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1、1,有限元方法與應(yīng)用,授課教師：于申，張昭 研教樓304 蔡志勤，鄭勇剛 研教樓204,2,參考書目,張昭，蔡志勤. 有限元方法與應(yīng)用，大連理工大學(xué)出版社，2011 聯(lián)系方式： 聯(lián)系地址：力學(xué)樓511 Email：,考核方式,大作業(yè)（不低于3000字），100分。以小論文的格式，電子版交作業(yè)。,3,論文考核基本要求,文件命名規(guī)則：學(xué)號+姓名+院(系) 格式：pdf 論文內(nèi)容包含： 標(biāo)題；學(xué)號+作者姓名+手機(jī)號碼+郵箱； 摘要； 正文； 結(jié)論； 參考文獻(xiàn)（不少于10篇）；,論文要求： 獨(dú)立完成、嚴(yán)禁抄襲； 不少于3000字； 截取計(jì)算結(jié)果圖片時需保留計(jì)算時間等信息； 所取圖片未帶有時

2、間、或者時間標(biāo)識不準(zhǔn)確、或者不清晰(有從網(wǎng)絡(luò)上拷貝嫌疑)的論文成績?yōu)镕； 提交論文后留意信箱和手機(jī)。,4,增壓器渦輪機(jī)輪盤葉片組件彈塑性接觸分析,輪軌接觸,連桿接觸,齒輪結(jié)構(gòu)接觸,攪拌摩擦焊接晶粒大小分布,星箭耦合模型,火箭模型,5,1.1有限元及有限元軟件發(fā)展,每一種自然現(xiàn)象的背后都有相應(yīng)的物理規(guī)律，對物理規(guī)律的描述可以借助相關(guān)的定理或定律表現(xiàn)為各種形式的方程（代數(shù)、微分、或積分）。這些方程通常稱為控制方程（Governing equation）。針對實(shí)際的工程問題推導(dǎo)這些方程并不十分困難，然而，要獲得問題的解析的數(shù)學(xué)解卻很困難。人們多采用數(shù)值方法給出近似的滿足工程精度要求的解答。有限元方法

3、就是一種應(yīng)用十分廣泛的數(shù)值分析方法。,第一章 緒論,6,工程和科學(xué)中典型問題,在工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，經(jīng)常會遇到兩類典型的問題。第一類問題，可以歸結(jié)為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。把這類問題稱為離散系統(tǒng)。 離散系統(tǒng)：由有限個已經(jīng)完全確定的元件組成的系統(tǒng)，如電阻及電阻網(wǎng)絡(luò)，桿件及組成的桁架，水管及組成的水管網(wǎng)絡(luò)。,7,如左圖所示平面桁架結(jié)構(gòu)，是由6個承受軸向力的“桿單元”組成。盡管離散系統(tǒng)是可解的，但是求解右圖這類復(fù)雜的離散系統(tǒng)，要依靠計(jì)算機(jī)技術(shù)。,桿系結(jié)構(gòu),工程和科學(xué)中典型問題,8,第二類問題，通常可以建立它們應(yīng)遵循的基本方程，即微分方程和相應(yīng)的邊界條件。

4、例如彈性力學(xué)問題，熱傳導(dǎo)問題，電磁場問題等。,由于建立基本方程所研究的對象通常是無限小的單元，這類問題稱為連續(xù)系統(tǒng)，或場問題。,連續(xù)系統(tǒng)：可以被無限分割，其中的問題只有利用無窮小的數(shù)學(xué)觀念才能定義，意味著由無限個單元組成。如一塊受力平板，一個活塞，一根軸等。,工程和科學(xué)中典型問題,9,盡管已經(jīng)建立了連續(xù)系統(tǒng)的基本方程，由于邊界條件的限制，通常只能得到少數(shù)簡單問題的精確解答。對于許多實(shí)際的工程問題，還無法給出精確的解答，例如圖示V6引擎在工作中的溫度分布。為解決這個困難，工程師們和數(shù)學(xué)家們提出了許多近似方法。,工程和科學(xué)中典型問題,10,工程問題的求解思路,連續(xù)問題的一般描述微分方程+邊界條件,

