走 25 級(jí)臺(tái) 階，小紅每分鐘走 20 級(jí)臺(tái)階，結(jié)果小明用 5 分鐘，小紅用了 6 分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共 有多少級(jí)臺(tái)階？ 2、兩個(gè)頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯的方向行走。在 20 秒鐘里，男孩可走 27 級(jí)臺(tái)階，女孩 可走 24 級(jí)臺(tái)階，男孩走了 2 分鐘到達(dá)另一端，女孩走了 3 分鐘到達(dá)另一端，該扶梯共有多少 級(jí)臺(tái)階？ 3、兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行 的速度是不同的。一只每天白天爬 20 分米，另

9、一只爬 15 分米。黑夜里往下滑，兩只蝸?；?行的速度卻是相同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用了 5 個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只蝸牛恰好用了 6 個(gè) 晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？ 【例題 4】一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。 如果用 12 人舀水，3 小時(shí)舀完。如果只有 5 個(gè)人舀水，要 10 小時(shí)才能舀完?，F(xiàn)在要想 2 小 時(shí)舀完，需要多少人？ 已漏進(jìn)的水，加上 3 小時(shí)漏進(jìn)的水，每小時(shí)需要（12×3）人舀完，也就是 36 人用 1 小 時(shí)才能舀完。已漏進(jìn)的水，加上 10 小時(shí)漏進(jìn)的水，每小時(shí)需要（5×10）人舀完，也就是 50 人用 1 小時(shí)才能舀

10、完。通過比較，我們可以得出 1 小時(shí)內(nèi)漏進(jìn)的水及船中已漏進(jìn)的水。 1 小時(shí)漏進(jìn)的水，2 個(gè)人用 1 小時(shí)能舀完： （5×10—12×3）÷（10—3）=2 已漏進(jìn)的水：（12—2）×3=30 已漏進(jìn)的水加上 2 小時(shí)漏進(jìn)的水，需 34 人 1 小時(shí)完成： 30+2×2=34 用 2 小時(shí)來舀完這些水需要 17 人：34÷2=17（人） 練習(xí) 4： 1、有一水池，池底有泉水不斷涌出。用 10 部抽水機(jī) 20 小時(shí)可以把水抽干，用 15 部相 同的抽水機(jī) 10 小時(shí)可以把水抽干。那么用 25 部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？ 2、有

11、一個(gè)長方形的水箱，上面有一個(gè)注水孔，底面有一個(gè)出水孔，兩孔同時(shí)打開后，如 果每小時(shí)注水 30 立方分米，7 小時(shí)可以注滿水箱；如果每小時(shí)注水 45 立方分米，注滿水箱 可少用 2.5 小時(shí)。那么每小時(shí)由底面小孔排出多少立方分米的水（設(shè)每小時(shí)排水量相同）？ 3、有一水井，連續(xù)不段涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。如果用 3 臺(tái)抽水機(jī)來抽水， 36 分鐘可以抽完；如果使用 5 臺(tái)抽水機(jī)，20 分鐘抽完?，F(xiàn)在 12 分鐘內(nèi)要抽完井水，需要抽 水機(jī)多少臺(tái)？ 【例題 5】有三塊草地，面積分別為 5，6，和 8 公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一 樣快。第一塊草薦地可供 11 頭牛吃 1

12、0 天，第二塊草地可供 12 頭牛吃 14 天。問第三塊草地 可供 19 頭牛吃多少天？ 前幾天我們接觸的是在同一塊草地上，同一個(gè)水池中，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為 了解決這個(gè)問題，只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。即[5，6，8]=120 這樣，第一塊 5 公頃可供 11 頭牛吃 10 天，120÷5=24，變?yōu)?120 公頃草地可供 11×24=264 （頭）牛吃 10 天 第二塊 6 公頃可供 12 頭牛吃 14 天，120÷6=20，變?yōu)?120 公頃草地可供 12×20=240（頭） 牛吃 14 天。 120÷8=15。問題變成：120 公頃草地可供 19×

13、15=285（頭）牛吃幾天？ 因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，原題可變?yōu)椋? 一塊草地勻速生長，可供 264 頭牛吃 10 天或供 240 頭牛吃 14 天，那么可供 285 頭牛齒 及天？即 每天新長出的草：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份） 草地原有草：（264—180）×10=840（份） 可供 285 頭牛吃的時(shí)間：840÷（285—180）=8（天） 答：第三塊草地可供 19 頭牛吃 8 天。 練習(xí) 5： 1、某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等 候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開 4 個(gè)檢票口需 30 分鐘，同時(shí)開 5 個(gè)檢票口需 20 分鐘。如果同時(shí) 打開 7 個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？ 2、快、中、慢三車同時(shí)從 A 地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車，三車的速度分別是嵋 小時(shí) 24 千米、20 千米、19 千米?？燔囎飞献孕熊囉昧?6 小時(shí)，中車追上自行車用了 10 小時(shí)， 慢車追上自行車用多少小時(shí)？ 3、一個(gè)牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供 17 頭牛吃 30 天，或供 19 頭牛吃 24 天?，F(xiàn)有一群牛吃了 6 天后賣掉 4 頭，余下的牛又吃了 2 天將草吃完。這群牛原來有多少 頭？