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1、課時知能訓練
一、選擇題
1.甲、乙兩人從4門課程中各選修2門,則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有( )
A.6種 B.12種 C.30種 D.36種
【解析】 從反面考慮:甲、乙所選的課程,共有CC種不同的選法,其中甲、乙選的課程都相同有C種.
故甲、乙選的課程至少有1門不同有CC-C=30(種).
【答案】 C
2.在1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中,各位數(shù)字之和為偶數(shù)的共有( )
A.36個 B.24個 C.18個 D.6個
【解析】 在1,2,3,4,5這五個數(shù)字中有3個奇數(shù),2個偶數(shù),要求三位數(shù)各
2、位數(shù)字之和為偶數(shù),則兩個奇數(shù)一個偶數(shù),
∴符合條件的三位數(shù)共有C·C·A=36.
【答案】 A
3.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班,每個班至少分到一名學生,且甲、乙兩名學生不能分到同一個班,則不同分法的種數(shù)為( )
A.18 B.24 C.30 D.36
【解析】 四名學生中有兩名學生分在一個班的種數(shù)是C,順序有A種,又甲乙被分在同一個班的有A種.
所以種數(shù)是CA-A=30.
【答案】 C
4.將標號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中,若每個信封放2張,其中標號為1,2的卡片放入同一信封,則不同的放法共有( )
A.1
3、2種 B.18種 C.36種 D.54種
【解析】 先把1,2放入一個信封,有C種方法,再從3、4、5、6中選2個放入一個信封,有C種.
故共有CC=18(種).
【答案】 B
5.(2012·汕尾質(zhì)檢)由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是( )
A.72 B.96 C.108 D.144
【解析】 從2、4、6三個偶數(shù)中選一個數(shù)放在個位,有C種方法,將其余兩個偶數(shù)全排列,有A種排法.當1,3不相鄰且不與5相鄰時有A種方法,當1,3相鄰且不與5相鄰時,有AA種方法.
故滿足題意的偶數(shù)個數(shù)是C·A(A+
4、AA)=108.
【答案】 C
二、填空題
6.某電視臺連續(xù)播放5個廣告,其中3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的奧運宣傳廣告,要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告,且2個奧運宣傳廣告不能連續(xù)播放則不同的播放方式有________種.
【解析】 3個商業(yè)廣告共有A種排法,奧運廣告不連續(xù)播放,最后播放的必須是奧運廣告有CA種排法.
故共有ACA=36種.
【答案】 36
7.將6位志愿者分成4個組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人.分赴世博會的四個不同場館服務,不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答).
【解析】 將6位志愿者分為2名,2名,1名,1名四組,有=×15×6=45種分
5、組方法.
將四組分赴四個不同場館有A種方法.
∴根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的分配方案有45·A=1 080種方法.
【答案】 1 080
8.4位同學參加某種形式的競賽,競賽規(guī)則規(guī)定:選甲題答對得100分,答錯得-100分,選乙題答對得90分,答錯得-90分,若4位同學的總分為0分,則這4位同學不同得分情況的種數(shù)是________.
【解析】 由于4位同學的總分為0分,故4位同學選甲、乙題的人數(shù)有且只有三種情況:
①甲:4人,乙:0人;②甲:2人,乙:2人;③甲:0人,乙:4人;對于①,須2人答對,2人答錯;共有C=6種情況;對于②,有CCC=24種情況;對于③,與①相同,有6種情
6、況,故共有6+24+6=36種不同的情況.
【答案】 36
三、解答題
9.把1,2,3,4,5,6,7,8,9這九個數(shù)字填在如圖10-2-1所示的九個空格內(nèi),每格只填一個數(shù),若要求每行從左到右都是依次增大,有多少種不同的填法?
圖10-2-1
【解】 分三步,每一步完成一行:
第一步,從9個數(shù)中選3個排在第一行,有C種選法;
第二步,從剩下的6個數(shù)中選3個排在第二行,有C種選法;
第三步,將最后3個數(shù)按從小到大的順序排在第三行,有C種選法;
所以,共有CCC=1 680種填法.
10.(1)3人坐在有八個座位的一排上,若每人的左右兩
7、邊都要有空位,則不同坐法的種數(shù)為幾種?
(2)現(xiàn)有10個保送上大學的名額,分配給7所學校,每校至少有1個名額,問名額分配的方法共有多少種?
【解】 (1)由題意知有5個座位都是空的,我們把3個人看成是坐在座位上的人,往5個空座的空檔插,由于這5個空座位之間共有4個空,3個人去插,
共有A=24種.
(2)法一 每個學校至少一個名額,則分去7個,剩余3個名額分到7所學校的方法種數(shù)就是要求的分配方法種數(shù).
若3個名額分到一所學校有7種方法,
若分配到2所學校有C×2=42種,
若分配到3所學校有C=35種.
∴共有7+42+35=84種方法.
法二 10個元素之間有9個間隔,要求
8、分成7份,相當于用6塊檔板插在9個間隔中,共有C=84種方法.
所以名額分配的方法共有84種方法.
11.四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中.
(1)若每個盒子放一球,則有多少種不同的放法?
(2)恰有一個空盒的放法共有多少種?
【解】 (1)每個盒子放一球,共有A=24種放法.
(2)法一 先選后排,分三步完成.
第一步:四個盒子中選一只為空盒,有4種選法;第二步:選兩球為一個元素,有C種選法;第三步:三個元素放入三個盒中,有A種放法.
故共有4×CA=144種放法.
法二 先分組后排列,看作分配問題.
第一步:在四個盒子中選三個,有C種選法;第二步:將四個球分成2,1,1三組,有C(即)種分法;第三步:將三組分到選定的三個盒子中,有A種分法.
故共有CCA=144種分法.