5、工程和科學(xué)中典型問題,11,有限元方法（The Finite Element Method, FEM）是處理連續(xù)介質(zhì)問題的一種普遍方法，是計(jì)算機(jī)問世以后迅速發(fā)展起來的一種分析方法。離散化是有限元方法的基礎(chǔ)。然而，這種思想自古有之。古代人們在計(jì)算圓的周長或面積時就采用了離散化的逼近方法：即采用內(nèi)接多邊形和外切多邊形從兩個不同的方向近似描述圓的周長或面積，當(dāng)多邊形的邊數(shù)逐步增加時近似值將從這兩個方向逼近真解。,有限元法的形成與發(fā)展,12,,,,Zienkiewicz Cheung Bathe Cook 錢令希,SAP ANSYS ALGOR NASTRAN ADINA MARC,廣義協(xié)調(diào)元 無單元

6、法 自然單元法 樣條有限元 有限元并行算 小波有限元 自適應(yīng)有限元,拓展了有 限元方法,單元求解區(qū) 域上插值,工程應(yīng)用,工程實(shí)踐中 高性能計(jì)算,有限元法的形成與發(fā)展,13,1943年在Courant的論文中首次嘗試使用定義三角形域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理相結(jié)合求解S. Venant扭轉(zhuǎn)問題。其本人并沒有發(fā)展這個方法。當(dāng)時其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)尚未完全建立起來。 1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空學(xué)會年會上介紹了一種新的計(jì)算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問題。他們把結(jié)構(gòu)劃分成一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近

7、似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的單元剛度矩陣。一般認(rèn)為這是工程學(xué)界上有限元法的開端。 1960年，Clough在他的名為“The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元(finite element)這一術(shù)語。 約開始于1968年，這一次屬于數(shù)值分析家。數(shù)學(xué)家終于認(rèn)識了有限元的基本原理，事實(shí)上它是逼近論、偏微分方程及其變分形式和泛函分析的巧妙結(jié)合。,有限元法的形成與發(fā)展,14,此后，一些應(yīng)用/計(jì)算數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和工程師從2條分支研究FEM，形成了成熟的理論體系。即： FEM離散格式、誤差估計(jì)理論、解的收斂性等研究(應(yīng)

8、用/計(jì)算數(shù)學(xué)) 研究的目的是建立完整的FEM理論體系，為工程應(yīng)用奠定必備的理論基礎(chǔ)。 工程具體問題計(jì)算領(lǐng)域(計(jì)算物理/計(jì)算力學(xué)/工程學(xué)) 研究的目的是面向具體工程應(yīng)用問題，主要是離散格式研究，通過考題(Benchmark)分析而不是理論分析驗(yàn)證解的收斂性，估計(jì)誤差，為工程設(shè)計(jì)優(yōu)化提供指導(dǎo)。,Institute of Mechanical Engineering and Automation,！國內(nèi)長期從事FEM研究的有錢令希、唐立民、鐘萬勰、石鐘慈 、程耿東 、龍馭球等。主要從事FEM方法改進(jìn)研究。,有限元法的形成與發(fā)展,15,有限元(Finite element method)：假想把連續(xù)系

9、統(tǒng)分割成數(shù)目有限的單元，單元之間只有在數(shù)目有限的指定點(diǎn)（稱為節(jié)點(diǎn)）處相互連接構(gòu)成一個單元集合體來代替原來的連續(xù)系統(tǒng)。,有限元法的基本思想,離散化,幾何實(shí)體模型,有限元模型,,16,單元與節(jié)點(diǎn),單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域。 節(jié)點(diǎn)：單元與單元間的連接點(diǎn)。 注意： 節(jié)點(diǎn)是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點(diǎn)傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實(shí)際結(jié)構(gòu)的重大差別；,17,將連續(xù)體分割（離散）為有限個、且按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的小單元的組合體（單元之間在節(jié)點(diǎn)處連接）。用該離散結(jié)構(gòu)（單元組合體）近似代替原來的連續(xù)體。,物理上的理解,如果合理地求

