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1、4 用尺規(guī)作三角形 活動1 知識準(zhǔn)備 1．三角形全等的條件有：“__邊邊邊__”，“__邊角邊__”，“__角邊角__”，“__角角邊__”． 2．已學(xué)過的尺規(guī)作圖：①作一條線段等于__已知線段__；②作一個角等于__已知角__． 活動2 教材導(dǎo)學(xué) 探究尺規(guī)作三角形的條件 我們已經(jīng)會用尺規(guī)作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角，而邊和角是三角形的基本元素，那么你能利用尺規(guī)作一個三角形與已知三角形全等嗎？作一個三角形需要幾個基本元素？ [答案] 能利用尺規(guī)作三角形，至少需要三個元素，其中一個是邊． ◆知識鏈接——【新知梳理】知識點(diǎn)一、二、三 ? 知識點(diǎn)一 已知三角

2、形的兩邊及其夾角，求作這個三角形 已知：線段a，c和∠α，如圖所示． 求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α. 作法：(1)作一條線段BC＝a(如圖)； (2)以B為頂點(diǎn)，以BC為一邊，作∠DBC＝∠α(如圖)； (3)在射線BD上截取線段BA＝c(如圖)； (4)連接AC(如圖 )．△ABC就是所求作的三角形． [點(diǎn)析] 我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等． ? 知識點(diǎn)二 已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個三角形 已知：∠α，∠β和線段c，如圖 1所示． 求作：△AB

3、C，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c. 作法：(1)作∠DAF＝∠α； (2)在射線AF上截取線段AB＝c； (3)以B為頂點(diǎn)，以BA為一邊，在AB的同側(cè)作∠ABE＝∠β，BE交AD于點(diǎn)C.△ABC就是所求作的三角形． [點(diǎn)析] 我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等． ? 知識點(diǎn)三 已知三角形的三條邊，求作這個三角形 已知：線段a，b，c，如圖所示． 求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a. 作法：(1)作一條線段BC＝a； (2)分別以B，C為圓心，以c，b為半徑在BC的同側(cè)畫弧，

4、兩弧交于A點(diǎn)； (3)連接AB，AC，則△ABC就是所求作的三角形． [點(diǎn)析] 我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是三邊分別相等的兩個三角形全等． 探究問題一 已知三角形的邊和角作三角形 例1 已知：角α，β和線段a，如圖4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a. [解析] 本題所給條件是兩角及其中一角的對邊，可利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C，再利用兩角夾邊作圖． 解： 如圖所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作線段BC＝a；(3)分別以B，C為頂點(diǎn)，以BC為一邊作∠CBM＝∠β，∠

5、BCN＝∠γ；(4)射線BM，CN交于點(diǎn)A.△ABC就是所求作的三角形． 草圖進(jìn)行分析，以確定作圖的思路與順序； (2)已知兩邊和夾角可以作出三角形，與全等判定方法的“SAS”對應(yīng)；已知兩角及夾邊可以作出三角形，與全等判定方法的“ASA”對應(yīng)；已知三邊，可以作出三角形，與全等判定方法的“SSS”對應(yīng)． 練習(xí): 一、選擇題 1．用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依據(jù)是( ) A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS [答案] B 2．下列屬于尺規(guī)作圖的是( ) A．用量角器和刻度尺畫△ABC，

6、使∠A＝45°，AB＝5 cm，∠B＝60° B．用三角板畫△ABC，使∠A＝30°，∠B＝60°，AB＝6 cm C．作△ABC時，用圓規(guī)作出∠A等于已知∠α，∠B等于已知∠β，用刻度尺截取AB等于已知線段a D．用圓規(guī)和無刻度的直尺作△ABC，使AB＝c，BC＝a，AC＝b [答案] D 3．用尺規(guī)作圖，已知三邊作三角形，用到的基本作圖是( ) A．作一個角等于已知角 B．作已知直線的垂線 C．作一條線段等于已知線段 D．作角的平分線 [答案] C 4．用尺規(guī)作圖，下列條件中可能作出兩個三角形的是( ) A．已知兩邊和夾角

7、 B．已知兩邊及其中一邊的對角 C．已知兩角和夾邊 D．已知三條邊 [答案] B 5．用尺規(guī)作一個直角三角形，使其兩條直角邊分別等于已知線段時，實(shí)際上已知的條件是( ) A．三角形的兩條邊和它們的夾角 B．三角形的三條邊 C．三角形的兩個角和它們的夾邊 D．三角形的三個角 [答案] A 二、填空題 6．已知線段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下列作法的合理順序?yàn)開_______． ①分別以點(diǎn)B，C為圓心，c，b為半徑在BC的同側(cè)作弧，兩弧交于點(diǎn)A； ②作直線BM，在BM上截取BC＝a； ③連接AB，AC，則△ABC即

8、為所求作的三角形． [答案] ②①③ 三、解答題 7．已知：線段a，∠α(如圖． 求作：△ABC，使AB＝AC＝a，∠B＝∠α. 解：作法：(1)作∠DBC＝∠α. (2)在射線BD上截取BA＝a. (3)以點(diǎn)A為圓心，a為半徑畫弧交BC于點(diǎn)C.連接AC. 則△ABC即為所求作的三角形(如圖)． 8．如圖所示，已知線段a和∠α，求作：△ABC，使BC＝a，∠B＝∠C＝∠α. [解析] 已知兩角及夾邊求作三角形，可以先作夾的線段，而后在線段兩端構(gòu)造角． 解： 作法(如圖所示)： (1)作線段BC＝a； (2)以BC為一條邊，分別以B，C為頂點(diǎn)，在B

9、C同側(cè)作出∠CBA＝∠BCA＝∠α，另兩條邊交于A點(diǎn)，則△ABC即為所求． [點(diǎn)析] 一定要注意作出的角度要和原角度相等，也可以先作一個角，再在一邊上截取線段，再作角． 已知兩角及其中一個角的對邊，求作三角形． [解析] 該題是作圖題中的文字題，根據(jù)已知畫出相應(yīng)的圖形，這樣的圖形具有一定的隨意性．本題的兩個角大小要適當(dāng)，即它們的和必須小于180°，否則無解． 解： 已知：∠ɑ，∠β和線段a. 求作：△ABC，使∠B＝∠α，∠A＝∠β，BC＝a. 作法：(1)作線段BC＝a； (2)在BC的同側(cè)作∠DBC＝∠α，∠ECB＝180°－∠α－∠β，DB，EC交于點(diǎn)A，△ABC為所求作的三角形． [點(diǎn)析] 已知兩角及其中一個角的對邊作三角形，可根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，轉(zhuǎn)化為利用兩角及其夾邊作三角形，化未知為已知，使問題得以解決．