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1、
第七章第6課時 空間直角坐標系 隨堂檢測(含解析)
一、選擇題
1.在空間直角坐標系中,已知點P(x,y,z),給出下列4條敘述:
①點P關于x軸的對稱點的坐標是(x,-y,z);
②點P關于yOz平面的對稱點的坐標是(x,-y,-z);
③點P關于y軸的對稱點的坐標是(x,-y,z);
④點P關于原點的對稱點的坐標是(-x,-y,-z).
其中正確的個數(shù)是( )
A.3 B.2
C.1 D.0
解析:選C.①②③不正確;類比平面直角坐標系中的對稱問題,易知④正確.
2.關于棱長為1的正方體各頂點的坐標說法正確的是( )
A.其中一個頂點的
2、坐標是(1,1,1)
B.各頂點的坐標中不可能出現(xiàn)負數(shù)
C.各頂點的坐標中橫縱豎坐標都小于等于1
D.各頂點的坐標隨建立空間直角坐標系位置的變化而變化
解析:選D.同一個正方體建立空間直角坐標系的位置不同,其同一頂點的坐標也不同.
3.(2012·保定質(zhì)檢)在坐標平面xOy上,到點A(3,2,5),B(3,5,1)距離相等的點有( )
A.1個 B.2個
C.不存在 D.無數(shù)個
解析:選D.在坐標平面xOy內(nèi)設點P(x,y,0),依題意得
=,整理得y=-, x∈R,所以符合條件的點有無數(shù)個.
4.到點A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距離相等的點C(x,
3、y,z)的坐標滿足( )
A.x+y+z=-1 B.x+y+z=1
C.x+y+z=4 D.x+y+z=0
解析:選D.到點A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距離相等的點C應滿足|CA|2=|CB|2,
即(x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2,化簡得x+y+z=0.
5.若兩點的坐標是A(3cos α,3sin α,1),B(2cos β,2sin β,1),則|AB|的范圍是( )
A.[0,5] B.[1,5]
C.(0,5) D.[1,25]
解析:選 B.|AB|2=(2cosβ-3co
4、sα)2+(2sinβ-3sinα)2=9-12(cosαcosβ+sinαsinβ)+4=13-12cos(α-β),
∵-1≤cos(α-β)≤1,∴1≤|AB|2≤25.∴1≤|AB|≤5.
二、填空題
6.已知點A(-3,1,4),則點A關于原點的對稱點B的坐標為________,AB的長為________.
解析:易知點B的坐標為(3,-1,-4),
|AB|===2.
答案:(3,-1,-4) 2
7.在空間直角坐標系中,正方體ABCD-A1B1C1D1中,頂點A(3,-1,2),其中心M的坐標為(0,1,2),則該正方體的棱長等于________.
解析:依題意得
5、正方體的頂點C1的坐標為C1(-3,3,2),所以由兩點間的距離公式得對角線的長度為|AC1|==2,故正方體的棱長等于2·=.
答案:
8.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)為三角形的三個頂點,則△ABC的外接圓的面積是________.
解析:∵|AB|==,
|BC|==,
|CA|==,
∴|AB|2=|BC|2+|CA|2,
∴△ABC為直角三角形,
∴△ABC的外接圓的半徑是r=,
∴S圓=πr2=π.
答案:π
三、解答題
9.如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長為2的菱形,PA⊥平面ABCD,PA=2,∠ABC=6
6、0°,E,F(xiàn)分別是BC,PC的中點.建立適當?shù)淖鴺讼?,求點A,B,C,D,P,E,F(xiàn)的坐標.
解:因為PA⊥平面ABCD,所以可得PA⊥AE,PA⊥AD,連接AC,又△ABC是正三角形,E是BC的中點,所以BC⊥AE,即AE⊥AD,所以AP、AE、AD兩兩垂直,以A為坐標
原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,又E、F分別為BC、PC的中點,所以A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(xiàn).
10.在空間直角坐標系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3),試問:
(1)在y軸上是否存在點M,滿足|MA|=|MB
7、|?
(2)在y軸上是否存在點M,使△MAB為等邊三角形?若存在,試求出點M的坐標.
解:(1)假設在y軸上存在點M,滿足|MA|=|MB|.因為M在y軸上,所以可設M(0,y,0),由|MA|=|MB|,可得=,顯然,此式對任意y∈R恒成立,也就是說y軸上的所有點都滿足|MA|=|MB|.
(2)假設在y軸上存在點M(0,y,0),使△MAB為等邊三角形.
由(1)可知,y軸上任一點都滿足|MA|=|MB|,所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等邊三角形.
因為|MA|==,|AB|==,所以=,解得y=±.故y軸上存在點M使△MAB為等邊三角形,點M的坐標為(0,,0)
8、或(0,-,0).
11.如圖,已知點A(1,1,0),對于z軸正半軸上任意一點P,在y軸上是否存在一點B,使得PA⊥AB恒成立?若存在,求出B點的坐標;若不存在,說明理由.
解:設P(0,0,c),B(0,b,0),
對于z軸正半軸上任意一點P,
假設在y軸上存在一點B,
使得PA⊥AB恒成立,則|PA|2+|AB|2=|PB|2,
∴[(0-1)2+(0-1)2+(c-0)2]+[(1-0)2+(1-b)2+(0-0)2]=(0-0)2+(0-b)2+(c-0)2,
即3+(b-1)2=b2,解得b=2.
所以存在這樣的點B,當點B為(0,2,0)時,PA⊥AB恒成立.