10、出各小單元的力學(xué)特性，就可以求出單元組合體（離散結(jié)構(gòu)）的力學(xué)特性，從而在給定的載荷和約束條件下求出各節(jié)點(diǎn)的位移，求出各單元的應(yīng)力。 由于單元可以有不同的大小，形狀和類型，因此可以求解復(fù)雜的工程和科學(xué)問題。,18,典型單元類型,,,,,,,,19,70年代初MARC公司推出了第一個商業(yè)非線性有限元程序MARC。 1978年HKS公司，推出了Abaqus軟件。 1975年非線性求解器ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis) 1977年Mechanical Dynamics Inc.(MDI)公司發(fā)展機(jī)械系統(tǒng)仿真軟件ADAMS，

11、應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)仿真分析。 1988年，LSTC公司，發(fā)行和擴(kuò)展DYNA程序商業(yè)化版本LS-DYNA。 1996年，ANSYS與LSTC公司合作推出了ANSYS/LS-DYNA 21世紀(jì)后ANSYS公司把其產(chǎn)品擴(kuò)展為ANSYS Mechanical系列， ANSYS CFD（FLUENT/CFX）系列，ANSYS ANSOFT系列以及ANSYS Workbench和EKM等。,有限元軟件的發(fā)展,20,Software Integration Platform for Engineering and Scientific Computation,http://www.sipesc.o

12、rg/,21,常用有限元軟件,22,ANSYS界面介紹,狀態(tài)欄,,ANSYS主菜單,,ANSYS工具欄,,標(biāo)準(zhǔn)工具欄,,ANSYS實(shí)用菜單,,ANSYS命令 輸入窗口,,ANSYS圖標(biāo)按鈕,,23,所有的通用有限元軟件都包括：前處理、求解器、后處理三個有邏輯順序的模塊。在進(jìn)行實(shí)際工程分析時，也該按照以上三個模塊來進(jìn)行。,,,用求解器進(jìn)行 求解（設(shè) 定分析步驟， 輸出變量）,前處理（建模、 材料特性、單元 選擇及網(wǎng)格劃分）,,后處理（變 形圖、等值線 圖，列表顯示 等等后處理）,24,主要內(nèi)容,結(jié)構(gòu)靜力分析 結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析 非線性有限元分析 溫度場有限元分析,25,材料力學(xué)回顧（桿系結(jié)構(gòu)）,應(yīng)力

13、狀態(tài)分析 強(qiáng)度理論 組合變形 壓桿穩(wěn)定 能量法 動載荷問題 疲勞,第2章 有限元基礎(chǔ)理論 2.1 彈性力學(xué)基礎(chǔ),簡單變形,軸向拉壓 剪切 扭轉(zhuǎn) 彎曲,內(nèi)力 應(yīng)力 變形,靜不定結(jié)構(gòu),,靜定結(jié)構(gòu),26,彈性力學(xué)與材料力學(xué)的聯(lián)系 為何要有彈性力學(xué)？ 1、研究內(nèi)容 2、研究對象 3、研究方法,彈性力學(xué)概念,彈性力學(xué)亦稱為彈性理論。主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，從而為工程結(jié)構(gòu)或者構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)和計(jì)算方法。,27,研究內(nèi)容的聯(lián)系： 材料力學(xué)： 彈性變形體在外力作用下的平衡、運(yùn)動等問題，及相應(yīng)變形和應(yīng)力 彈性力學(xué)： 彈性變形體

14、在外力作用下的平衡、運(yùn)動等問題，及相應(yīng)變形和應(yīng)力,彈性力學(xué)與材料力學(xué)的聯(lián)系,基本沒有區(qū)別,28,研究對象的聯(lián)系： 材料力學(xué)(研究變形體的第一門力學(xué))： 僅為桿、梁、柱、軸等桿狀變形構(gòu)件 彈性力學(xué)： 任意形狀變形體,,彈性力學(xué)與材料力學(xué)的聯(lián)系,彈性力學(xué)研究對象更普遍,29,研究方法的聯(lián)系： 材料力學(xué)： 要作出一些關(guān)于構(gòu)件變形狀態(tài)或應(yīng)力分布的假設(shè)，例如拉壓、扭轉(zhuǎn)、彎曲平面假設(shè)，數(shù)學(xué)推演簡單, 但解是近似的 彈性力學(xué)： 不作假設(shè)，數(shù)學(xué)推演復(fù)雜，但解比較精確,,彈性力學(xué)與材料力學(xué)的聯(lián)系,彈性力學(xué)研究方法更嚴(yán)密，但也更復(fù)雜,30,彈性力學(xué)基本假設(shè),工程問題的復(fù)雜性是諸多方面因素組成的。

15、如果不分主次考慮所有因素，則問題的復(fù)雜，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困難，將使得問題無法求解。 根據(jù)問題性質(zhì)，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設(shè)。使問題的研究限定在一個可行的范圍。 基本假設(shè)是學(xué)科的研究基礎(chǔ)。 超出基本假設(shè)的研究領(lǐng)域是固體力學(xué)其它學(xué)科的研究。,31,1、連續(xù)性(Continuity),整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿, 不留任何空隙。即，各個質(zhì)點(diǎn)之間不存在任何空隙,好處：物體內(nèi)的物理量,例如應(yīng)力形變和應(yīng)變, 才可能是連續(xù)的, 才可以用連續(xù)函數(shù)來表示。,宏觀假設(shè),彈性力學(xué)基本假設(shè),32,2、線彈性(Linear elastic),物體的變形與外力作用的關(guān)系是線性的，除去外力，物

16、體可回復(fù)原狀，而且這個關(guān)系和時間無關(guān)，也和變形歷史無關(guān)，稱為完全線彈性材料,好處：應(yīng)力應(yīng)變之間的函數(shù)簡化為線性函數(shù)，且材料彈性常數(shù)不隨應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變,彈性力學(xué)基本假設(shè),33,3、均勻性(Homogeneity),整個物體是由同一種材料組成的，整個物體的各個部分具有相同的物理性質(zhì)。,好處：各部分物理性質(zhì)相同，不因位置改變而改變?？梢越厝∪我獠糠譃檠芯繉ο蟆?對于環(huán)氧樹脂基碳纖維復(fù)合材料，不能處理為均勻材料。,彈性力學(xué)基本假設(shè),34,4、各向同性(Isotropy),物體的力學(xué)性質(zhì)沿各個方向都是相同的，實(shí)踐表明，大多數(shù)材料在統(tǒng)計(jì)平均的意義上基本能滿足這一假定。,好處：物體材料常數(shù)不隨坐標(biāo)方

17、向改變而改變,像木材，竹子以及纖維增強(qiáng)材料等，屬于各向異性材料。,彈性力學(xué)基本假設(shè),35,5、小變形假定(Small deformation),物體的位移和形變是微小的. 即物體的位移遠(yuǎn)小于物體原來的尺寸, 而且應(yīng)變和轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)小于1,好處：變形與結(jié)構(gòu)原尺寸相比屬高階小量，可略去因變形引起的結(jié)構(gòu)尺寸變化，略去二次冪或者交叉相乘項(xiàng)，從而使彈性力學(xué)中的方程變?yōu)榫€性方程。,彈性力學(xué)基本假設(shè),36,彈性力學(xué)的幾個基本概念,1、外力體力(body forces): 分布在物體體積內(nèi)的力.,設(shè)體積V包含P點(diǎn), V中的體力為F, 則,體力分量: 體力 f 在 x, y 和 z 軸上的投影, 分別記為 fx,

18、fy, fz,37,2、外力表面力(surface forces): 分布在物體表面的力.,設(shè)表面積S包含P點(diǎn), S中的表面力為F, 則,表面力分量: 表面力 在 x, y 和 z 軸上的投影, 分別記為,彈性力學(xué)的幾個基本概念,38,3、內(nèi)力、平均應(yīng)力和應(yīng)力.,內(nèi)力 (internal forces) : 物體本身不同部分之間相互 作用的力,應(yīng)力(stress)：如果假設(shè)內(nèi)力分布連續(xù)，命 A無 限減小并趨向 P點(diǎn), 則F/A 將趨向一個極限 p:,平均應(yīng)力( the average stress):設(shè)作用在包含P點(diǎn)某一個截面mn上的單元面積A 上的力為F ，則F/A 稱為A 上的平均應(yīng)力；,

19、彈性力學(xué)的幾個基本概念,39,4、正應(yīng)力與切應(yīng)力,正應(yīng)力 (normal stress) :應(yīng)力在作用截面法線方向的分量：,切應(yīng)力( shear stress):設(shè)應(yīng)力在作用界面切線方向的分量：,單位 Pa, Pa = 1 N/ 常用單位 MPa, 1 MPa= 106 Pa,彈性力學(xué)的幾個基本概念,40,5、應(yīng)力單元體,從物體中取出一個微小的正平行六面體，它的棱邊分別平行于三個坐標(biāo)軸，長度分別為dx, dy, dz.正平行六面體應(yīng)力,切應(yīng)力符號的含義,受力面的法線方向,力的方向,,,,應(yīng)力張量 （stress tensor）,,,彈性力學(xué)的幾個基本概念,41,6、位移、變形、正應(yīng)變、剪應(yīng)變

20、的概念,正應(yīng)變和剪應(yīng)變的量綱都為1，即無量綱。,位移（displacement）:物體發(fā)生變形后，物體內(nèi)各點(diǎn)的位置改變（u, v , w）。 變形（deformation）: 形狀的改變，它包含長度和角度的改變。 正應(yīng)變 (線應(yīng)變normal strain) :各線段單位長度的伸縮：以伸長為正；縮短為負(fù) 切應(yīng)變(角應(yīng)變shear strain):各線段之間的直角的改變： 以弧度表示，直角變小為正；變大為負(fù),彈性力學(xué)的幾個基本概念,42,位移和變形,43,=+,直角改變量,正應(yīng)變（線應(yīng)變）和切應(yīng)變（角應(yīng)變）,44,彈性力學(xué)基本變量小結(jié),,,,,,,,,,,,45,彈性力學(xué)的基本方程,46,彈性力

21、學(xué)問題的研究方法,所謂彈性力學(xué)問題，就是在一定的已知條件下，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量。sx, sy, sz, txy, tyz, tzxex, ey, ez, gxy, gyz, gzxu, v, w 由于一個空間力系 最多只有六個平衡方程，不足以求出上述所有的未知量，因此，需要綜合靜力、幾何、物理三方面的條件，以求解全部未知量。 彈性力學(xué)需要與現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)相結(jié)合。,47,,一般而言，彈性體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力分量是點(diǎn)的空間位置的連續(xù)函數(shù),彈性力學(xué)的基本方程之平衡方程,48,以平面問題為例，截取正方形微元體，考察其平衡條件：,考察平衡條件：,（1）沿x方向主矢投影為零 （2）

22、沿y方向主矢投影為零 （3）關(guān)于任意點(diǎn)的主矩為零,,彈性力學(xué)要求變形體的任意一點(diǎn)均滿足平衡條件,彈性力學(xué)的基本方程之平衡方程,49,,彈性力學(xué)的基本方程之平衡方程,50,,同理,,彈性力學(xué)的基本方程之平衡方程,51,,,略去高階小量，得,,剪應(yīng)力互等定理,彈性力學(xué)的基本方程之平衡方程,52,,二維問題平衡條件：,平衡方程：,彈性力學(xué)的基本方程之平衡方程,53,三維問題微元體的平衡：,平衡方程：,彈性力學(xué)的基本方程之平衡方程,54,,彈性力學(xué)的基本方程之平衡方程,55,邊界條件,考察物體邊界處的微元體的平衡條件：1）從邊界處取出的微元體一般是四面體；2）由于該微元體有一個面是物體的外表面，因此，該面上的表面力應(yīng)計(jì)入平衡條件中。這樣得出的邊界條件稱為力的邊界條件。,56,57,邊界條件(cont.),58,END,